4-3-1 等比數列的概念(教案)- 高中數學人教A版(2019)選擇性必修第二冊_第1頁
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文檔簡介

第四章數列4.3.1等比數列的概念教學設計教學目標1.通過實例,理解等比數列的概念和通項公式的意義,了解等比中項的概念.2.掌握等比數列的通項公式,能運用公式解決相關問題.3.體會等比數列與指數函數的關系.4.通過等比數列的概念、通項公式認識等比數列的性質,能夠運用等比數列的性質解決有關問題.教學重難點教學重點:等比數列的通項公式、等比數列的性質及應用.

教學難點:等比數列的運算、等比數列的性質及應用.

教學過程新知積累1.等比數列的概念一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示(顯然).2.等比中項如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項.此時,.3.等比數列的通項公式設一個等比數列的公比為q,根據等比數列的定義,可得.所以,,,……由此可得,又,這就是說,當時上式也成立.因此,首項為,公比為q的等比數列的通項公式為.4.等比數列與指數函數的關系由可知,當且時,等比數列的第n項是指數函數當時的函數值,即,如圖所示.反之,任給指數函數(k,a為常數,,,且),則,,…,,…構成一個等比數列,其首項為,公比為.例題鞏固例1若等比數列的第4項和第6項分別為48和12,求的第5項.解法1:由,,得,②的兩邊分別除以①的兩邊,得,解得.把代入①,得.此時,把代入①,得.此時.因此,的第5項是24或-24.解法2:因為是與的等比中項,所以.所以.因此,的第5項是24或-24.例2已知等比數列的公比為,試用的第項表示.解:由題意得①,②,②的兩邊分別除以①的兩邊,得,所以.例3數列共有5項,前三項成等比數列,后三項成等差數列,第3項等于80,第2項與第4項的和等于136,第1項與第5項的和等于132.求這個數列.解:設前三項的公比為,后三項的公差為,則數列的各項依次為,,80,,.于是得,解得或.所以這個數列是20,40,80,96,112,或180,120,80,16,-48.例4用10000元購買某個理財產品一年.(1)若以月利率0.400%的復利計息,12個月能獲得多少利息(精確到1元)?(2)若以季度復利計息,存4個季度,則當每季度利率為多少時,按季結算的利息不少于按月結算的利息(精確到)?解:(1)設這筆錢存n個月以后的本利和組成一個數列,則是等比數列,首項,公比,所以.所以12個月后的利息為(元).(2)設季度利率為r,這筆錢存n個季度以后的本利和組成一個數列,則也是一個等比數列,首項,公比為1+r.于是.因此,以季度復利計息,存4個季度后的利息為元.解不等式,得.所以當季度利率不小于1.206%時,按季結算的利息不少于按月結算的利息.例5已知數列的首項.(1)若為等差數列,公差,證明數列為等比數列;(2)若為等比數列,公比,證明數列為等差數列.證明:(1)由,,得的通項公式為.設,則.又,所以是以27為首項,9為公比的等比數列.(2)由,,得.兩邊取以3為底的對數,得.所以.又,所以是首項為1,公差為-2的等差數列.例6某工廠去年12月試產1050個高新電子產品,產品合格率為90%,從今年1月開始,工廠在接下來的兩年中將生產這款產品,1月按去年12月的產量和產品合格率生產.以后每月的產量都在前一個月的基礎上提高5%,產品合格率比前一個月增加0.4%,那么生產該產品一年后,月不合格品的數量能否控制在100個以內?解:設從今年1月起,各月的產量及不合格率分別構成數列,.由題意知,,其中,則從今年1月起,各月不合格產品的數量是,由計算工具計算(精確到0.1)并列表如下.n1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0觀察發(fā)現(xiàn),數列先遞增,在第6項以后遞減,所以只要設法證明當時,遞減,且即可.由,得,所以當時,遞減.又,所以當時,.所以生產該產品一年后,月不合格品的數量能控制在100個以內.課堂練習1.在等比數列中,,,則()A.512 B.1024 C.512或-512 D.1024或-1024答案:A解析:設等比數列的公比為q,所以,所以.故選A.2.若某單位某年12月的產值是同年1月產值的m倍,則該單位此年產值的月平均增長率是().A. B. C. D.答案:C解析:設月平均增長率為x,則,所以,故選C.3.在等比數列中,若對任意,都有,則公比_________.答案:解析:由得,故,解之得.4.已知為等比數列,,,則的通項公式為_________.答案:或解析:,兩式相除,消去,得,解得或.小結作業(yè)小結:本節(jié)課

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