2023年福建省九年級(jí)數(shù)學(xué)中考模擬試題分項(xiàng)選編：圓（含解析）

2024年福建省九年級(jí)數(shù)學(xué)中考模擬試題分項(xiàng)選編：圓

一、單選題

1.（2024.福建福州.福建省福州第十九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，A8是O的直徑.￡＞是弧AC的中點(diǎn)，DC

與AB延長線交于P點(diǎn)，若/。3=16。，則23PC的度數(shù)為（）

2.（2024.福建南平.統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題“今有

圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，

埋在墻壁中，不知大小，用鋸子去鋸這個(gè)木材，鋸口深DE=1寸，鋸道尺（1尺=10寸），則這根圓

柱形木材的直徑是（）

B.13寸

C.24寸D.26寸

3.（2024?福建莆田?統(tǒng)考二模）如圖，△回￡＞是O的內(nèi)接三角形，作4￡＞〃0C與。相交于點(diǎn)C,且

Zfi（9C=110°,則NA8D的大小為（）

C.40°D.50°

1

4.（2024?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，A8是，；。的弦，AB=6,C是上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NAC8=45。.若M,N分別是A8,AC的中點(diǎn)，則長的最大值是（）

5.（2024?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)A,B,C均在。。上，且/BOC=90。，若

NACO的度數(shù)為m。，ZABO的度數(shù)為n。，則m-n的值是（）

A.30B.45C.50D.60

6.（2024?福建泉州?統(tǒng)考一模）如圖，在，。中，408=120。，點(diǎn)尸、。分別是優(yōu)弧A8與劣弧A8上的動(dòng)

點(diǎn)，則乙4尸。的度數(shù)不可能是（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

7.（2024?福建南平?統(tǒng)考二模）如圖，四邊形A8C。內(nèi)接于O,ZABD=70°,則N8C。的大

小是（）

2

A

A.120°B.130°C.140°D.150°

8.（2024?福建三明?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，BD是。的直徑，點(diǎn)A,C在O上，AB=AD<AC交BD于

點(diǎn)G,若NCOL>=126。，則NCGO的度數(shù)為（）

9.（2024?福建三明?統(tǒng)考一模）下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

10.（2024.福建福州?統(tǒng)考一模）下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長最小的是

（）

11.（2024.福建三明?統(tǒng)考二模）正八邊形的中心角等于（）度

A.36B.45C.60D.72

12.（2024?福建三明?統(tǒng)考二模）如圖，A3是半圓。的直徑，C,。是半圓上兩點(diǎn)，且滿足NA0C=12O。,

AB^n,則8c的長為（）.

3

B.2九C.4兀D.6兀

13.（2024?福建寧德?統(tǒng)考一模）”萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時(shí)廣泛使用的一種圖形.如圖，以等

邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形若等邊三

角形ABC的邊長為2,則該“萊洛三角形”的周長等于（）

A.24B.2兀-也D.2萬+6

14.（2024.福建福州.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓的半徑為6,120。的圓心角所對(duì)的弧長是（

A.24B.4〃C.64D.124

15.（2024.福建漳州.統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A,B,C是。上的點(diǎn)，AO=3,ZC=30°,則AB的長是（）

B.27rC.34D.4笈

16.（2024.福建福州?統(tǒng)考一模）如圖，在。中，弦A8=8,OClABf垂足為C,OC=3,則。的半

徑為.

17.（2024?福建福州?統(tǒng)考一模）已知,內(nèi)接于OO,/是JU3C的內(nèi)心，若ZB/C=ZBOC,則NB4C的

度數(shù)是.

18.（2024?福建莆田?統(tǒng)考二模）閱讀下列材料?：“為什么正不是有理數(shù)”，完成問題.

證明：假設(shè)次是有理數(shù)，

那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)〃，加，使得次=2,則.

4

〃3是2的倍數(shù),

可設(shè)”=2f（f為正整數(shù)），則“3=8/,

,即4/=加3,

??"〃，〃都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾.

因此假設(shè)不成立，即正不是有理數(shù).

