大學電路理論5章

1第五章電路的暫態(tài)過程分析

5.2換路定則與電壓和電流初值的確定

5.3一階電路的零輸入響應概述

5.4

一階電路的零狀態(tài)響應

5.5一階電路的全響應與三要素法

5.6RC電路對矩形脈沖的響應

5.1電容元件與電感元件2

什么是電路的暫態(tài)過程？概述S未動作前S動作后i=0，

uC

=USi=0，

uC=0S+–uCUSRCi+-S+–uCUSRCi+-初始狀態(tài)暫態(tài)過程新穩(wěn)態(tài)USuCtt10暫態(tài)過程：電路由一個穩(wěn)態(tài)過渡到另一個穩(wěn)態(tài)需要經(jīng)歷的過程，也稱過渡過程。3

過渡過程產(chǎn)生的原因(1)電路中含有儲量元件(內因)能量不能躍變(2)電路結構或電路參數(shù)發(fā)生變化(外因)支路的接入、斷開、短路等參數(shù)變化換路R1+–uCC+uSR3

(b)+uSR1R2R3

(a)45.1

電容元件與電感元件電容元件是用來表征電流的電場效應的理想元件。

1.定義：任意二端元件，在任意時刻t，元件兩端的電壓和它極板上電荷之間的關系可以在q–u平面上用曲線來表示(庫伏特性)，稱為電容元件。曲線稱為電容元件的特性曲線。2.庫伏特性方程：一、電容元件或

C=q/u

tg

q(C)=C(F)u(V)qu0

斜率C線性電容的庫伏特性

Ci

u+–+q–q電路符號單位：F，μF，pF

53.V－A特性方程若u,i

取關聯(lián)參考方向，則有：或：Ci

u+–+q–q電路符號從V－A

特性方程中可以看出C

具有以下重要性質：1)C的伏安特性不是代數(shù)形式而是導數(shù)形式，C—動態(tài)元件。當電壓恒定時，C—開路。直流穩(wěn)態(tài)特性。2)如果流經(jīng)C的電流有限，則C兩端電壓不能躍變。電容電壓連續(xù)性。一、電容元件6

4.儲能特性從t0到t

電容儲能的變化量：一、電容元件7例5.1.1：在圖(a)所示電路中，已知C=4F，電壓波形如圖(b)，求iC并畫出其波形圖。解：用分段表示法，得us函數(shù)表達式0t<1st－1

1s≤t≤2s-t+32s≤t≤4s-1t>4sus=圖(a)CusiC+-0t<1s4A

1s<t<2s-4A2s<t<4s0t>4s得iC

=01-1123456t/s圖(b)us/V04-412345t/s圖(c)iC/A根據(jù)電容伏安特性的微分形式一、電容元件8

1.定義：任意二端元件，在任一時刻t

，流過的電流和它產(chǎn)生磁通鏈的關系可以在Ψ–i

平面上用曲線來表示(韋安特性)，稱為電感元件。曲線稱為電感元件的特性曲線。二、電感元件電感元件是用來表征電流的磁場效應的理想元件。2.

韋安特性方程：Ψ(Wb)=L(H)i(A)L+u-ie電路符號Ψi0

斜率L線性電感韋安特性單位：H，mH，μH

93.V－A特性方程取u,i

關聯(lián)參考方向，則有：或：且：u=-eL+u-ie電路符號從V－A特性方程中可以看出L具有以下重要性質：

L的伏安特性不是代數(shù)形式而是導數(shù)形式，L—動態(tài)元件。當電流恒定時，L—短路。直流穩(wěn)態(tài)特性。2)如果L兩端的電壓有限，則流經(jīng)L的電流不能躍變。電感電流連續(xù)性。二、電感元件10

4.儲能特性從t0到t

電感儲能的變化量：二、電感元件11例3：在下圖電路中，已知L=2H，電流i(t)的數(shù)學表達式為i(t)=5t

0s≤t≤1s(－5t+10)A1s≤t≤3s(5t－20)A

3s≤t≤4s

解：(1)i(t)的波形如圖(a)所示；5L=10V0s≤t≤1s－5L=－10V1s≤t≤3s5L=10V

3s≤t≤4s(2)u

(t)=(1)

畫出i(t)的波形；(2)求u

(t),并畫出波形；(3)求t=2.5s

時電感元件的功率和儲能。例圖L+u(t)-i(t)二、電感元件12一、換路定則5.2

換路定則與電壓和電流初值的確定

1.表述：在換路后的瞬間，如果電路中不能提供無窮大的功率，則電路中電容元件上的電壓和電感元件流過的電流不能突變，且保持換路前一瞬間的原有值。t=0

2.

