地磁第2章 地球主磁場的解析表示-1

第二章地球主磁場的解析表示§2.1西蒙諾夫理論（地心傾斜磁偶極子場的解析式）§2.2地磁場的高斯理論§2.3主磁場數(shù)學表達式，國際地磁參考場

在地磁場的研究中，存在兩個重要的問題：第一，能不能找到一個適當?shù)臄?shù)學表達式把地磁要素的地面分布表示成地理坐標的函數(shù);

第二，地磁場到底是起源于地球內(nèi)部還是地球外部。解決第一個問題，不僅對地磁場的分布可以給出精確的、定量的表示形式，而且對地磁場的構(gòu)成可以獲得全面而深刻的認識。弄清第二個問題，正是進一步從理論上解決地磁場成因問題的基礎。

A.吉爾伯特1600年的《磁體論》：把分散地點的地磁偏角和傾角測量資料組織在一個統(tǒng)一的框架之下，描繪在一個內(nèi)部環(huán)境與地球表面環(huán)境相同的太空艙中，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，地球表面磁場的分布與位于地心的一個條形磁鐵所長生的磁場非常相似

1）地磁場相似位于地心的一個條形磁鐵所產(chǎn)生的磁場

2）地磁場起源于地球內(nèi)部。吉爾伯特《磁體論》→西蒙諾夫理論→高斯球諧分析→高斯-施密特理論B.1835年西蒙諾夫：地球磁場是一個其磁軸通過地球中心的均勻磁化球體的磁場，首次給出地磁場（偶極子場）的解析表達式C.1839年高斯：完全不管產(chǎn)生磁場的物理原因，把球諧分析理論用于地磁場研究，把地磁場表示為地理坐標的函數(shù)，奠定了地磁學的理論基礎D.1885年施密特又發(fā)展了地磁場的球諧分析方法，引入施密特締合勒讓德函數(shù)磁偶極子的磁標勢(1)定義——一對十分靠近且?guī)У攘慨愋源藕?+q和-q)所組成的磁荷體系稱為磁偶極子。（一個單獨的點磁荷稱為單極子）矢量的大小為正負磁荷之間的距離,方向規(guī)定為從負磁荷指向正磁荷。，稱為偶極子的偶極矩

為Q點(+q位置)到觀察點M的距離為點(-q位置)到M點的距離為的中點到M的距離。r(2)偶極子的磁標勢:+q和-q磁荷在M點的勢為:下面是該勢的具體推導簡化過程將r+,r-

轉(zhuǎn)換為它們與r

的關(guān)系,由余弦定理得因此有因為,略去比的方次更高的項，得同樣可得故得出磁偶極子場的磁標勢的公式:§2.1西蒙諾夫理論（地心傾斜磁偶極子場的解析式）

一般

特殊均勻磁化物體的磁場均勻磁化球體磁場（磁偶極子磁場）（元磁鐵的組合，地心傾斜和地心重合泊松定理）一、泊松定理泊松定理—一個均勻磁化物體的磁標勢U，可用磁化強度(單位體積的磁矩)與這個物體的引力位V的梯度的標量積的負值來表示。用公式描述為其中證明：為磁化強度，在dv體積元內(nèi)的元磁矩

可視為一個磁偶極子,它在P點的磁標勢為：為體積元Q到P的距離矢量。

證明整個磁化體在P點的磁勢：

∵J均勻，積分和求梯度是分別對Q、P二點坐標進行，故可交換順序?！嗥渲校?從本質(zhì)上講，V是一個勻質(zhì)物體的引力位，G=1/ρ，僅只單位不同。二、均勻磁化球體的磁標勢，磁場和磁偶極子力線方程。1.磁標勢：當r>R時，球體引力位

v為球體體積。

的直觀上的證明：

從數(shù)學上講，積分的實質(zhì)是求和，球體在P點的引力位為球體上各個體積元在P點的引力位的疊加，而關(guān)于球心對稱的任何兩個體積元在P點的引力位的疊加等效于位于球心的大小為這兩個體積元之和的體積元在P點的引力位。由泊松定理：