將下列選項(xiàng)依次填入材料中的畫線處，正確的順序是.（填上序號(hào)）

①8/=2〃九②〃3=2/；③m是2的倍數(shù)；④〃是2的倍數(shù).

19.（2024.福建龍巖?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3.。是.MC的內(nèi)切圓,

分別與AC、BC、AB相切于點(diǎn)。、E、F,則圓心O到頂點(diǎn)A的距離=.

20.（2024.福建龍巖?統(tǒng)考一模）若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2,側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是180。，則

該圓錐的母線長為.

21.（2024.福建福州?統(tǒng)考一模）在半徑為1的圓中，1。圓心角所對(duì)的弧長是.

22.（2024.福建南平?統(tǒng)考二模）己知圓錐的底面半徑為5,母線長為13,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是.

23.（2024.福建南平.統(tǒng)考一模）如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB,AC夾角為120。，AB的長

為30cm,貼紙（陰影）部分BD的長為20cm,則貼紙部分的面積等于an1.

24.（2024?福建龍巖?統(tǒng)考二模）圓錐的底面半徑為5,高為12,則它的側(cè)面積為

三、解答題

25.（2024.福建南平?統(tǒng)考一模）如圖，A3為圓。的直徑,在直徑A3的同側(cè)的圓上有兩點(diǎn)C,。，AD=CD>

弦CE平分ZACB交BD于點(diǎn)、F.

5

DC

o

E

（D已知AC=2C8,A3=6,求BC的長：（結(jié)果保留力）

（2）求證：EF=EB.

26.（2024.福建龍巖?統(tǒng)考一模）已知菱形A8C￡＞中，120。，點(diǎn)區(qū)廠分別在AB,8c上，BE=CF,

AF與CE交于點(diǎn)P.

⑴求證：ZAPE=60°；

（2）當(dāng)PC=1,PA=5時(shí)，求尸￡＞的長？

⑶當(dāng)A8=2G時(shí)，求尸。的最大值？

27.（2024?福建三明?統(tǒng)考二模）如圖，一ABC為等邊三角形，點(diǎn)。在A8邊上.

（1）在一ABC內(nèi)部求作點(diǎn)E,使得VA0E是以AE＞為底邊的等腰直角三角形；（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不

寫作法）

⑵在（1）的條件下，連接CDCE,延長4E交C￡＞于點(diǎn)尸，若CE=DE,求證：EF=CF.

28.（2024.福建南平.統(tǒng)考一模）如圖，在Rt_AfiC中，ZABC=90°,以A8的中點(diǎn)。為圓心，A8為直徑

的圓交AC于。，E是8c的中點(diǎn)，OE交B4的延長線于足

6

B

（1）求證：即是圓。的切線;

(2)若3c=4,FB=8,求A8的長.

29.（2024.福建福州?統(tǒng)考一模）如圖，2為Q外一點(diǎn),M為OP中點(diǎn).

（1）過點(diǎn)P作。的一條切線P。，且。為切點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

⑵在（1）的條件下，若=求證：點(diǎn)M在。上.

30.（2024?福建龍巖?統(tǒng)考一模）如圖，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與

y軸交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）

（1）求拋物線的解析式；

（2）直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求過O,B,C三點(diǎn)的圓的面積.（結(jié)果用含兀的代數(shù)式表示）

31.（2024?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知鈍角,ABC中，CA=CB.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作NAC8的平分線CO交A8于點(diǎn)￡＞；作二ABC的外接圓。；

7

（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）中，若AB=2后，/ACB=120。，則此。的半徑為.（如需畫草圖，請(qǐng)使用備用

圖）

32.（2024?福建龍巖.統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，直線所與，。相切于點(diǎn)C,直線AO與切線EF

相交于點(diǎn)E,與：。相交于另一點(diǎn)。，連接A3,CD.

⑴求證：AB//EF-,

（2）若ZDEF=3ZD,求NDCF的度數(shù).

