2023年湖南省永州市普通高校對口單招數(shù)學自考真題(含答案)

2023年湖南省永州市普通高校對口單招數(shù)

學自考真題(含答案)

學校:班級:姓名:考號:

一、單選題(10題)

1.在△ABC中，A=60°,|AB|=2,'2則邊BC的長為()

A.■,

B.7

C.V3

D.3

2.不等式4-x2<0的解集為()

A.(2,+oo)B.(-oo,2)C.(-2,2)D.(—oo—2)U(2,+oo)

3.某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40

名.現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年

級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數(shù)為()

A.6B.8C.10D.12

4.直線L過(-1,2)且與直線2x-3y+5=0垂直，則L的方程是()

A.3x+2y-l=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+6=0D.2x-3y+8=0

用列舉法表示小于2的自然數(shù)正確的是()

5.

A.{1,O}B.{1,2}C.{1}D.{-1,1,O}

6.設全集=歸，b,c,d},A={a,b}貝!!CUA=()

A.{a,b}B.{a,c}C.{a,d)D.{c,d}

____1

7.函數(shù)f(x)的定義域是()

A.[-3,3]B.(-3,3)C.-3][3,+)D.(-,-3)(3.+)

8.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則至少有一枚出現(xiàn)正面的概率是()

A.lB.3/4C.1/2D.1/4

9.若不等式|ax+2|<6的解集是{x|-l<x<2},則實數(shù)a等于()

A.8B.2C.-4D.-8

10.函數(shù)y=log2X的圖象大致是()

B.

c.

二、填空題(10題)

雙曲線式一匕=1的漸近線方程是y=_______

11.94

logtX>1

r.?.則*的取值范圖是

12.

13.等差數(shù)列J的前n項和%若%=S?=12,則%=

3—i

14.若復數(shù)z=l2-iI,則憶|=

15.已知點A(5,-3)B(1,5)一一1'，則點P的坐標是

16.1og216+cos7i+271/3=_O

17不等式十一外>。的解集是

18.雙曲線x2/4-y2/3=l的虛軸長為

殳致（l+i）■復平面片應的點在第象限.

19.

20.從某校隨機抽取100名男生，其身高的頻率分布直方圖如下，則身

高在［166,182］內(nèi)的人數(shù)為

三、計算題（5題）

21.解不等式4<|l-3x|<7

22.求焦點x軸上，實半軸長為4,且離心率為3/2的雙曲線方程.

23.在等差數(shù)列｛an｝中，前n項和為Sn,且S4=-62,S6=-75,求等差數(shù)列

｛an｝的通項公式an.

1

f(x)+3f(-)=x.

24.已知函數(shù)f(x)的定義域為｛x|x川｝，且滿足x

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并簡單說明理由.

25.從含有2件次品的7件產(chǎn)品中，任取2件產(chǎn)品，求以下事件的概率.

⑴恰有2件次品的概率Pi；

(2)恰有1件次品的概率P2.

四、簡答題(10題)

.3E一,I

$ma=—.a€(一=一,

26.已知2求tan(a-2b)的值

27.已知函數(shù)，求x的取值范圍。

28.已知等差數(shù)列&｝的前n項和是芯=々--力求：

(1)通項公式4

(2)ai+a3+a5+..?+a25的值

29.在ABC中，BC=V^,AC=3,sinC=2sinA

(1)求AB的值

sm(2A——)

(2)求2的值

30.求過點P(2,3)且被兩條直線'】：3x+4y-7=0,%：3x+4y+8=0所截

得的線段長為3、份的直線方程。

7l-2sm10cos10

31.化簡coslO-Vl-sm^lOO

32.己知邊長為a的正方形ABCD,PA_L底面ABCD,PA=a,求證，

PC±BD

p

M(180-a)嚴(270+a).sin(36Qf)

33化簡cos(a-180)tan(900+a)coS(a-360)

34.求k為何值時，二次函數(shù)/(x)=?-(^-l)x+(^-Da的圖像與x軸

(1)有2個不同的交點

(2)只有1個交點

(3)沒有交點

35.求到兩定點A(-2,0)(1,0)的距離比等于2的點的軌跡方程

五、解答題(10題)

36.

