2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市高中名校高考數(shù)學(xué)試題模擬（三診）試題

2022-2023學(xué)年黑龍江省牡丹江市高中名校高考數(shù)學(xué)試題模擬(三診)試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()

二十士

1111

3216

A.32TC.16D.—

3

kx,x>0

2.記/(幻=］一［幻其中［x］表示不大于x的最大整數(shù)g(x)=1八，若方程在/(%)=g(x)在［-5,5］有7個(gè)不

——,x<0

同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)4的取值范圍(

]_

B.C.D.

6?5655ri554

22

Xy

3.已知點(diǎn)尸在橢圓不:7十萬(wàn)=1(">力>0)上，點(diǎn)尸在第一象限，點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為A,點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)

3--

稱點(diǎn)為。，設(shè)PD=—PQ,直線A。與橢圓r的另一個(gè)交點(diǎn)為3,若則橢圓T的離心率e=()

4

A.-B.—C.3D.—

2223

4.已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)P(2,-l)在角。的終邊上，則sin'-2a

()

4433

A.D.

555

YCCWXTC7C

5.函數(shù)/（，）=-在-2，萬(wàn)上的圖象大致為（）

A.

D.

6.20世紀(jì)產(chǎn)生了著名的“3x+l”猜想：任給一個(gè)正整數(shù)x,如果工是偶數(shù)，就將它減半；如果x是奇數(shù)，則將它乘3

加1,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1.如圖是驗(yàn)證“3x+l”猜想的一個(gè)程序框圖，若輸入正整數(shù)

加的值為4（）,則輸出的〃的值是（）

開始

A.8B.9C.10D.11

x-y<0,

二■的取值范圍為（）

7.若x,y滿足約束條件x+y<2,則=

zy+2

x+l>0,

24242

A.B.[-,3]C.[-,2]D.[~,2]

5353

2

8.已知雙曲線噂下y

=1（。>0力>0）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)］、工為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)G在C的漸近線上，F(xiàn)2G1OG,

且61OG|=|G4I，則該雙曲線的漸近線方程為（）

B.y=土冬c.y=±xD.y=土Ox

2

9.復(fù)數(shù)z=y二匕吧的虛部為（

)

z+1

B.—3c.1D.2

1d=0,=0且在（0,〃）上是單調(diào)函數(shù)，則下

10.已知函數(shù)/'(x)=2sin(5+o)(a>>0,0<e<;r),

列說(shuō)法正確的是（）

1B.（訃勺

A.69=—

2

-rrD.函數(shù)“X）的圖像關(guān)于點(diǎn)停,（）］對(duì)稱

C.函數(shù)/（x）在一肛-5上單調(diào)遞減

11.已知點(diǎn)A（2,0）、B（0,-2）.若點(diǎn)p在函數(shù)y=的圖象上，則使得△PA8的面積為2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（)

A.1B.2C.3D.4

x

12.已知函數(shù)“十、）=］e小,x_<l2）/>1

若方程/（x）一如-1=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則正數(shù)m的取值范圍為（)

A.1一,l]u(l,e-l)B-(T1[0，eT]

I，7

C.（T』［u（l,e-l）D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）國(guó)家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國(guó)青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上開展2019年

全國(guó)青少年禁毒知識(shí)答題活動(dòng)，活動(dòng)期間進(jìn)入答題專區(qū)，點(diǎn)擊“開始答題''按鈕后，系統(tǒng)自動(dòng)生成20道題.已知某校高

二年級(jí)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動(dòng)中答對(duì)的題數(shù)分別是17,20,16,18,19,則這五位同學(xué)答對(duì)題數(shù)的方差

是.

14.已知在△ABC中，AB=(2s加32°,2cos32°),BC=(cos77°,-cosl3°),貝IA3?BC=，△ABC的面

積為.

15.設(shè)函數(shù)/(x)=|lnx+4+|x+4(a,0wR),當(dāng)xe［l,e］時(shí)，記/(x)最大值為，則的最小值為

16.圓心在曲線y=；(x>0,A：>0)上的圓中，存在與直線2x+y+1=()相切且面積為5兀的圓，則當(dāng)后取最大值時(shí)，

該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在直三棱柱A5C-451cl中，ZABC=90°,AB=AAi,M,N分別是AC,BCi的中點(diǎn).求證：

(1)MN〃平面AB514；

(2)AN1.A1B.

18.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1:4,且成

績(jī)分布在［0,60］的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取

400人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.