33.（2024.福建泉州.統(tǒng)考一模）如圖，在一ABC中，是鈍角

（1）求作。，使得圓心。在邊AC上，且（。經(jīng)過點(diǎn)B,C（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，設(shè)AC與：。的另一個(gè)交點(diǎn)為O,且AC=243=44）求證：48是，。的切線

34.（2024?福建龍巖?統(tǒng)考一模）如圖，A8為O的直徑，弦CD,于點(diǎn)E,B_LA尸于點(diǎn)凡且b=CE.

⑵若N￡>=30。，AB=10,求CD的長.

35.（2024.福建福州.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，P4是：。的切線，切點(diǎn)為A,點(diǎn)M在以上，連接MO交:O

于點(diǎn)O，

8

A

M

D

()

(D尺規(guī)作圖：過點(diǎn)尸作。的另一條切線尸8,切點(diǎn)為點(diǎn)B(保留作圖痕跡，不寫作法);

(2)若PA=9,MD=2,則。的半徑長是多少？

9

參考答案：

1.B

【分析】連接0C,根據(jù)NC4B=16°可得NAOC=180°—2xl6°=148°,即可得至ljNABC=gxl48°=74°,

從而得到ZADC=180。—74。=106。，根據(jù).D是弧AC的中點(diǎn)可得ND4C=ZDCA=^(180°-106。)=37。，結(jié)

合三角形內(nèi)外角關(guān)系即可得到答案；

【詳解】解：連接OC,

D

ZAOC=180°-2x16°=148°,

ZABC=-x148°=74°,

2

ZADC=180°-74°=106°,

?.?。是弧AC的中點(diǎn)，

ZDAC=NDCA=-(180°-106°)=37°,

2

在中，

"?ZACD=NBPC+NCAB,

二ZBPC=ZACD-ZCAB=310-16°=210,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)外角關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是熟知圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).

2.D

【分析】延長DE,交：。于點(diǎn)E,連接Q4,由題意知￡>E過點(diǎn)O,且QDLAB,由垂徑定理可得

AE=8E=gA8=g尺=5寸，設(shè)半徑Q4=OD=r,則OE=r-1,在RtaOAE中，根據(jù)勾股定理可得：

(r-l)2+52=r2,解方程可得出木材半徑，即可得出木材直徑.

10

【詳解】解：延長OE,交。于點(diǎn)E,連接。4,

由題意知。E過點(diǎn)。，且。D_L/W,

0。為。半徑，

=尺=5寸，

22

設(shè)半徑。4=OD=r,

,/DE=\,

：.OE=r-\

在中，根據(jù)勾股定理可得：

(r-l)2+52=r2

解得：r=13,

二木材直徑為26寸；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)求出NA0Q,根據(jù)圓周角定理解答即可.

【詳解】解：???/8OC=110。，

ZAOC=180°-ZB<9C=70°,

'：AD//0C,

：.ZBAIJ=ZAOC=10°,

'：OA=OD,

：.ZODA=ZBAD=10°,

：./A00=40。，

由圓周角定理得，N4BD=；N4OO=20。，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

II

4.C

【分析】根據(jù)中位線定理得到MN的長最大時(shí)，BC最大,當(dāng)8c最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求

得最大值.

【詳解】解：如圖，

2

.,?當(dāng)BC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值，當(dāng)BC是直徑時(shí)，BC最大，

連接80并延長交.。于點(diǎn)C',連接AC',

8C'是。的直徑，

ZBAC=90°.

ZACB=45°,AB=6,

ZAC'B=45°,

BC=0AB=6五，

?-?MN長的最大值是3VL

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查中位線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是判斷出的長最大

時(shí)8c為：。的直徑.

5.B

【分析】連接OA和AC,則0A=0B=0C,根據(jù)等邊對(duì)等角可得到：ZB=Z0AB=n°,ZC=ZOAC=

m。，再由圓的性質(zhì)可得到/CAB=g/BOC=45。，建立等式即可求解.

【詳解】解：連接OA,AC.

