新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)講練 第5章 第1講　平面向量的概念及線性運(yùn)算 (含解析)

知識(shí)點(diǎn)最新考綱平面向量的幾何意義及基本概念理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念.向量的線性運(yùn)算掌握平面向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示理解平面向量的基本定理及其意義，會(huì)用平面向量基本定理解決簡(jiǎn)單問題．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．掌握平面向量的加法、減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.平面向量的數(shù)量積及向量的應(yīng)用理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義．掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握數(shù)量積與兩個(gè)向量的夾角之間的關(guān)系．會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的平行與垂直．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題.復(fù)數(shù)了解復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)相等的概念．了解復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算的幾何意義．理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)續(xù)表向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ__a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.兩個(gè)向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．[說明]三點(diǎn)共線的等價(jià)關(guān)系A(chǔ)，P，B三點(diǎn)共線?eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，t∈R)?eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．[疑誤辨析]判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段表示向量．()(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).()(3)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反．()(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．()(5)若a∥b，b∥c，則a∥c.()(6)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化](必修4P108B組T5改編)在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD的形狀為________．解析：如圖，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|.由對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形．答案：矩形[易錯(cuò)糾偏](1)對(duì)向量共線定理認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確；(2)向量線性運(yùn)算不熟致錯(cuò)；(3)向量三角不等式認(rèn)識(shí)不清致錯(cuò)．1．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．2．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＝________，λ2＝________．解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3).答案：－eq\f(1,6)eq\f(2,3)3．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，則|a－b|的取值范圍為________．解析：當(dāng)a與b方向相同時(shí)，|a－b|＝2，當(dāng)a與b方向相反時(shí)，|a－b|＝6，當(dāng)a與b不共線時(shí)，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范圍為[2，6]．此題易忽視a與b方向相同和a與b方向相反兩種情況．答案：[2，6]平面向量的有關(guān)概念給出下列命題：①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b；其中真命題的序號(hào)是________．【解析】①是錯(cuò)誤的，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)．②是錯(cuò)誤的，|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等或相反．③是正確的，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形．④是錯(cuò)誤的，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要條件，而是必要不充分條件．【答案】③eq\a\vs4\al()平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆．(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；③若λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.①錯(cuò)誤．兩向量共線要看其方向而不是看起點(diǎn)與終點(diǎn)．②正確．因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小．③錯(cuò)誤．當(dāng)a＝0時(shí)，無論λ為何值，λa＝0.④錯(cuò)誤．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb，此時(shí)，a與b可以是任意向量．平面向量的線性運(yùn)算(高頻考點(diǎn))平面向量的線性運(yùn)算包括向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算，是高考考查向量的熱點(diǎn)．常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．主要命題角度有：(1)用已知向量表示未知向量；(2)求參數(shù)的值．角度一用已知向量表示未知向量如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))【解析】在△CEF中，有eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)).因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→)).因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故選D.【答案】D角度二求參數(shù)的值如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，則λ＋μ＝________．【解析】因?yàn)锳B＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因?yàn)辄c(diǎn)M為AH的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BH,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)eq\a\vs4\al()向量線性運(yùn)算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．1．(2020·嘉興質(zhì)檢)已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn－1和N1，N2，N3，…，Nn－1分別將線段BC和DC進(jìn)行n等分(n∈N*，n≥2)，如圖，若eq\o(AM1,\s\up6(→))＋eq\o(AM2,\s\up6(→))＋…＋AMn－1＋eq\o(AN1,\s\up6(→))＋eq\o(AN2,\s\up6(→))＋…＋ANn－1＝45eq\o(AC,\s\up6(→))，則n＝()A．29 B．30C．31 D．32解析：選C.由題圖知，因?yàn)閑q\o(AM1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,n)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AM2,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,n)eq\o(BC,\s\up6(→))，…，AMn－1＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(n－1,n)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AN1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,n)eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AN2,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,n)eq\o(DC,\s\up6(→))，…，ANn－1＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(n－1,n)eq\o(DC,\s\up6(→)).eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).所以eq\o(AM1,\s\up6(→))＋eq\o(AM2,\s\up6(→))＋…＋AMn－1＋eq\o(AN1,\s\up6(→))＋eq\o(AN2,\s\up6(→))＋…＋ANn－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1＋\f(1,n)＋\f(2,n)＋…＋\f(n－1,n)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3（n－1）,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\f(3（n－1）,2)＝45，解得n＝31.故選C.2．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1.當(dāng)每個(gè)λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1時(shí)，|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))|的最小值是________，最大值是________．