(1)求a/,c的值；

(2)填寫下面2x2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?

文科生理科生合計(jì)

獲獎(jiǎng)6

不獲獎(jiǎng)

合計(jì)400

(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：K~--------------------------,其中〃=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(〃+c)[b+d)

2

P(K..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)已知橢圓E:三+m=1(。>。>0)的離心率為白，且過(guò)點(diǎn)((,手,點(diǎn)P在第一象限，A為左頂點(diǎn),

B為下頂點(diǎn),R4交)'軸于點(diǎn)C,/必交x軸于點(diǎn)￡>.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若CDIIAB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

20.(12分)若函數(shù)/(x)在/處有極值，且/⑷=/,則稱端為函數(shù)“X)的“廠點(diǎn)”.

(1)設(shè)函數(shù)/(%)=辰一21nx(CwR).

①當(dāng)4=1時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值；

②若函數(shù)“X)存在“尸點(diǎn)”，求A的值；

(2)已知函數(shù)g(x)=<z?+Zzx2+cx(a,b,ceR,a#O)存在兩個(gè)不相等的“尸點(diǎn)々，且|g(%)-8(々),1,

求a的取值范圍.

21.(12分)某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過(guò)千分之一，則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司年

的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

年份20112012201320142015201620172018

年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)（萬(wàn)臺(tái)）2345671011

該產(chǎn)品的年利潤(rùn)（百萬(wàn)元）2.12.753.53.2534.966.5

年返修臺(tái)數(shù)（臺(tái)）2122286580658488

18188

部分計(jì)算結(jié)果：x=-^jxi=6,5=6工》=4,一?。﹡=72,

3/=18f=l/=1

88

一用2=18.045,Z（七一亍）（＞「了）=34.5

i=li=l

年返修臺(tái)數(shù)

注:年返修率=

年生產(chǎn)臺(tái)數(shù)

（1）從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以J表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求J的分布列和

數(shù)學(xué)期望；

（2）根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤(rùn)，（百萬(wàn)元）關(guān)于年

生產(chǎn)臺(tái)數(shù)X（萬(wàn)臺(tái)）的線性回歸方程（精確到0.01）.

,~（x,-J）V，'xy.-n-x-j,

附：線性回歸方程y="+4中，〃=白嗎~~——=七———>a=y-bx.

22.（10分）已知拋物線C:f=4y與直線/:x—2y-2=0.

（1）求拋物線C上的點(diǎn)到直線/距離的最小值；

（2）設(shè)點(diǎn)。（毛，%）是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，Q（1，D是定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,求證A,Q,

3共線；并在AQ=3Q8時(shí)求點(diǎn)尸坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計(jì)算出體積并相加求得幾何

體的體積.

【詳解】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為-x2x2x2+-xlx2x2x2=—.

2323

故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

2、D

【解析】

做出函數(shù)/(X),g(x)的圖象，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(x),g(x)的圖象在［-5,5］有7個(gè)交點(diǎn)，而函數(shù)/(x),g(x)在［-5,0］±

有3個(gè)交點(diǎn)，則在［0,5］上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

方程/(X)=g(x)在1-5,0］上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

則在［0,5］上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)直線y=后經(jīng)過(guò)(4,1)時(shí)，k=］

當(dāng)直線y=丘經(jīng)過(guò)(5,1)時(shí)，k=(,

可知當(dāng)!<Z<，時(shí)，直線y=丘與/(x)的圖象在［0,5］上有4個(gè)交點(diǎn),

54

即方程/(x)=g(x),在［0,5］上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合

是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的基本思想，屬于中檔題.

3、C

【解析】

設(shè)P&，X）,貝!。（加-yj,。斗,一會(huì),設(shè)3（%，%），根據(jù)24化簡(jiǎn)得到34=后，得到

答案.

【詳解】

設(shè)P&,y）,貝!0（和一%）,PD^PQ,則。卜,一段｝設(shè)B（私斗），

工+上=1

則/h\,兩式相減得到：（玉+2）?-±）=_5+型＞「力）,

V,^2,1礦b-

L-----2--十---b---2---I

kk=k即與k/_4（x+%）

“Xf一/X+）「ADkAB，即你iJ

PA_LPB）故?kpA*kpB=_l,即—4^y=—1,故3。2=4（?2，故e=^^.

a~2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

4、D

【解析】

由題知cosa=亭，又sin6-2“=cos2a=2cos2a-1,代入計(jì)算可得.