12

VOB=OA,

ZB=ZOAB=n°,

VOA=OC,

ZC=ZOAC=m°,

VZCAB=yZBOC=45°,

.,.m=45°+n,

Am-n=45°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，合理做出輔助線，利用圓的性質(zhì)建立角的等量關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

6.D

【分析】如圖所示，連接尸8，由圓周角定理求出ZAPB=60。，再由NAP。4N”8=60。即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接尸B,

,/ZAOB=\2(.r,

：.ZAPS」408=60°,

2

?；點(diǎn)P、。分別是優(yōu)弧AB與劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，

ZAPQ<ZAPB=60°,

二四個(gè)選項(xiàng)中，只有D選項(xiàng)符合題意，

故選D.

P

A\\

Q

13

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，熟知同弧所對(duì)的圓周角度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到NA=40。，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求

解即可.

【詳解】：=

/.ZADB=ZABD=10°,

,ZA=1800-ZABD-ZADB=40°,

；四邊形ABC。內(nèi)接于O,

ZC=180°-ZA=140°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握以上知識(shí)點(diǎn).

8.B

【分析】先利用鄰補(bǔ)角的定義計(jì)算出N3OC=60。，再根據(jù)圓周角定理得到ZR4C=30。，ZBAD=90°,接

著根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到=則可判斷△ABO為等腰直角三角形，所以4=45。，然后

根據(jù)三角形內(nèi)角定理計(jì)算NAG8的度數(shù)，再根據(jù)對(duì)頂角相等，即可得出答案.

【詳解】解：QBD是。的直徑，ZCOD=\26°,

ZBOC=1800-NCOD=54°,

ZfiAC=-ZfiOC=27o,

2

QBD是。的直徑，矗=G），

:.ZBAD=90P,AB=AD,

.?..謝為等腰直角三角形，

:.ZB=45°,

.-.ZAG8=180°-ZB-ZB4G=1800-45o-27o=108o.

.-.ZCGD=108°

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、對(duì)頂角

相等，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理.

9.A

【分析】根據(jù)命題的定義和定理及其逆定理之間的關(guān)系，分別舉出反例，再進(jìn)行判斷，即可得出答案.

14

【詳解】解：A、命題一定有逆命題，故此選項(xiàng)符合題意；

B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形對(duì)應(yīng)角相等沒有逆定理，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，如：對(duì)頂角相等的逆命題是：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角，它是假命題

而不是真命題，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、假命題的逆命題定不一定是假命題，如：相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角的逆命題是：對(duì)頂角相等，它是真命

題，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理，掌握好命題的真假及互逆命題的概念是解題的關(guān)鍵.把一個(gè)命題的條件

和結(jié)論互換就得到它的逆命題，所有的命題都有逆命題；正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題.

10.A

【分析】根據(jù)圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周長，正多邊形周長越長.

【詳解】解：圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周長，正多邊形周長越長，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是掌握“圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周

長，正多邊形周長越長

11.B

【分析】直接用360度除以邊數(shù)即可得到答案.

【詳解】解：等=45。，

O

正八邊形的中心角等于45度，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，熟知正〃邊形的中心角度數(shù)為36比0°是解題的關(guān)鍵.

n

12.B

【分析】連接OC,根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì)，可先求出-ABC的度數(shù)，從而得到△O8C是等

邊三角形，可得/8OC=60。，OB=OC=6,再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖所示：

連接OC,

vZA￡)C=120°,

15

.-.ZABC=60°,

又OB=OC,

OBC是等邊三角形,

則ZOBC=NOCB=ZBOC=60°，

OB=OC=BC=-AB=6f

2

,,..60兀x6-

8c的長為“八=2兀.

1oO

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查弧長公式的計(jì)算和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握“圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)''以及等邊三

角形的性質(zhì)是正確解答這道題的關(guān)鍵.

13.A

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及弧長公式/=覆vijrr求解即可.

180

【詳解】解：等邊三角形A8C的邊長為2,ZABC=ZACB=ABAC=60°,

???該“萊洛三角形”的周長=3x年=2兀,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，弧長公式，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

14.B

【分析】根據(jù)弧長公式可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：/=￥：：6=4萬;

1oU

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長公式，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵.

15.A

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系，得出NAQ8=60。，代入弧長計(jì)算公式即可.