表達式：

uC(0+)=

uC(0－)iL(0+)

=

iL(0－)換路前的瞬間

t=0—換路后的瞬間

t=0+131.初始值的確定(2)根據(jù)電路的基本定律和換路后的等效電路，確定其它電量的初始值。uC(0－)→uC(0+)iL(0－)→iL(0+)(1)換路定則：

二、換路定則的應用14(1)由換路前t=0-時的電路,求uC(0-)和iL(0-)，

當換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，則C—開路，L—短路。(2)根據(jù)換路定則求出

uC(0+)和iL(0+)。(3)作t=0+

時的等效電路，根據(jù)替代定理

若

uC(0+)=U，則C視為uC(0+)的電壓源，

若

uC(0+)=0，則C視為短路。

若

iL(0+)=I

，則L視為iL(0+)的電流源，

若

iL(0+)=0，則L視為開路。(4)由

t=(0+)時的電路，求出其他電量的初始值。2.求解初始值的步驟：

二、換路定則的應用15由換路定則：uC(0+)=uC(0

)=8Vt=0+等效電路：解：例1：電路如圖所示，t=0時打開開關S，求uC(0+)、iC

(0+)。+10ViiCuCS10k

40k

+

Ci(0+)iC(0+)8V+10V10k

+

注意：iC

(0+)≠iC

(0-

)

二、換路定則的應用16t=0+等效電路：iL(0+)=iL(0

)=2A

解：例2：電路如圖所示，t=0時閉合開關S，求uL(0+)

。(t=0)10VS1

4

iLLuL+–+–由換路定則：iL(0+)uL(0+)10V1

4

+–+–uL(0+)=-4iL(0+)

=-8V

注意：∵uL(0-

)=0

∴uL(0+)=0

二、換路定則的應用17t=0+等效電路：iL(0+)=iL(0

)=IS

uC(0+)=uC(0

)=RISuL(0+)=

uC(0+)=

R·iL(0+)

=IS

IS=0解：例3：電路如圖所示，求iC(0+)

、uL(0+)

。在t=0+時，電感用恒流源替代，電容用恒壓源替代。+–uL

(0+)uC

(0+)R+–iC

(0+)iL(0+)

二、換路定則的應用S(t=0)+–uLCuCLISRiL+–iC185.3

一階電路的零輸入響應

一階電路：根據(jù)電路規(guī)律列寫電壓、電流的微分方程，若微分方程是一階的，則該電路為一階電路。如RC電路，RL電路。零輸入響應：定義：在無輸入(激勵)的情況下，僅由儲能元件釋放能量而引起的電路響應,稱為零輸入響應。此時儲能元件上的初始條件不為零，即：uC(0+)≠0，iL(0+)≠019一、RC

零輸入響應RCp+1=0其特征根為：

1.分析：得：將式(3)代入式(1)得該微分方程的特征方程為：A

=

uC(0+)=U0(1)

列方程：(2)

求方程通解：(3)

定常數(shù)：+-U0RCuRuCit=0+--+20令

=RC，稱為時間常數(shù)。放電結論：在同一個電路中只有一個τ，即電路按同一個指數(shù)規(guī)律變化。(4)

其它電量的響應

2.

時間常數(shù)

+-U0RCuRuCit=0+--+tuC0U0連續(xù)函數(shù)iCt0躍變一、RC

零輸入響應21從理論上講t

時，電路才能達到穩(wěn)態(tài)。但實際上一般認為經(jīng)過3

5

的時間，過渡過程結束，電路已達到新的穩(wěn)態(tài)。t0

2

3

4

5

U00.368U00.135U00.05U00.02U00.007U0

不同τ值的uC變化曲線

2.