【詳解】

由題知cosa=,又sin-2a）=cos2a=2cos2a-l=1.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.

5、C

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在0<x<1時(shí)的符號(hào)，即可求解.

【詳解】

rcosx

由./?(—X)=—=-fix)可知函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

2+2

所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A,B；

7T

當(dāng)。時(shí)，cosx>0,

2

YCCSY

?../(x)=二一二>0,排除選項(xiàng)O，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于中檔題.

6、C

【解析】

列出循環(huán)的每一步，可得出輸出的〃的值.

【詳解】

A

九=1,輸入加=40,〃=1+1=2,加=1不成立，團(tuán)是偶數(shù)成立，貝!]/篦二

20s

〃=2+1=3,m=1不成立,m是偶數(shù)成立，則nI機(jī)=一=10；

2

10<

〃=3+1=4,m=1不成立,加是偶數(shù)成立，則nlm=一=5；

2

〃=4+1=5,根=1不成立,團(tuán)是偶數(shù)不成立，則加=3x5+1=16；

則機(jī)=L=8；

幾=5+1=6,團(tuán)=1不成立,加是偶數(shù)成立，

2

8

〃=6+1=7,能=1不成立,m是偶數(shù)成立，則〃2=—=4；

2

4c

〃=7+1=8,m=1不成立,機(jī)是偶數(shù)成立，則nIm=—二2；

2

2?

〃=8+1=9,加二1不成立，m是偶數(shù)成立，則nIm=-=1；

2

〃=9+1=10,團(tuán)=1成立，跳出循環(huán)，輸出〃的值為10.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

x+3

由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=7瓦為連接點(diǎn)。(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(diǎn)(乂)，)的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合

即可得解.

【詳解】

由題意作出可行域，如圖,

x+3

目標(biāo)函數(shù)z=不2可表示連接點(diǎn)D(-3,-2)和可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)的直線斜率的倒數(shù),

由圖可知，直線D4的斜率最小，直線OB的斜率最大,

x-y=0/、x+y=2/、

由，川=?？傻?1)'由川:0可得B（T3），

3+252

所以=1=['仁功=-^=彳，所以4KzW2.

—1+JL—1+JLJ

本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8,D

【解析】

根據(jù)巴GLOG,先確定出的長(zhǎng)度，然后利用雙曲線定義將指IOGRGKI轉(zhuǎn)化為a*,c的關(guān)系式，化簡(jiǎn)

b

后可得到一的值，即可求漸近線方程.

a

【詳解】

如圖所示:

又因?yàn)槊詜OG|=|G用，所以布|。6卜,列，所以而［0?=|6/2+6耳|,

所以610G『=,尸2+8尸j,所以6a2=b2+4c?+?x2cxcos(180°—NGgf；),

所以6a2=/+4/+2bx2cx(―2｝所以從=2",夜，

所以漸近線方程為y=±0x.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)雙曲線中的長(zhǎng)度關(guān)系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長(zhǎng)度的一半.

9、B

【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)二進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，得到答案.

【詳解】

("1)2+44-2/(4-2Z)(1-z)

z=---------=-----=--------—^=1-3/

1+11+12

所以z的虛部為-3

故選B項(xiàng).

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡(jiǎn)單題.

10、B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/（x）,在（0,〃）上是單調(diào)函數(shù)，確定0<041,然后一一驗(yàn)證,

A.若0=；,則/(x)=2sin(gx+*),由=得夕=手，但/?)=sin+彳由

'（三）=°‘確定/（x）=2sin（gx+笄），再求解了（一兀、

，閨S-驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)

87

性判斷.D.計(jì)算/是否為0.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）,在（0,4）上是單調(diào)函數(shù),

T2萬(wàn)

所以一之兀,即一22%,所以0v&,

2co

若0=3,則〃x)=2si31

n+又因?yàn)?0,即/si?lx|Xo,解得T，而

+4

3冗

故A錯(cuò)誤.

T2

,j丁4瓜CO71后71CD

+。=。n，不妨令---+9=乃，得°=71———

)22

容得冗j[3乃

由/=sin=cox——\-(p=2攵乃+—或GX——\-(p=227+——

(f)Frd8484

71712k兀

當(dāng)口乂可+0=2左;時(shí)，co------+2,不合題意.

3

O萬(wàn)

,TC.f37r?斫犯22

當(dāng)GX—(p—2左"十—時(shí),+此時(shí)〃x)=2sin—x+——

84333

(222小_.77r>/6+\/2

所以2sin—x十一=2sin—x+——=2sin——=-,---故---B---正確.