解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1－λ3＋λ5－λ6＝0,λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0))時(shí)，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此時(shí)|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，則|λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(BC,\s\up6(→))＋λ3eq\o(CD,\s\up6(→))＋λ4eq\o(DA,\s\up6(→))＋λ5eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ6eq\o(BD,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).答案：02eq\r(5)平面向量共線定理的應(yīng)用設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【解】(1)證明：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又它們有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線．(2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.eq\a\vs4\al()1．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，則向量a＝2e1－e2與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線的充要條件是()A．λ＝0 B．λ＝－1C．λ＝－2 D．λ＝－eq\f(1,2)解析：選D.因?yàn)閍＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共線，因?yàn)閍，b共線?b＝eq\f(1,2)a?b＝e1－eq\f(1,2)e2?λ＝－eq\f(1,2).2.如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)試用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．解：(1)△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b.(2)證明：eq\o(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,3)b))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))與eq\o(BE,\s\up6(→))共線，且有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．核心素養(yǎng)系列10數(shù)學(xué)運(yùn)算——共線定理的推廣與應(yīng)用[共線定理]已知eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，設(shè)eq\o(PC,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為x＋y＝1.[推廣形式]如圖所示，直線DE∥AB，C為直線DE上任一點(diǎn)，設(shè)eq\o(PC,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))(x，y∈R)．當(dāng)直線DE不過點(diǎn)P時(shí)，直線PC與直線AB的交點(diǎn)記為F，因?yàn)辄c(diǎn)F在直線AB上，所以由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋μeq\o(PB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1.由△PAB與△PED相似，知必存在一個(gè)常數(shù)m∈R，使得eq\o(PC,\s\up6(→))＝meq\o(PF,\s\up6(→))，則eq\o(PC,\s\up6(→))＝meq\o(PF,\s\up6(→))＝mλeq\o(PA,\s\up6(→))＋mμeq\o(PB,\s\up6(→)).又eq\o(PC,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.以上過程可逆．因此得到結(jié)論：eq\o(PC,\s\up6(→))＝xeq\o(PA,\s\up6(→))＋yeq\o(PB,\s\up6(→))，則x＋y＝m(定值)，反之亦成立．(應(yīng)用實(shí)例)如圖，在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AF,\s\up6(→))(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________．【解析】當(dāng)P在△CDE內(nèi)時(shí)，直線EC是最近的平行線，過D點(diǎn)的平行線是最遠(yuǎn)的，所以α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(AN,AM)，\f(AD,AM)))＝[3，4]．【答案】[3，4]如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段CO的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線交于圓O外一點(diǎn)D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，則m＋n的取值范圍是________．【解析】由點(diǎn)D是圓O外的一點(diǎn)，可設(shè)eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))(λ＞1)，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋λeq\o(BA,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→)).因?yàn)镃，O，D三點(diǎn)共線，令eq\o(OD,\s\up6(→))＝－μeq\o(OC,\s\up6(→))(μ＞1)，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(λ,μ)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1－λ,μ)·eq\o(OB,\s\up6(→))(λ＞1，μ＞1)．因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，所以m＝－eq\f(λ,μ)，n＝－eq\f(1－λ,μ)，則m＋n＝－eq\f(λ,μ)－eq\f(1－λ,μ)＝－eq\f(1,μ)∈(－1，0)．【答案】(－1，0)如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝eq\f(π,3)，C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，則x＋3y的取值范圍是________．【解析】eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋3yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(OB,\s\up6(→)),3)))，如圖，作eq\o(OB′,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→)),3)，則考慮以向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))為基底．顯然，當(dāng)C在A點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過m＝1的平行線，當(dāng)C在B點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過m＝3的平行線，這兩條線分別是最近與最遠(yuǎn)的平行線，所以x＋3y的取值范圍是[1，3]．【答案】[1，3][基礎(chǔ)題組練]1．下列各式中不能化簡(jiǎn)為eq\o(PQ,\s\up6(→))的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))) B．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))C.eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→)) D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))解析：選D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＋(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(QC,\s\up6(→)))＝eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))，顯然由eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(BQ,\s\up6(→))得不出eq\o(PQ,\s\up6(→))，所以不能化簡(jiǎn)為eq\o(PQ,\s\up6(→))的式子是D.2．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a解析：選B.對(duì)于A，當(dāng)λ>0時(shí)，a與λa的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，a與λa的方向相反；B正確；對(duì)于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定；對(duì)于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小．3．(2020·浙江省新高考學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試)設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB外，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|，則|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝()A．12 B．6C．3 D.eq\f(3,2)解析：選C.因?yàn)閨eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CM,\s\up6(→))|，|eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，所以2|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝6，所以|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝3，故選C.4．已知a，b是任意的兩個(gè)向量，則下列關(guān)系式中不恒成立的是()A．|a|＋|b|≥|a－b|B．|a·b|≤|a|·|b|C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3解析：選D.由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正確；因?yàn)閨a·b|＝|a||b||cosa，b|，又|cosa，b|≤1，所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正確；由向量數(shù)量積的運(yùn)算，得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，C正確；根據(jù)排除法，故選D.5．