時間常數(shù)τ一、RC

零輸入響應22

電路處于穩(wěn)定狀態(tài)，t=0時開關S閉合，求t≥0時，uC(t)和i3(t)？解:換路前電路穩(wěn)定,電容C視為開路,則有：

uC(0-)=ISR2=1×6=6V換路定則：uC(0+)=uC(0-)=6V例1CR3uCi323二、RL零輸入響應Lp+R=0其特征根為：

1.分析：得：將式(3)代入式(1)得該微分方程的特征方程為：(1)

列方程：(2)

求方程通解：+-U0RLuRuLt=0iL+-24將t

=0+的初始條件代入式(5)，

有：A

=

iL(0+)=I0(3)

定常數(shù)：(4)

其它電量的響應+-U0RLuRuLt=0iL+-+-I0tiL0連續(xù)函數(shù)

U0tuL0躍變令

=L/R,稱為一階RL電路時間常數(shù)二、RL零輸入響應25例5.3.2：電路所示，開關S長期合上，在t=0時打開，求t≥0時

iL(t)和

uL(t)

。解：求

iL(0-)，穩(wěn)態(tài)時L

相當于短路。例5.3.2電路+-SLuLt=0iL5V8

5

20

0.2H+-二、RL零輸入響應26例2：電路所示，求t≥0時

iL(t)和

uV(t).解：求

iL(0-)+-St=0iLL=0.4HRV5k

35VuV+–R=0.2

ViL(0+)=iL(0

)=35/0.2=175AuV(0+)=

875kV!現(xiàn)象：電壓表燒壞!采取預防措施二、RL零輸入響應27小結：一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應，都是一個指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時間常數(shù)

.

RC電路：

=RC,RL電路：

=L/R3.同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。4.一階電路的零輸入響應和初值成正比。285.4

一階電路的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應：電路中儲能元件均未儲能的情況下(即f(0-)=0)，僅由電源激勵所產(chǎn)生的電路暫態(tài)響應。

零狀態(tài)：儲能元件上的初始條件為零，即：

uC(0-)=0，iL(0-)=0。29一、RC零狀態(tài)響應uC(0

)=0S(t=0)+–uCUSRCi+–uR+–得：

分析：

1.列方程：方程(1)為一階常系數(shù)線性非齊次微分方程，解為：特解通解2.求特解uC'=US強制分量(穩(wěn)態(tài)分量)303.求齊次方程通解uC“自由分量(暫態(tài)分量)uC(0+)=A+US=0

A=

US4.求全解5.定常數(shù)6.其它電量的響應S(t=0)+–uCUSRCi+–uR+–uC'

USuC"uct0USuCuC,uR,iC的變化曲線一、RC零狀態(tài)響應31例1：在下圖(a)所示的電路中，U=12V，R1=2kΩ，R2=8kΩ，

R3=2.4kΩ，C=3μF，uC(0-)=0，在t=0-時開關S閉合，求換路后的uC、iC。

解：S(t=0)+–uCUR1CiC+–R2R3ab(a)a+–uCUSRCiC+–b(b)R1R2R3abR(c)32非齊次線性常微分方程解答形式為：求通解(暫態(tài)分量)求特解(穩(wěn)態(tài)分量)代入初始條件：iL(0+)=0二、RL零狀態(tài)響應通解特解iL(0

)=0S(t=0)+–uLUSR+–uR+–LiL33其它電量的響應iLUS0tuLuRS(t=0)+–uLUSR+–uR+–LiL二、RL零狀態(tài)響應34

解：換路后L左端戴維南電路例2：已知電感無初始儲能

t=0時合S,

求換路后的電感電流iL(t)。iL4V2HS(t=0)

+

_200

100

200

(a)iLUS2H

+R

_(b)二、RL零狀態(tài)響應355.5

一階電路的全響應與三要素法

1.