一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示,

在正方體中，設8c的中點為M,G”的巾點為N。

(I)請將字母標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)

(II)證明：直線A/N〃平面8￡)〃

(III)求二面角A-EG-M余弦值

37.已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=i(a>b>0)的離心率為「'”,，在C

上；

(1)求c的方程；

(2)直線L不過原點0且不平行于坐標軸，L與C有兩個交點A,B,

線段AB的中點為M.證明：直線0M的斜率與直線L的斜率的乘積為

定值.

38.已知橢圓C的重心在坐標原點，兩個焦點的坐標分別為B(4,0),

F2(-4,0),且橢圓C上任一點到兩焦點的距離和等于10.求：

(1)橢圓C的標準方程；

(2)設橢圓C上一點M使得直線FiM與直線F2M垂直，求點M的坐

標.

39.

已知函數(shù)/(x)="r-lnx,g(x)=e"+3x,其中“eR.

(I)求/⑶的極值；

(H)若存在區(qū)間M，使/(X)和g(x)在區(qū)間”上具有相同的單調(diào)性，求”的取

值Xg].

40.設橢圓x2/a2+y2/b2的方程為點O為坐標原點，點A的坐標為(a,

0),點B的坐標為(0,b),點M在線段AB上，滿足|BM|=2|MA|直線

?

OM的斜率為?二

(1)求E的離心率e

(2)設點C的坐標為(0,-b),N為線段AC的中點，證明：MN±AB

41.已知圓C:(x-l)2+y2=9內(nèi)有一點P(2,2),過點P作直線1交圓C于

A、B兩點.

(1)當直線1過圓心C時，求直線1的方程；

(2)當直線1的傾斜角為45。時，求弦AB的長.

22

x+?=1

42.已知A,B分別是橢圓7F"的左右兩個焦點，。為坐標的原

點，點P(-l,)在橢圓上，線段PB與y軸的焦點M為線段PB

的中心點，求橢圓的標準方程

43.

數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，S”為其前〃項和，對于任意〃WN*，總有

會差數(shù)列.

(I)求數(shù)列的通項公式(H)求數(shù)列｛&叨1｝的前〃項和。

44.如圖，在正方體ABCD—AiBCDi中，E,F分別為棱AD,AB的

中占

I,、、、?

(1)求證：EF//平面CBiDi；

(2)求證:平面CAAiCi_L平面CBiDi

45.在直角梯形ABCD中，AB//DC,AB±BC,且AB=4,BC=CD=2.

點M為線段AB上的一動點，過點M作直線a_LAB.令AM=x,記梯

形位于直線a左側(cè)部分的面積S=f(x).；?(1)求函數(shù)f(x)

的解析式；(2)作出函數(shù)f(x)的圖象.

六、單選題(0題)

46.在△ABC,A=60°,B=75°,a=10,則c=()

A.5J2

B.lr”

ion

C.3-

106

D「

參考答案

l.C

計算.=gIAB||ACIuinA=X

2|AC|?咚=咚IACI.VS&-M--咚?

222

IACI=1.IBcr?lABI1.%IABP-blACP

-2IAB||AC|cosA=4+l-2x2XlX

解三角形余弦定理,面積"’3.：.比r*故選C.

2.D

不等式的計算.4-X2<0,X2-4>0即(X-2)(X+2)>0,X>2或x<-2.

3.B

分層抽樣方法.試題分析：根據(jù)題意，由分層抽樣知識可得：在高二年

級的學生中應抽取的人數(shù)為：40x6/30=8

4.A

由于直線與2x-3y+5=0垂直，因此可以設直線方程為3x+2y+k=0,又

直線L過點（-1,2）,代入直線方程得3*（-1）+2*2+k=0,因此k=-

1.所以直線方程為3x+2y-l=0。

5.A

6.D

集合的運算.CUA={c,d}.

7.B

由題可知，3-x2大于0,所以定義域為（-3,3）

8.B

獨立事件的概率.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，可能的結(jié)果：（正，

正），（正，反），（反，正），（反，反）共4種結(jié)果，至少有一

枚出現(xiàn)正面的結(jié)果有3種，所求的概率是3/4

9.C

因為|ax+2|V6,所以-6<QX+2V6

,即

8,4

8<ax<4>—<x<一

,當QU時，有aar而已知原不等式的

,此方程無解。當Q<°時，有

解集為(-1,2),所以有

--4<X<

,解得a=-4,而當a=0時，原不等式的解

集為R,與題設不符，所以a=-40

10.C

對數(shù)函數(shù)的圖象和基本性質(zhì).