【詳解】：AB所對(duì)的圓周角NC=30°,所對(duì)的圓心角為NAO6,

ZAOB=60°,

.曰60%x3

??AB的k是一A="，

1OV

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系及弧長的計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是求出NAOB=60。.

16

16.5

【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AC的長，再由勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接。4,

VOC1.AB,AB=8,

：.AC=4,

'：OC=3,

；?OA=yjAC2+OC2=5-

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

17.60°或108°

【分析】當(dāng)是銳角三角形時(shí)，得出4=180。-N/8C-N/C8=90o+gNA,得出90。+；4=2/A,

求解即可；當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，Z/=36()°-(3600-ZA-ZIBA-Z/C4)=90°+ZA,得出

90°+1zA=2(180°-ZA),求解即可；當(dāng)..他C是直角三角形時(shí)，不符合題意.

【詳解】解：當(dāng)一ABC是銳角三角形時(shí)，如圖所示：

是，ABC的內(nèi)心，

:.Bl、C7平分N48C、NACB,

：.ZIBC=-ZABC,ZICB=-NACB,

22

Z/=180°-ZIBC-ZICB

=\80°--ZABC--ZACB

22

17

=180°-1(ZABC+ZACB)

=180°--1(180°-ZA)

=180°-90°+-ZA=90°+-ZA,

22

VZO=-ZA,NBIC=NBOC,

2

：.90°+-ZA=2ZA,

2

ZA=60°；

當(dāng),.MC是鈍角三角形時(shí)，如圖所示:

是_4?C的內(nèi)心,

BI、CI平分ZABC、ZACB,

ZIBC=-ZABC,NICB=-ZACB,

22

AZ/=360°-(36()o-ZA-Z/BA-Z/C4)

360°-Z^-1(180°-ZA)

=360°-

=360°-(360°-NA-900+g/A

=90°+-ZA

2

,/NO=2(180°-ZA),ABIC=NBOC,

90。+gNA=2(180。-ZA),

ZA=108°；

當(dāng)4ABe是直角三角形時(shí)，不符合題意;

故答案為：60°或108。.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心，角平分的定義，分情況討論是解題的關(guān)鍵.

18.②④①③

18

【分析】根據(jù)反證法的證明步驟以及立方根的定義補(bǔ)全證明過程即可求解.

【詳解】證明：假設(shè)版是有理數(shù)，

那么存在兩個(gè)互質(zhì)的正整數(shù)〃，加，使得蚯=K，則/=2〃八

m

〃3是2的倍數(shù)，

，”是2的倍數(shù)，

可設(shè)"=2f（f為正整數(shù)），則〃③=8兒

8/=2/n3，即4/=m3，

機(jī)是2的倍數(shù)，

■■m,〃都是2的倍數(shù)，不互質(zhì)，與假設(shè)矛盾.

因此假設(shè)不成立，即也不是有理數(shù).

故答案為:.②④①@

【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的定義，反證法，熟練掌握反證法證明方法是解題的關(guān)鍵.

19.而

【分析】連接8、OE、OF,通過勾股定理求得A8=5,由題意可得四邊形ODCE為正方形，利用切線

長定理可得8=8=1,即可求解.

【詳解】解：連接8、OE、OF,如下圖：

由題意可得：NC=NCDO=NCEO=ZADO=90°,OE=OD,AD=AF,CD=CE,BE=BF

則四邊形ODCE為正方形，即CD=OD,

由勾股定理可得：AB=>lAC2+BC1=5>

設(shè)CD=CE=x,貝!]AD=AF=4—x,BF=BE=3—x,

"：AF+BF=AB=5,

??4—x+3—x=5,

解得x=1，

19

：.CD=OD=\,AD=4-1=3,

由勾股定理可得：AO=\JAD2+OD2=Vi(j>

故答案為：回.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓與三角形的綜合應(yīng)用，涉及了切線長定理，切線的性質(zhì)定理，勾股定理以及正方形

的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí).

20.4

【分析】設(shè)該園錐的母線長為/,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長,

扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長即可求解.

【詳解】解：設(shè)該圓錐的母線長為/,根據(jù)題意得:

八八1804/

2;rx2=--------

180

解得：1=4,

即該圓錐的母線長為4.