表述：電路中既有輸入電源的激勵作用，同時儲能元件又存儲有能量(即f(0+)≠0)，換路時引起的電路響應，稱為一階電路全響應。以RC電路為例

2.表達式：全響應=

零狀態(tài)響應+零輸入響應

一、一階電路的全響應

=+uC+-U1RCuRiCt=0U2+-+-+-uC1(0-)=0uC1RCuRiC1t≥0U2+-+--+uC2(0-)=U1uC2RCuRt≥0-+iC2+-36響應:分析:+全響應強制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC2RCuRt≥0-+iC2+-uC1RCuRiC1t≥0U2+-+--+

一、一階電路的全響應

37

U2

＞U1

電容充電U2

＞U1

時uC的變化曲線

1.當U2

＞U1

時，uC

由U1充電至U2*討論:

一、一階電路的全響應

382.當U2＜U1

時，

uC

由U1

放電至U2

。U2＜U1

時uC

的變化曲線

U2＜U1

電容放電一般形式:

一、一階電路的全響應

39二、一階電路分析的三要素法由前述分析得知：零輸入響應表達式為零狀態(tài)響應表達式為全響應=零狀態(tài)響應+零輸入響應∴全響應=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量一階電路暫態(tài)分析的三要素：式中f(t)

代表一階電路中任一電壓、電流函數(shù)。40三要素求解的方法和步驟1.

初始值f(0+)的求法(1)

先求uC(0-)

或iL(0-)

；若換路前為穩(wěn)態(tài)，則畫出t=0-

時的等效電路：電容開路，電感短路，并求uC(0-)

或iL(0-)

。(2)

依據(jù)換路定則求uC(0+)=uC(0-)，iL(0+)=iL(0-)(3)

畫出t=0+時的等效電路：電壓源uC(0+)替換電容，電流源iL(0+)替換電感，在求其它電量的初始值f(0+)。二、一階電路分析的三要素法412.穩(wěn)態(tài)值f(∞)

的求解

(1)求t=∞時的等效電路：電路換路后，將電容開路、電感短路，并求uC(∞)或iL(∞)。

(2)計算待求電量uC(∞)，iL(∞)，即為f(∞)。3.時間常數(shù)τ的求法

電路換路后：RC電路

τ=RC

RL電路

τ=L/RR等于儲能元件兩端看去的戴維南等效電阻；即電路換路后的無源二端網(wǎng)絡的等效電阻。三要素求解的方法和步驟二、一階電路分析的三要素法42求電感電壓uL(t)。例1:已知S

在t=0時閉合，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。第一步:求起始值

uL(0+)t=0ˉ

時等效電路t=0+時的等效電路2AR1R2R3uLSt=03ALSR2R1R3IS2

2

1

1HuL3ALiL2

2

1

二、一階電路分析的三要素法43第二步：求穩(wěn)態(tài)值

uL(∞)t=

時等效電路t=03ALSR2R1R3IS2

2

1

1HuLR1R2R3uLS第三步：求時間常數(shù)τLR1R2R3SLR二、一階電路分析的三要素法44第四步:將三要素代入通用表達式得過渡過程方程第五步:畫過渡過程曲線（由初始值穩(wěn)態(tài)值）起始值-4Vt穩(wěn)態(tài)值0VuL二、一階電路分析的三要素法45例2：已知t=0時合開關S。求：換路后的uC(t)并畫波形。解:tuC(V)361206mA6k

3k

+uC

S二、一階電路分析的三要素法46

例3：電路如圖所示，求uC、iC。SR1=2k

U=10V+_C=1

Ft=0R2=3k

uCiCuR1

解:二、一階電路分析的三要素法474V6V10V0tuCuR12mAiCSR1=2k

U=10V+_C=1

Ft=0R2=3k

uCiCuR1二、一階電路分析的三要素法48例4:已知t=0時開關閉合，求換路后的電流i(t)。解:三要素為：+–1H0.25F5

2

S10ViiL49

已知：開關S

原在“3”位置，電容未充電。當t

＝0時，S合向“1”t＝20ms時，S再從“1”合向“2”求：uC(t)、i

(t)uC(0-)=03+_U13VS1R1R21k2kC+_U25V1k2R3uCi3

+_思考題二、一階電路分析的三要素法505.6

RC電路對矩形脈沖的響應一、矩形脈沖分析

1.單個脈沖信號的分解