11.

把雙曲線的標準方程中的1換成0即得漸近線方

程，化簡即可得到所求.

7雙曲線方程為金=1的，則漸近線方程

94

為線2-12=0,即g=±皆，

943

故答案為9=±|丫.

12.{x[0<x<l/3}

13.2n,

a\+5d=12

3x2

{3ai+—d=12

解得{an}的公差d=2,首項QI=2,

故易得廝=2+(2—1)n=2n.

14.

15.(2,3),設P(x,y),AP=(x-5,y+3),AB=(-4,8),所以

x-5=(-4)*(3/4)=-3；得x=2；y+3=8*(3/4)=6；得y=3；所以P

(2,3).

16.6

6o

log216+cos?i+27/3=4+(-1)+3=6。

17.{x|0<x<3}

18.2^3雙曲線的定義上2=3,.所以b=、'3.所以2b=2、口.

19.1-71/4

20.64,在［166,182］區(qū)間的身高頻率為(0.050+0.030)x8(組距)

=0.64,因此人數(shù)為100x0.64=64o

21.

解：對不等式進行同解變形得：

4<l-3x<7或-7<l-3x<-4

58

解得：一<XV-或-2<xv-l

33

22.解：

實半軸長為4

a=4

e=c/a=3/2,Ac=6

.,.a2=16,b2=c-a=20

x,.r1.,

雙曲線方程為1620

23.M：設首項為ai、公差為d,依題意：4ai+6d=-62；6ai+l5d=-75

解得ap-20,d=3,a?=ai+(n-1)d=3n-23

24.

(1)依題意有

/(x)+3/(l)=x

X

/(l)+3/(x)=l

XX

解方程組可得：

3-丁

/(公=

8x

(2)函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

：函數(shù)/(x)的定義域為｛x|x豐0｝關于原點對稱,且

3-(-x)2_3-x2

/(-X)=一/(x)

8(-x)8x

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

25.

：療品中有2件次品.

5件合格品

)恰有2件次品的概率為

(2)恰有］件次品的概率為

C\cl10

P】=

C：-21

26.

34

解:sina=—

5不

31

得tana=-又tan(^-ft)=—

42

.1ti.ii2tan/)4

tanb二---,則tan2b=---------

2l—tanF5

,-,、tana-tanb7

：.tan(n-2b)=------------------

14tanatanb24

27.

3x-4>0

解，由題意和/-x-4>0

13x-4<--x-4

X>4

28.

2

解：⑴由Sn=-2n-ntat=S,="3

a=S,—I—4M(JI22)

an=l-4n(nN1)

(2)伍才是出=-34=一4,三位等龍數(shù)列

/,數(shù)列是首項皿一一3,d--8項數(shù)居13項的等差數(shù)列

則數(shù)列=13x(-3)+號2、(-8)=-663

29.

(1)VflC=V5,sinC=2sin/4

由正弦定理得，8=比史￡=2石

血“

(2)由余弦定理得：

"48’+AC1-BC12V5

2ABAC5

??sinA■—.sin2/=，tcos24"-

555

則sin(2/-3?旨

30.x-7y+19=0或7x+y-17=0

31.

A”H、

解:原式I=-J-l-s-in-l-O-1-cos10—

cos10-Vcos100

|sin10-coslO|_coslO-sin10_

sinlO-1cos!00coslO-sinlO

32.證明：連接AC

PA_L平面ABCD,PC是斜線，BD1AC

PC±BD（三垂線定理）

33.sina

34=卜（?_D了_4（七一=4爐_42+]_4爐+及_4=4上_3

（1）當△>0時，又兩個不同交點

（2）當A=0時，只有一個交點

（3）當△<（）時，沒有交點

35.

設中點P（x,y）由題意得

以1=2；

網(wǎng),又A（-2,0）,B（1,0）

7（X+2）2+/

.?-----=乙

?J"+l）2+y2

得x2-4x+y2=?；颍▁-2）2+y2=4

36.