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：理解圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長,

扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題的關(guān)鍵.

…不，1

21.----/-----71

180180

【分析】根據(jù)弧長公式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：/=黑1X4X171

18()180180

故答案為：孟

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長公式，若弧所在圓的的半徑為「，所對(duì)圓心角為則弧長/=黑，熟知弧

18()

長公式是解題的關(guān)鍵.

22.65萬

【分析】圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，利用扇形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：???圓錐的底面半徑為5,

???底面圓周長為：24r=24、5=10萬，

S=—xl0^xl3=65^,

2

故答案為：65*

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周

20

長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，牢記扇形的面積公式是解決此類問題的關(guān)鍵.

3602

”800

23.—71

3

【詳解】解：由題意可知AD=AB-BD=10cm,

根據(jù)扇形的面積可知陰影部分的面積為大扇形面積-小扇形面積,

2

因此可由扇形的面積公式s="匚可求,

360

即S陰=5大?5小;乃(3。2—1。2)=120萬x3()2120萬xIO?800

------------=-------71

3603603

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積公式.

24.65K

【分析】利用勾股定理易得圓錐的母線長，那么側(cè)面積=Q<底面半徑X母線長.

【詳解】解：；圓錐的底面半徑為5,高為12,

圓錐的側(cè)面積為13,

，它的側(cè)面積=仆13'5=65兀,

故答案為65兀.

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算；用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的底面半徑，高，母線長組成以母線長為斜邊的直

角三角形.

25.⑴乃

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)=，AC=2CB>求出AO=C￡>=BC=60。，連接。C,根據(jù)弧長公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)圓周角定理得到NACB=9()。，利用弦CE平分NAC3求出NACE=/8CE=1/AC3=45。，得到

2

ZABE=ZACE=45。,根據(jù)推出ZA8D=NCB。，進(jìn)而推出,即可證得結(jié)論.

【詳解】(1)解：：A3為圓O的直徑，

AD+CD+BC=180°>

AD=CD>AC=2CB>

?*-AD=CD=BC=60°<

21

ZBOC=60°,

連接OC,

OB=-AB=3,

2

(2)證明：為圓。的直徑，

ZACB=90°,

,/弦CE平分ZACB交8。于點(diǎn)F.

：.ZACE=NBCE=-AACB=45°,

2

：.ZABE=ZACE=45°,

AD=CD>

：.ZABD=NCBD,

,/NEBF=ZABE+ZABD,NBFE=NBCE+NCBD,

ZBFE=ZEBF,

：.EF=EB.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，弧長公式，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

26.(1)證明見解析

(2)6

(3)4

【分析】(1)如圖所示，連接AC,先證明A3C是等邊三角形，得到NACF=NCBE=60。，AC=CB,

再證明■ACF絲一CBE得到NCAF=NBCE,由此即可證明結(jié)論；

(2)延長PC到M使得證明得到=NADF=NCDM,進(jìn)而證明

APDM是等邊三角形，則PD=PM=PC+PA=6-,

(3)先證明A、P、C,。四點(diǎn)共圓，則當(dāng)尸3為直徑時(shí)，PD最大,設(shè)圓心為。，連接。4OC,過點(diǎn)。

22

作。0_LAC于在RtZXAQW中求出。4的長即可得到答案.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接AC,