(33)33122

E17T12lf71

因?yàn)橐桓?--，-XH-------€0,1,函數(shù)/(x),在上是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤.

2333

故D錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于較難的題.

11、C

【解析】

設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，以4B為底結(jié)合△PAB的面積計(jì)算出點(diǎn)P到直線AB的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于

”的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為直線的方程為：一1=1,即x—y—2=0,

設(shè)點(diǎn)P到直線A3的距離為d,則S嘰=；|陰，d=；x2虛xd=2,解得]=8，

另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得d=)一"一2|=0,

V2

整理得。一\/^=0或〃一6-4=0，?>0,解得<7=0或4=]或々=9.

2

綜上，滿足條件的點(diǎn)P共有三個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.

12、D

【解析】

當(dāng)x>l時(shí)，函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)/(%)和，=座+1有圖像兩個(gè)交

點(diǎn)，計(jì)算人“=<，kBC=e-],根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=/(x-2),故函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

方程/(X)-如一1=0,即/(x)=znr+l,即函數(shù)/(x)和y=蛆+1有兩個(gè)交點(diǎn).

/(x)=e\f\x)=e\故/(0)=1,8(1,e),C(3,e),L=?，L="L

根據(jù)圖像知：機(jī)(Le-1].

故選：D.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分。

13、2

【解析】

-17+20+16+18+19

由這五位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別是17,20,16,18,19,得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=------------------------------=18,則方差

5

s2=-X[(17-18)2+(20-18)2+(16-18)2+(18-18)2+(19-18)2]=—=2.

55

72

14、-y/2

【解析】

BABCV2

①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解；②結(jié)合①求出cosZABC=

2，

根據(jù)面積公式即可得解.

【詳解】

?ABBC=2s山32°-cosIT-2cos32°?的13°=2(si"32°?cos77°-cos32°?s加77°)

2克〃(32。-77。)=-2s加45。=,

BABC41

②網(wǎng)=2,|5C|=1,cosAABC=

AB\^BC\2，

AsinZABC=立

2

,.SABC=BC\sinZABC=-x2xlx—^—

2'11?222

故答案為：-夜,巫.

2

【點(diǎn)睛】

此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應(yīng)用，涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，三角恒等變換，根據(jù)三角形面積

公式求解三角形面積，綜合性強(qiáng).

15、￡

2

【解析】

易知/(x)=max{|lnx+Q+x+b|Jlnx+a-x-4},設(shè)G(x)=|lnx-x+Q-W，F(xiàn)^=\lnx+x+a+b\,利用絕

對(duì)值不等式的性質(zhì)即可得解.

【詳解】

/(x)=max^lnx+6z4-x+/7|,|lnx4-^-x—Z?||,

設(shè)G(x)=|lnx-x+a-b|,F(x)=|lnx+x4-4z+/?|,

令/z(x)=lnx-x,//(%)=——1

x

當(dāng)了41，4時(shí)，A'(x)<0,所以/2(x)單調(diào)遞減

令=lnx+x,n(x)=—+1

當(dāng)xe［l,e］時(shí)，〃(x)>0,所以〃(x)單調(diào)遞增

所以當(dāng)xe［l,e］時(shí)，

G(x)=max{|l+a—@,|l+a—e-4},

E(x)=max1|l+a+/?|,|l+?+e+/?||,

貝?。?Af(a,Z?)>|l+6(—Z?|+|l+4z_c-/?|+|l+iz+c+Z?|+|l+4z+/?|

則4M(a,Z?)>|2+e+2a|+|2-e+2a|>2e,

即M(a,O)奇

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)最值的求法，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于難題.

16、(1)2+0—2)2=5

【解析】

由題意可得圓的面積求出圓的半徑，由圓心在曲線上，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)，到直線的距離等于半徑，再由均值不等式可

得女的最大值時(shí)圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】

設(shè)圓的半徑為廣，由題意可得〃尸=5%，所以廠=行，

由題意設(shè)圓心C(a,K),由題意可得。>0,

a

k

由直線與圓相切可得”____k,所以|2。+人+1|=5,

忑7a

而%>0,<2>0>所以5=2aH卜1N2、［2ahl,即22J2k，解得％W2,

aVci

k

所以我的最大值為2,當(dāng)且僅當(dāng)2a=一時(shí)取等號(hào)，可得。=1,

a

所以圓心坐標(biāo)為：(1,2),半徑為近，

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x—l)2+(y—2)2=5.

