4-3-1 等比數列的概念（教案）- 高中數學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第四章數列4.3.1等比數列的概念教學設計教學目標1.通過實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義，了解等比中項的概念.2.掌握等比數列的通項公式，能運用公式解決相關問題.3.體會等比數列與指數函數的關系.4.通過等比數列的概念、通項公式認識等比數列的性質，能夠運用等比數列的性質解決有關問題.教學重難點教學重點：等比數列的通項公式、等比數列的性質及應用.

教學難點：等比數列的運算、等比數列的性質及應用.

教學過程新知積累1.等比數列的概念一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（顯然）.2.等比中項如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.此時，.3.等比數列的通項公式設一個等比數列的公比為q，根據等比數列的定義，可得.所以，，，……由此可得，又，這就是說，當時上式也成立.因此，首項為，公比為q的等比數列的通項公式為.4.等比數列與指數函數的關系由可知，當且時，等比數列的第n項是指數函數當時的函數值，即，如圖所示.反之，任給指數函數（k，a為常數，，，且），則，，…，，…構成一個等比數列，其首項為，公比為.例題鞏固例1若等比數列的第4項和第6項分別為48和12，求的第5項.解法1：由，，得，②的兩邊分別除以①的兩邊，得，解得.把代入①，得.此時，把代入①，得.此時.因此，的第5項是24或-24.解法2：因為是與的等比中項，所以.所以.因此，的第5項是24或-24.例2已知等比數列的公比為，試用的第項表示.解：由題意得①，②，②的兩邊分別除以①的兩邊，得，所以.例3數列共有5項，前三項成等比數列，后三項成等差數列，第3項等于80，第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132.求這個數列.解：設前三項的公比為，后三項的公差為，則數列的各項依次為，，80，，.于是得，解得或.所以這個數列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.例4用10000元購買某個理財產品一年.（1）若以月利率0.400%的復利計息，12個月能獲得多少利息（精確到1元）？（2）若以季度復利計息，存4個季度，則當每季度利率為多少時，按季結算的利息不少于按月結算的利息（精確到）？解：（1）設這筆錢存n個月以后的本利和組成一個數列，則是等比數列，首項，公比，所以.所以12個月后的利息為（元）.（2）設季度利率為r，這筆錢存n個季度以后的本利和組成一個數列，則也是一個等比數列，首項，公比為1+r.于是.因此，以季度復利計息，存4個季度后的利息為元.解不等式，得.所以當季度利率不小于1.206%時，按季結算的利息不少于按月結算的利息.例5已知數列的首項.(1)若為等差數列，公差，證明數列為等比數列；(2)若為等比數列，公比，證明數列為等差數列.證明：（1）由，，得的通項公式為.設，則.又，所以是以27為首項，9為公比的等比數列.(2)由，，得.兩邊取以3為底的對數，得.所以.又，所以是首項為1，公差為-2的等差數列.例6某工廠去年12月試產1050個高新電子產品，產品合格率為90%，從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產這款產品，1月按去年12月的產量和產品合格率生產．以后每月的產量都在前一個月的基礎上提高5%，產品合格率比前一個月增加0.4%，那么生產該產品一年后，月不合格品的數量能否控制在100個以內？解：設從今年1月起，各月的產量及不合格率分別構成數列，.由題意知，，其中，則從今年1月起，各月不合格產品的數量是，由計算工具計算（精確到0.1）并列表如下.n1234567105.0105.8106.5107.0107.2107.2106.9n891011121314106.4105.5104.2102.6100.698.195.0觀察發(fā)現(xiàn)，數列先遞增，在第6項以后遞減，所以只要設法證明當時，遞減，且即可.由，得，所以當時，遞減.又，所以當時，.所以生產該產品一年后，月不合格品的數量能控制在100個以內.課堂練習1.在等比數列中，，，則()A.512 B.1024 C.512或-512 D.1024或-1024答案：A解析：設等比數列的公比為q，所以，所以.故選A.2.若某單位某年12月的產值是同年1月產值的m倍，則該單位此年產值的月平均增長率是().A. B. C. D.答案：C解析：設月平均增長率為x，則，所以，故選C.3.在等比數列中，若對任意，都有，則公比_________.答案：解析：由得，故，解之得.4.已知為等比數列，，，則的通項公式為_________.答案：或解析：，兩式相除，消去，得，解得或.小結作業(yè)小結：本節(jié)課