??,四邊形ABC。是菱形，

：.AB=BC,AD//BC,

???ZBA￡>=120°,

AZB=ZADC=60°,

???一ABC是等邊三角形，

：.ZACF=ZCBE=60°,AC=CBf

又<CF=BE,

：.AACF^ACBE(SAS),

:.NCAF=ABCE,

VZBCE+ZACE=ZACB=60°,

NAPE=ZACE+ZCAF=60°；

(2)解：延長尸C到M使得CM=4P,

由(1)可得NAFC=NCEB,

VAD//BC,AB//CD,

：.ZDAF+ZAFC=180°,NDCM=NAEC,

：.NCEB+NZM尸=180。，

ZAEC+NCEB=180°,

?,.NDAF=ZDCM,

比：AF=CM,AD=CDf

：./^ADF^/^CDM(SAS),

:.DF=DM,/ADF=/CDM,

同理可得/4QC=60。，

:.ZADC=NPDM=60°,

???△PPM是等邊三角形,

23

:.PD=PM=PC+PA=6；

：.ZAPC=120°,

*/ZADC=60o,

???ZAPC+ZADC=180°,

???A、P、C、。四點(diǎn)共圓，

???當(dāng)P力為直徑時(shí)，PD最大,

設(shè)圓心為O,連接OAOC,過點(diǎn)。作QMLAC于M,

.?.？AOC2?ADC120?,

VtM=OC,

?,.N。4M=30。，

VAC=AB=2y/3,OMLAC,

：.AM=-AC=43f

2

OM=—AM=],

3

???0/4=2,

?**PD瑜火=4；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，四點(diǎn)共圓,

圓周角定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

27.⑴見解析

(2)見解析

24

【分析】(1)先作AD的垂直平分線，再以AD的中點(diǎn)為圓心，以;A。長為半徑作圓，則圓與AO的垂直

平分線相交，在一ABC內(nèi)部的交點(diǎn)E即為所求；

(2)由VADE是以為底邊的等腰直角三角形得到ND4E=")E=45。，由；為等邊三角形得到

ZZMC=60°,則NE4C=15。，進(jìn)一步求得NE4C=NACE=15。，則N/^CnSO。，由NA￡D=90。得到

ZDEF=90°,貝I/DEC=120。，由等腰三角形的性質(zhì)即可得到NEC￡>=30。，則NECD=NFEC,即可得

到結(jié)論.

【詳解】(1)如圖，V/WE滿足要求，

?.?點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上，

AE=DE,

丁AO是圓的直徑，

???ZAED=90°f

???VAPE是等腰直角三角形，滿足要求;

(2)如圖，

??VADE是以AO為底邊的等腰直角三角形,

*.ZZME=ADE=45°,

??一ABC為等邊三角形，

,?ZZMC=60°,

??ZE4C=15°,

：AE=DE,DE=EC,

,?ZEAC=ZACE=\50,

??"EC=30。，

25

???ZAED=90°,

ZD￡F=90°,

AZDEC=120°,

???ZECD=30°,

:?NECD=/FEC,

：.EF=CF,

【點(diǎn)睛】此題考查了垂直平分線的作圖和性質(zhì)、圓的作圖、圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、

等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確作圖是解題的關(guān)鍵.

28.(1)見解析；(2)V17-1

【分析】(1)連接0拉，利用等腰三角形性質(zhì)，直角三角形證明ODLFE即可;

(2)設(shè)OD=x,求證AQOFSEBF,列比例求解即可.

【詳解】解：證明：連接O。，如圖：

〈AZ?為直徑，

:.ZADB=ZBDC=9Q0,

???點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，

；?ED=EB,

，ZEDB=ZEBD,

VZEBD+ZABD=90°,ZZMB+ZAB￡)=90°,

:.ZDAB=ZDBE=ZBDE,

9

：0A=0Df

：.ZODA=/DAB=ZDBE=ABDE

?；NODA+NODB=90°,ZCDE=ZADFf

：.ZFDO=90°,

：.OD1FD

???尸。是圓。的切線.

26

(2)是BC中點(diǎn)，8c=4,

：.BE=2,

FE=>JBE2+FB2=S+G=2歷，

在△ODF和△￡?尸中，NODF=NEBF=90°,NF=NF,

；.ODFS'EBF,

，設(shè)0。為x,

,ODOFx8-x

則說=花。廠而'

解得：x=姮二1,

2

貝I」A8=2x=JF7-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)以及相似三角形

的判定與性質(zhì)，利用角的等量轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

29.⑴見解析；

(2)見解析.

【分析】(1)以點(diǎn)M為圓心，。河的長為半徑畫弧交。于點(diǎn)。，連接PQ,則PQ即為所求；

(2)連接。。，設(shè)PM=x,則PQ=8,可得OM=PM=x,OP=2PM=2x,在RtzXOP。中，由勾股

定理可得0Q=x,從而得到，。的半徑，=x,即可求解.