（I）如圖

（II）連接81），取8。的中點0,連接MQ

因為“、。為線段4C、8。中點，所以MQHCDHG11且MQ=:?（；//

又因N為G〃中點，所以NH=-（；H

得到NH=MQ且NH3MQ

所以四邊形QA/N〃為￡7

得至UQH/IMN

又因為?！╱平面8/），

所以MN//平面BDH（得證）

(Ill)連接AC,EG,過點M作MK±AC,垂足在AC上，過點K作平面ABCD垂

線，交EG于點L,連接ML,見J二面角A-EG-M=NMLK

因為MKu平面ABCD，且八EJ.ABCD所以MK±AE

又A￡,ACu平面AEG所以MK1平面AEG

且KLuAEG,所以MK1KL,所以三角形MKL為RTA

設正方體棱長為a,則AB=BC=KL=a,

所以=

7

因為NMCK=45。，三角形MCK為RTA,所以MK=MCcosN450=叵

4

叵

MKA

所以lanNMLK=----=-----=—>所以cosZ.MLK=-----

KLa43

?J2

所以cos<A-EG-M>=cos4MLK=----

3

37.

(1)由1ftK々--------——?-rI770,

412a6b1

】M得/-8H-■?所以「的力理為：4-I.

(2)世A/+EAW0)3*0)./H工一

>,將y=+b代入

3

TI-v-1柑(2i'Il)x*II2b-8-0

**i+星，―246..?

取JT3?---.辦廠j7?y?w<Xif+?！?/p>

于足entoM的斜*j三二2.

0?皿“；所以真發(fā)。M的用率與直岐/

帕郛率的*也力走俏.

38.

jrv

(1)2a=10=>a=5,c=4,，—+—=

1.

(2)設M(?r.y3F]M=(z—4,y),FzM=(“+

22

4,y),；?F?F2M=X—16+/=0又Vjr

+yZ=16,；.16一力,..z81

25+§=1，?7=而，y=±

9零，工=±?.，M（土?，士力,共

-----T

410444

4種.

39.

〔I〕解：/(X)的定義域為(0,+8),

_1ax-1

且/'(K)=〃——=-----.

XX

①當0<0時,/r(.v)<0,故/(女)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

從而/(#沒有極大值，也沒有極小值.

②當a>0時，令/")=0,得x=，.

a

/(X)和/'(X)的情況如下：

1(L+)

(0，)

X4Cl

a

/'(J)0

十

/(X

Z

故/(X)的單調(diào)減區(qū)間為(0」)；單調(diào)增區(qū)間為J,+OO).

〔口〕解：g(x)的定義域為R，且g'(x)="e"+3.

③當a>°時,顯然g(r)〉O,從而g(x)在R上單調(diào)遞增.

由〔I〕得，此時/(*)在(,，+8)上單調(diào)遞增，符合題意.

a

④當a=0時，g(x)在R上單調(diào)遞增，/(“在(0.+8)上單調(diào)遞減，不合題意.

分

⑤當“<0時，令g(r)=0,得.」n(-』).

aa

g(R和g'(x)的情況如下表：

(—QO?-V)(

(I*X",+a

X

g'())0

+

J?(-V

\z

當一3"<0時，.勺0,此時g(x)在(&,+oo)上單調(diào)遞增，由于/")在

(0.+8)上單調(diào)遞減，不合題意.

當。<一3時，一%>0,此時g(x)在(70,天)上單調(diào)遞減，由于/(幻在(O.+oc)

上單調(diào)遞減，符合題意.

綜上，”的取值X圍是(Y,-3)U(O，M).

40.

（1）蒯“h題設條件知，點M的坐標為

（〈■以乂A3=余，從而;=今進而&—

33102a10

^56*c=J心—h'=26.故。=9一^2LL

u5

（2）證：由，是AC的中點如，點N的坐標為（；.

一告）?可得NM=（?，￥）.又八2i=（—。,6）,從

而有AB?MN?一1a，’"一a,）.

66G

由（I）的計算結(jié)果可知--5公，所以石?布？

一0,故MN_AB.

41.

(l>B4rC<l?0)?HA*lliitAFCS.

X-。X-I

化■%Lr-,一，,?

(Z)■方■為，，-A-0??心網(wǎng)真?，的

??W-'-v.XKtt^tfr-a.Z.*

41

AB-J1->>J9~j■8.

42點M是線段PB的中點

又?.?OM_LAB,/.PA±AB

11

貝!]c=la：+2b2=1,a2=b2+c2

解得，a2=2,b2=l,c2=l

W+3-1

因此橢圓的標準方程為5"'

43.

(I)解：由已知：對于