已知a，b是非零向量，命題p：a＝b，命題q：|a＋b|＝|a|＋|b|，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.若a＝b，則|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q，若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的運(yùn)算知a與b同向共線，即a＝λb，且λ＞0，故qeq\o(?,\s\up0(/))p.所以p是q的充分不必要條件，故選A.6．(2020·溫州市普通高中模考)已知A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ＞0，μ＞0)，則λ＋μ的取值范圍是()A．(0，1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(0，eq\r(2))解析：選B.由題意可得eq\o(OD,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))(0＜k＜1)，又A，D，B三點(diǎn)共線，所以kλ＋kμ＝1，則λ＋μ＝eq\f(1,k)＞1，即λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞)，選項(xiàng)B正確．7．已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DC,\s\up6(→))＝________，eq\o(BC,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．解析：如圖，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝－a－b.答案：b－a－a－b8．(2020·溫州質(zhì)檢)如圖所示，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，eq\o(BG,\s\up6(→))＝2eq\o(GO,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(CD,\s\up6(→))∥eq\o(AG,\s\up6(→))，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ的值為________．解析：因?yàn)閑q\o(BG,\s\up6(→))＝2eq\o(GO,\s\up6(→))，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(CD,\s\up6(→))∥eq\o(AG,\s\up6(→))，可設(shè)eq\o(CD,\s\up6(→))＝meq\o(AG,\s\up6(→))，從而eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(m,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(m,3)))eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\f(m,3)＝eq\f(1,5)，λ＝1＋eq\f(m,3)＝eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)9．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是________．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))同向時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3；當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))反向時(shí)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8＋5＝13；當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線時(shí)，3＜|eq\o(BC,\s\up6(→))|＜13.綜上可知3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.答案：[3，13]10．(2020·杭州中學(xué)高三月考)已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且5eq\o(AP,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，則△PAC的面積與△ABC的面積之比等于________．解析：因?yàn)?eq\o(AP,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，延長(zhǎng)AP交BC于D，則eq\f(5,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，從而可以得到D是BC邊的三等分點(diǎn)，且CD＝eq\f(2,3)CB，設(shè)點(diǎn)B到邊AC的距離為d，則點(diǎn)P到邊AC的距離為eq\f(2,3)×eq\f(3,5)d＝eq\f(2,5)d，所以△PAC的面積與△ABC的面積之比為eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)11.在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).解：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12．經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，求eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)的值．解：設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－ma＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)b.由P，G，Q共線得，存在實(shí)數(shù)λ使得eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PG,\s\up6(→))，即nb－ma＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq\f(1,3)λb，從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq\f(1,n)＋eq\f(1,m)＝3.[綜合題組練]1．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，則△PAB與△PBC的面積的比值是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：選B.因?yàn)閑q\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\f(|\o(CP,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(PA,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,1)，又△PAB在邊PA上的高與△PBC在邊PC上的高相等，所以eq\f(S△PAB,S△PBC)＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))|,\a\vs4\al(|\o(CP,\s\up6(→))|))＝eq\f(1,2).2．(2020·福建省普通高中質(zhì)量檢查)已知D，E是△ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則xy的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(4,9))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(1,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,4)))解析：選D.由題意，知P，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ使eq\o(PB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤λ≤－\f(1,3)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝－λeq\o(AC,\s\up6(→))＋(λ＋1)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－λ,x＝λ＋1))，所以x＋y＝1且eq\f(1,3)≤x≤eq\f(2,3)，于是xy＝x(1－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，所以當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，xy取得最大值eq\f(1,4)；當(dāng)x＝eq\f(1,3)或x＝eq\f(2,3)時(shí)，xy取得最小值eq\f(2,9)，所以xy的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,4)))，故選D.3．(2020·浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考)如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB的延長(zhǎng)線，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n＝________．解析：作BG∥AC，則BG∥NC，eq\f(|BG|,|AN|)＝eq\f(|BM|,|AM|).因?yàn)镺是BC的中點(diǎn)，所以△NOC≌△GOB，所以|BG|＝|NC|，又因?yàn)閨AC|＝n|AN|，所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以eq\f(|BG|,|AN|)＝n－1.因?yàn)閨AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|，所以eq\f(|BM|,|AM|)＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2.答案：24.(2020·溫州市四校高三調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，且滿足eq\f(1,CM2)＋eq\f(1,CN2)＝1，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))，則x＋y的最小值為________．解析：連接MN交AC于點(diǎn)G，由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所以1＝eq\f(1,CM2)＋eq\f(1,CN2)＝eq\f(MN2,CM2·CN2)，即MN＝CM·CN，所以C到直線MN的距離為定值1，此時(shí)MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一條切線．因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y)\o(AM,\s\up6(→))＋\f(y,x＋y)\o(AN,\s\up6(→))))，所以由共線定理知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋y)eq\o(AG,\s\up6(→))，所以x＋y＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,|\o(AG,\s\up6(→))|)＝eq\f