新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練5.1 三角函數(shù)的定義（精講）（解析版）

5.1三角函數(shù)的定義（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一扇形的弧長(zhǎng)與面積【例1-1】（2022·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點(diǎn)A、B、C為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則其面積是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由條件可知，弧長(zhǎng)SKIPIF1<0，等邊三角形的邊長(zhǎng)SKIPIF1<0，則以點(diǎn)A、B、C為圓心，圓弧SKIPIF1<0所對(duì)的扇形面積為SKIPIF1<0，中間等邊SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0所以萊洛三角形的面積是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0【例1-2】（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)高三階段練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0從SKIPIF1<0出發(fā)，沿著圓周按逆時(shí)針方向走到SKIPIF1<0，其路徑長(zhǎng)度的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的終邊，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的終邊上，設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0優(yōu)弧的圓心角為SKIPIF1<0弧長(zhǎng)=SKIPIF1<0，故選:C【例1-3】（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（文））在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)P在長(zhǎng)方體的面上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0，則P的軌跡長(zhǎng)度為（

）A．12π B．8π C．6π D．4π【答案】C【解析】如圖，SKIPIF1<0在左側(cè)面的軌跡為弧SKIPIF1<0，在后側(cè)面的軌跡為弧SKIPIF1<0，在右側(cè)面的軌跡為弧SKIPIF1<0，在前側(cè)面內(nèi)的軌跡為弧SKIPIF1<0.易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴P的軌跡長(zhǎng)度為6π，故選：C.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)．特別是與“月牙形”有關(guān)的問題．如圖所示．陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是SKIPIF1<0的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該月牙形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的外接圓的圓心為O，半徑為R，如圖所示，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，內(nèi)側(cè)圓弧為SKIPIF1<0的外接圓的一部分，且其對(duì)應(yīng)的圓心角為SKIPIF1<0，則弓形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，外側(cè)的圓弧以SKIPIF1<0為直徑，所以半圓SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則月牙形的面積為SKIPIF1<0.故選：A．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為6的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為________.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體SKIPIF1<0中，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，如圖，在平面SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0的圓，所以SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡為圓SKIPIF1<0與四邊形SKIPIF1<0的交點(diǎn)，即為圖中的SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由弧長(zhǎng)公式知SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常量），且球面上兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最短距離為SKIPIF1<0，經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)的平面SKIPIF1<0截球所得的圓面與球心的距離為SKIPIF1<0，則在此圓面上劣弧SKIPIF1<0所在的弓形面積為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)榍騍KIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，球面上兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最短距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)經(jīng)過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)的平面SKIPIF1<0截球所得的圓面為圓SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以截面圓圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在此圓面上劣弧SKIPIF1<0所在的弓形面積為扇形SKIPIF1<0的面積減去SKIPIF1<0的面積，即為：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義【例2-1】（2022·河南）在平面直角坐標(biāo)系中SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的終邊經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：D．【例2-2】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，角SKIPIF1<0的終邊過點(diǎn)SKIPIF1<0，將角SKIPIF1<0的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0得到角SKIPIF1<0的終邊，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題知，點(diǎn)SKIPIF1<0到原點(diǎn)的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.【一隅三反】1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高三期末（文））在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0和角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)均與原點(diǎn)O重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】角SKIPIF1<0和角SKIPIF1<0的終邊關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．故選：C．2．（2022·新疆昌吉·一模（文））在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知角SKIPIF1<0的終邊與圓SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由三角函數(shù)定義可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．3．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的始邊為SKIPIF1<0軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓SKIPIF1<0的交點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限內(nèi).若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)榻荢KIPIF1<0的終邊與單位圓SKIPIF1<0的交點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限內(nèi)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（舍）；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.故選：C.考點(diǎn)三判斷三角函數(shù)值的正負(fù)【例3-1】．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知角SKIPIF1<0第二象限角，且SKIPIF1<0，則角SKIPIF1<0是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】因?yàn)榻荢KIPIF1<0第二象限角,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0是偶數(shù)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0為第一象限角；當(dāng)SKIPIF1<0是奇數(shù)時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0為第三象限角.；綜上所述：SKIPIF1<0為第一象限角或第三象限角，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為第三象限角．故選：C．【例3-2】（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0另解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C【例3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C．【一隅三反】1．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）（多選）已知角SKIPIF1<0的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與SKIPIF1<0軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列各式的符號(hào)無法確定的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】由三角函數(shù)定義，SKIPIF1<0，所以，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)A符號(hào)無法確定；對(duì)于B選項(xiàng)，SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)B符號(hào)確定；對(duì)于C選項(xiàng)，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)C的符號(hào)無法確定；對(duì)于D選項(xiàng)，SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)D符號(hào)確定.所以下列各式的符號(hào)無法確定的是AC選項(xiàng).故選：AC.2（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是第二象限角，則下列選項(xiàng)中一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0是第二象限角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為第三或第四象限角或終邊在SKIPIF1<0軸負(fù)半軸上，所以選項(xiàng)A不一定正確；可能不存在SKIPIF1<0，選項(xiàng)B也不一定正確；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是第一象限或第三象限角，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不一定正確.故選:C．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為陰影區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），這里SKIPIF1<0，則下列不等式恒成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)與SKIPIF1<0相平行的直線的方程為SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．則由圖中陰影部分可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，這里SKIPIF1<0．則一定有SKIPIF1<0．考點(diǎn)四三角函數(shù)線【例4-1】（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：D【例4-2】（2022·河南·南陽市第二完全學(xué)校高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先證明：當(dāng)0＜x＜SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0如圖，角x終邊為OP，其中點(diǎn)P為角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM⊥x軸，交x軸與點(diǎn)M，A點(diǎn)為單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)，AT⊥x軸，交角x終邊于點(diǎn)T，則有向線段MP為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設(shè)弧PA＝l＝x×1＝x，由圖形可知：S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0＜SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又由函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0又由函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：C．【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限，則在SKIPIF1<0內(nèi)的SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知點(diǎn)SKIPIF1<0在第一象限得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0,則下列命題:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0是單調(diào)減函數(shù).其中真命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3