在電磁學中，磁偶極子磁標勢為（國際單位制SI），所以是一個磁偶極子的磁標勢（電磁單位制emu）結(jié)論：一個均勻磁化球體在球外一點的磁標勢，等于一個放在地心共軸（偶極磁軸與地理軸重合）磁偶極子所產(chǎn)生的磁標勢。

2.球心共軸磁偶極子的磁場球心共軸—磁心和地心重合，偶極軸與地球自轉(zhuǎn)軸重合磁標勢為：

Θ為地磁余緯，地磁余緯將在后面講到，在這里我們先引用。由于球心共軸，所以地磁余緯和地理余緯是相同的。為磁場強度與標量磁位U有如下的關(guān)系：

又在球坐標系下：在球心共軸的條件下，可以寫為的三個分量記為：其中的方向與相反，的方向與相同磁感應強度所以球心共軸磁偶極子的磁場分量為又由地磁要素X，Y，Z的定義知磁場強度和磁感應強度的區(qū)別所以

在兩地磁極，或和r=a(a為地球半徑)，故在地磁赤道，和r=a,故兩者之比，即地磁兩極的磁場強度是地磁赤道的兩倍磁傾角：3.磁力線方程：磁力線切線方向即磁場方向，由這一條件寫出磁偶極子的磁力線方程

當Θ=90°，r=r0,得C=r0，

當r=R，則Θ=Θ0，Θ0為磁力線過球面點對應的極角求得:∴給定一個參量r0或Θ0，由（2-1-10）或（2-1-11）式畫出一條磁力線。①給定參量r0，由（2-1-10）式畫出磁力線。假如給定r0=0A，可以確定經(jīng)過點O和A的磁力線1，由Θ=90°知，A點為此磁力線的最遠點。

當Θ取值00～1800,則相應的有r（Θ），在坐標系ΘOr上描點，這樣我們就得到許多點（Θ，r（Θ）），再把這些點連接起來就得到磁力線1了。當r0取不同的值就可以畫出不同的磁力線了。②利用（2-1-11）式確定磁力線：給定參量Θ0，由（2-1-11）式畫出磁力線。當r=R，給定Θ0=（就是磁力線過球面點（A）對應的極角），可以確定經(jīng)過點O和A的磁力線1。

當Θ0取不同的值就可以畫出不同的磁力線了。三、西蒙諾夫理論（地心傾斜磁偶極子的磁場）將地球視為一個均勻磁化球體時地磁場的解析表達式。在地心傾斜磁偶極子模型中，磁偶極子仍然位于地心，但磁軸與地球自轉(zhuǎn)軸不重合，有一個夾角情況。

1.磁標勢因為均勻磁化軸(磁偶極子軸)與地理軸不復合，以磁化軸為極軸,則根據(jù)球面三角形邊的余弦定理：即球面三角形一邊的余弦等于其它兩邊的余弦之積加上該兩邊的正弦及其夾角余弦之積。在球面三角形NmNPs中：將2-1-12代入2-1-11得：令

∴

2.磁場以測點o為原點，ox軸指向地理北，oy軸指地理東，oz軸向下建立坐標系。因為：在地球表面,r=R

若知道,,,則地面上任一點的磁感應強度則由上式給出。三個系數(shù)一般由高斯分析給出。（2-1-15）式是地理坐標系下的偶極子磁場的表達式。令λ0=0，ψ0=90°，即取地磁軸與地理軸重合，這相當一個坐標變換，λ→∧地磁經(jīng)度，φ→Ф地磁緯度。λ0=0，ψ0=90°λ→∧地磁經(jīng)度，φ→Ф地磁緯度則（2-1-16）變換為：