故答案為：(xT)2+(y—2)2=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系及均值不等式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)

算求解能力，求解時(shí)注意驗(yàn)正等號(hào)成立的條件.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)詳見解析；(2)詳見解析.

【解析】

(1)利用平行四邊形的方法，證明MN//平面ABgA.

(2)通過(guò)證明平面由此證得48LAN.

【詳解】

(D設(shè)E是中點(diǎn)，連接由于M是AC中點(diǎn)，所以ME"BC且MN=^BC,而用N//BC且

B】N=gBC,所以ME與gN平行且相等，所以四邊形ME用N是平行四邊形，所以MN//B、E,由于MN"平

面B|Eu平面ABBA，所以用N//平面ABqA.

(2)連接Aq,由于直三棱柱中BC_L8用，而1.A3,8片cA3=8,所以8C_L平面AB44,所以BC_LA.B,

由于8C//BC,所以?由于四邊形AB44是矩形且AB=AA，所以四邊形ABqA是正方形，所以

43_14片,由于44門用0=31,所以48，平面/1477,所以A]LAN.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

18、(1)a=0.005,8=0.01,c=0.02.(2)填表見解析；在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得

優(yōu)秀作文，，與，，學(xué)生的文理科，，有關(guān)(3)詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)頻率分步直方圖和。，仇c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，即可得解；

(2)由頻率分步直方圖算出相應(yīng)的頻數(shù)即可填寫2x2列聯(lián)表，再用K?的計(jì)算公式運(yùn)算即可；

(3)獲獎(jiǎng)的概率為亮=點(diǎn)，隨機(jī)變量1~3(2,，],再根據(jù)二項(xiàng)分布即可求出其分布列與期望.

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖可知，10x(a+b+c)=l-10x(0.018+0.022+0.025)=0.35,

因?yàn)閍,dc構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以a+2a+4a=0.035,解得a=0.005,

所以￡>=2a-0.01>c-4a=0.02.

故a=0.005,8=0.01,c=0.02.

(2)獲獎(jiǎng)的人數(shù)為0.005x1Ox400=20人，

因?yàn)閰⒖嫉奈目粕c理科生人數(shù)之比為1:4,所以400人中文科生的數(shù)量為400x(=80,理科生的數(shù)量為

400-80=320.

由表可知，獲獎(jiǎng)的文科生有6人，所以獲獎(jiǎng)的理科生有20—6=14人，不獲獎(jiǎng)的文科生有80—6=74人.

于是可以得到2x2列聯(lián)表如下：

文科生理科生合計(jì)

獲獎(jiǎng)61420

不獲獎(jiǎng)74306380

合計(jì)80320400

五2_400x(6>306-14>74)2

八20x380x80x320?1.32<6.635

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的情況下，不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān).

201

（3）由（2）可知，獲獎(jiǎng)的概率為K=

40020

X的可能取值為0,1,2,

02361

P(X=())=《?1(2102,120,

,-400,

12、_38_19

P(X=1)=C；?

.工20）J瓦-400-200,

2空

P(X=2)=C]120,I.f=_L

<20,4001

分布列如下:

X012

361191

P

400200400

數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x迎■+lxJ-+2x」一=-t

40020040010

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖、統(tǒng)計(jì)案例和離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的閱讀理解能力和計(jì)算能力，屬于

中檔題.

2(

19、(1)—+y2=1；(2)V2,

4-

【解析】

￡=在

a2

222

(1)由題意得《a^b+c，求出進(jìn)而可得到橢圓后的方程;

79

4a②+16b2

(2)由(1)知點(diǎn)A,8坐標(biāo)，設(shè)直線AP的方程為y=-x+2),易知0＜上＜(,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2&),聯(lián)立方

y-k(x+2)

程《22，得到關(guān)于丁的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，可用人表示p的坐標(biāo)，進(jìn)而由三點(diǎn)共線,

―x+/=]

I4,

即kBD=kpB，可用攵表示。的坐標(biāo)，再結(jié)合k8=&"，可建立方程，從而求出攵的值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】

c6

a2

a2=4

(1)由題意得《<z2=b~+C1，解得

b2=1

79

V+16F-

丫2

所以橢圓E的方程為土+y2=i.

4-

（2）由⑴知點(diǎn)4—2,0）,8（0,—1）,

由題意可設(shè)直線AP的斜率為左，則所以直線AP的方程為y=&(x+2),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2%),

y^k（x+2）

2

聯(lián)立方程x,,消去》得：（1+442）/+16憶2%+16%2-4=（）.