【詳解】(1)解：如圖，PQ為所求作的。的切線，其中。為切點(diǎn).

理由：如圖，連接。。，

由作法得：QM=OM,

???/為OP中點(diǎn)，

QM=OM=PM,

：.NMOQ=NOQM,NP=NPQM,

NMOQ+ZP=NOQM+NPQM,

即ZMOQ+ZP=ZOQP,

27

ZMOQ+ZP+ZOQP=180°,

NOQP=90°,

即OQCQ,

?：OQ為，。的半徑，

，PQ與：Q相切；

(2)解：由(1)得，PQ與1。相切于點(diǎn)Q.

連接。。，

OQ^PQ,

../OQP=90。.

設(shè)則PQ=6C.

M是OP的中點(diǎn)，

:.OM=PM=x,OP=2PM=2x,

在RtZXOPQ中，OQ=y]OP2-PQ2=x,

即。的半徑「=》，

/.OM=r,

.?.點(diǎn)”在。上.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，尺規(guī)作圖等知識(shí)，熟練掌握

切線的判定和性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

25

30.(1)y=x2-4x-5；(2)B(5,0),C(0,-5)；(3)—n.

2

【分析】(D利用對(duì)稱軸方程可求得b,把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得c,可求得拋物線的解析式；

(2)根據(jù)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用拋物線的解析式可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；(3)根據(jù)B、

C坐標(biāo)可求得BC長度，由條件可知BC為過0、B、C三點(diǎn)的圓的直徑，可求得圓的面積.

--=2仿=-4

【詳解】(1)由A(-1,0),對(duì)稱軸為x=2,可得｛2，解得｛.

拋物線解析式為y=x2-4x-5；

(2)由A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),且對(duì)稱軸方程為x=2,可知AB=6,

28

；.0B=5,

；.B點(diǎn)坐標(biāo)為（5,0）,

y=x2-4x-5,

；.C點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-5）；

（3）如圖，連接BC,則AOBC是直角三角形,

.?.過0、B、C三點(diǎn)的圓的直徑是線段BC的長度,

在RSOBC中，OB=OC=5,

；.BC=5及，

...圓的半徑為述，

2

圓的面積為n（述）2=§兀.

22

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

31.⑴見解析

（2）2

【分析】（1）利用基本作圖作角平分線，然后作AC的垂直平分線交于點(diǎn)O,然后以。為圓心，0C為半

徑作外接圓；

（2）連接OA,貝憶。4c為等邊三角形，利用勾股定理求出半徑.

【詳解】（1）如圖，C。和。即為所作；

29

(2)如圖，連接。4,

,.??！?gt;平分/4。8,CA=CB

：.^ACD=-=-x120°=60°,AD=-AB=-x2^=73,OCLAB

2222

又yoc,

OAC為等邊三角形，

/.OD=-OC

2

設(shè)半徑為R，

則4=（可

解得：R=2

故答案為：2

【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖一作角平分線和垂直平分線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，會(huì)利用方

程解決幾何問題是解題的關(guān)鍵.

32.(1)見解析

(2)72°

【分析】(1)連接OC,OB,先證明NAOC=NBOC,再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出X，A3,

由切線的性質(zhì)可得OC_L所，最后根據(jù)平行線的判定即可得證；

(2)利用等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)可得NEOC=2N￡>,利用三角形內(nèi)角的定理并結(jié)合條件

砂=3/。"可求出"=18。，最后利用三角形外角的性質(zhì)即可求出-DCF的度數(shù).

【詳解】(1)證明：連接OC,。8,

30

D

二

ECF

丁點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，

???AC=BC^

：.ZAOC=4BOC,

又???Q4=O3,

OCA.AB,

???直線EF與。相切于點(diǎn)C,

...OCJLEF,

：.AB//EF；

(2)解：?：OD=OC,

:./OCD=/D,

:.ZEOC=NOCD+NO=2ZD,

由(1)知，OCLEF,

:.ZEOC+ZOEC=90°,即ZEOC+ZDEF=90°,

■:力EF=3/D,/E