(2-1-17)式為地磁坐標系下地心共軸磁偶極子磁場的表達式。由(2-1-17)得：(2-1-17)式為地磁坐標系下地心共軸磁偶極子磁場的表達式。

叫傾角（磁）緯度，或叫磁緯度，它由譜測傾角I根據(jù)上式算出。I=00→Фm=0,叫傾角磁赤道，簡稱磁赤道，它不是一個大圓圈。

概念和（2-1-18）式在古地磁研究中非常重要。

西蒙諾夫理論的價值并不是用它來描述地表地磁場，而在于：（1）它能較精確地描述高空地磁場的分布；（2）能夠確定出磁偶極場的參數(shù)（J，M）；（3）建立地磁坐標系。西蒙諾夫理論的價值在于：（1）它能較精確地描述高空地磁場的分布；（2）能夠確定出磁偶極場的參數(shù)（J，M）；（3）建立地磁坐標系。3.地心磁偶極參數(shù)磁矩M由（2-1-14）式得：

這樣我們就可以得到地磁北極Nm的地理位置λ0和θ0,其中

λ0

為地理經(jīng)度，θ0為地理余緯，θ0也就是磁偶極子軸與地球自轉(zhuǎn)軸的夾角

兩個概念：磁極(Magneticpole)，又叫磁傾極—實際測量確定的,I=正（負）90°,等偏線密集的兩個點（區(qū)域）,兩磁極的連線不一定通過地心。它對應的是傾角磁緯度，傾角磁赤道不是大圓圈。地磁極(Geomagneticpole)—理論上的偶極磁軸，必通過地心，磁極地理位置由

確定,它對應著地磁坐標系，地磁赤道是大圓圈。由1980年主磁場高斯系數(shù)代入得出：

M=7.91×1022A/m2λ0=70.8°W,φ0=78.8°N(φ0=900-θ0)

而1980年普測的南北磁極位置是：北磁極：78.2°N，102.9°W，南磁極：65.6°S，139.4°E，可見地磁北極和北磁極偏差很大。4.地磁坐標有很多地磁現(xiàn)象（特別在高空中）相對于地磁軸其有明顯的對稱性，因而在以地磁軸為極軸的坐標系下研究顯得很方便，從而導致人們建立如下的地磁坐標系：

地磁坐標系：以理論上的磁偶極子磁軸為極軸，偶極磁軸在地球表面的交點為地磁南北極。地磁子午線：過地磁兩極的任一大圓。地磁赤道面：過地心而垂直于地磁軸的平面.

本初地磁子午線（零度地磁經(jīng)線）：連接地磁北極、地理北極和地磁南極那條地磁子午線。地面某點的地磁坐標定義為：該點的矢徑與地磁軸的夾角稱為該點的地磁余緯度Θ，過該點的地磁子午面與本初地磁子午線的夾角叫該點的地磁經(jīng)度∧。N：地理北極Nm：地磁北極P：地理坐標

地磁經(jīng)緯度地理余緯θ地磁余緯Θ地理余緯和經(jīng)度在球面三角形NmNP中應用邊的余弦定理：應用邊的正弦定理：三邊正弦之比等于其對角的正弦之比

簡化僅由上式還確定不了Λ,如sinΛ<0，因為，Λ可在第3(或4)相限，需用找一個式子來聯(lián)立確定Λ。再應用一次邊的余弦定理：（2-1-22）～（2-1-24）式就是測點的地理坐標和地磁坐標間的變換關(guān)系

5.地方時與地方磁時地方時：旋轉(zhuǎn)確定，時差可由日地系統(tǒng)的相對化為經(jīng)度差。地方磁時一般用角度來表示：某一時刻太陽所在的地磁子午面與觀測點所在的地磁子午面之間的夾角。如圖所示：S0為太陽在地面上的投影，其地理坐標為(λˊ,φˊ)，地磁坐標為(Λˊ,Φˊ)，P為測點，其地理，地磁坐標分別為,(Λ,Φ)。時間：A=λ-λˊ定義：地方時t=A+A0=(λ-λˊ)+A0A0為確定地方時零時的時角。又定義當λˊ-λ=180°時（太陽正背該點），t=0,得A0=180°,故t=180°+λ-λˊ。定義本初子午線（λ=0）上的地方時為世界時t0。即t0=180°-λˊ因此：地方時t=t0+λ同樣，地方磁時的