一+曠=1

I4-

16/一48k2—2

設(shè)P（石,X）,則—2-X]-------,所以％=-------

1+4/11+4公7

由“I，/8&2-2c、4Zg”a8爐一24k、

所以，=?W+2）=所以詢）.

設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為(不，0),因?yàn)辄c(diǎn)P,8,。三點(diǎn)共線，所以kBD=kpB，即

「力+】

11+4公2_4kbtnN_4k.

,所以不TF，所以O(shè)（TF，°）?

8k2—21+2k1+2k

1+4公

2k_1

因?yàn)镃D//AB,所以k8=左.，即2-4k2?

~1+2k

所以4k2+4左一1=0,解得"=二1主也，

2

又0<A<<,所以左=立二1符合題意,

22

計(jì)算可得一窯!母‘高考,

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(、回,立).

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平行線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于難

題.

20、(1)①極小值為1,無(wú)極大值.②實(shí)數(shù)#的值為1.(2)[-2,0)

【解析】

⑴①將后=1代入〃x)可得/(同=/一2111；1,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性，即得極值；②設(shè).%是函數(shù)/(力的一個(gè)“尸

點(diǎn)即是/'(X)的零點(diǎn)，那么由導(dǎo)數(shù)/，(x)=2("——1)可知女>0,且/'(%)=0,可得豌L,根

Xk

據(jù)/(毛)=方可得%+21門0-1=0,設(shè)°(x)=x+21nx-l,由。(x)的單調(diào)性可得.%，即得h⑵方法一：先

求g(x)的導(dǎo)數(shù)，8(%)存在兩個(gè)不相等的“尸點(diǎn)”為，可以由g'(x)=0和韋達(dá)定理表示出為，々的關(guān)系，再由

g(X1)-g(X2)=X]-工2，可得a,》,c的關(guān)系式，根據(jù)已知解年(％)-8優(yōu))|=回一巧|21即得?方法二：由函數(shù)g(x)

3加+2版+c=。的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根，由

存在不相等的兩個(gè)“尸點(diǎn)”網(wǎng)和巧，可知再，起是關(guān)于x的方程組

ax+cx=x

加+加+5=工得九二。，分兩種情況：x=0是函數(shù)g(x)一個(gè)“尸點(diǎn)”，x=0不是函數(shù)g(x)一個(gè)“尸點(diǎn)”，進(jìn)行討

論即得.

【詳解】

解：(1)①當(dāng)％=1時(shí)，/(x)=f_21nx(后eR),

則有/(X)=2(XT)(X+1)(%＞。)，令/，(》)=0得％=I,

X

列表如下:

X(0,1)1(1,+8)

—0+

/W極小值

故函數(shù)/(X)在x=l處取得極小值，極小值為1,無(wú)極大值.

②設(shè)%是函數(shù)/(X)的一個(gè)“F點(diǎn)”(/>0).

尸(力，2伏1)(x〉0),???不是函數(shù)/'(x)的零點(diǎn).

X

■.k>0,由/''(Xo)=o,得同=1，%=4，

由/(玉))=玉)，得叱_21nxo=%，即Xo+21n玉)-1=0.

/、2

設(shè)°(x)=x+21nx-l,則d(x)=l+—>0,

所以函數(shù)°(x)=x+21nx-1在(0,+“)上單調(diào)增，注意到0(1)=0,

所以方程Xo+21nXo-l=O存在唯一實(shí)根1,所以入0=6=1,得z=1,

根據(jù)①知，左=1時(shí)，x=l是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，

所以1是函數(shù)/(x)的“F點(diǎn)”.

綜上，得實(shí)數(shù)〃的值為1.

(2)由g(x)=o?+fer2+5(Q,b,cwR,a#0),

可得/(%)=3加+2/?x+c(a/O).

又函數(shù)g(x)存在不相等的兩個(gè)“尸點(diǎn)”占和馬,

二苞，馬是關(guān)于x的方程3以2+次+。=()(。。0)的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.

A=4/-12ac>0

2b

〈X]+X)=---------

3a

又g(xj=渥+〃x；+CT]=x,,g(x)=dx1+cx

2+hx^2=x2,

.??8（%）一且（尤2）=玉—尤2，即（渥+hx：+61）一（渥+/zx；+3）=%］一工2，

從而（％-%2）［。（片+%工