新中考：第二部分-專題二-突破解答題之-1-作圖與證明

專題二突破解答題之1——作圖與證明

尺規(guī)作圖與證明是每年中考必考內(nèi)容，一般考查學(xué)生對基本作圖的掌握情況和實(shí)踐操作能力，并且在作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明結(jié)論的成立.此類題目屬于基礎(chǔ)題，難度不大，一般與特殊三角形、特殊四邊形和圓有著密切聯(lián)系.所以掌握5種基本作圖的方法至關(guān)重要.

在基本作圖的基礎(chǔ)上，掌握較復(fù)雜的尺規(guī)作圖，即利用基本作圖作三角形、作三角形的外接圓、內(nèi)切圓等是中考?？嫉膬?nèi)容.難度稍有提高，需要結(jié)合其他幾何圖形的性質(zhì)靈活運(yùn)用尺規(guī)作圖.另外，注意在作圖過程中，保留作圖痕跡.基本作圖與證明例1：如圖

Z2-1，在ABCD中，已知AD＞AB.

圖Z2-1 (1)實(shí)踐與操作：作∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，在AD上截取AF＝AB，連接EF；(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法) (2)猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明.[思路分析](1)以點(diǎn)A為圓心，以小于AB的長為半徑作弧為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)E，則AE即為∠BAD的平分線.然后在AD上截取AF＝AB，連接EF.畫出圖形即可.(2)由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得出∠BAE＝∠AEB，證出BE＝AB，由(1)，得AF＝AB，得出BE＝AF，即可得出結(jié)論.解：(1)作圖如圖Z2-2.(2)四邊形ABEF是菱形.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.圖Z2-2∴∠BAE＝∠AEB.∴BE＝AB.由(1)，得AF＝AB.∴BE＝AF.又∵BE∥AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形.∵AF＝AB，∴四邊形ABEF是菱形.

[解題技巧]尺規(guī)作圖需要進(jìn)一步證明結(jié)論時(shí)，一般需要運(yùn)用尺規(guī)作圖中的結(jié)論，結(jié)合已知圖形的性質(zhì)進(jìn)行推理、證明即可.基本作圖與求值例2：(2017年廣東)如圖Z2-3，在△ABC中，∠A＞∠B.(1)作邊AB的垂直平分線DE，與AB，BC分別相交于點(diǎn)D，E(用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法)；(2)在(1)的條件下，連接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度數(shù).圖Z2-3[思路分析](1)“作線段垂直平分線”是5個(gè)基本作圖之一，按基本作圖方法作出便可.

(2)由于DE是AB的垂直平分線，得到AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B＝50°，由三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系即可得到結(jié)果.

解：(1)如圖Z2-4，DE就是所求作的邊AB的垂直平分線. (2)∵DE是邊AB的垂直平分線， ∴AE＝BE. ∴∠EAB＝∠B＝50°.∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝100°.圖Z2-4

[解題技巧]尺規(guī)作圖需要進(jìn)一步求值時(shí)，一般要用到尺規(guī)作圖的結(jié)果，結(jié)合已知圖形的性質(zhì)進(jìn)行推理、計(jì)算即可.

較復(fù)雜的作圖 例3：(2018年四川廣安)下面有4張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，請?jiān)趫DZ2-5的方格紙中分別畫出符合要求的圖形，所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中小正方形的頂點(diǎn)重合，具體要求如下：

(1)畫一個(gè)直角邊長為4，面積為6的直角三角形. (2)畫一個(gè)底邊長為4，面積為8的等腰三角形. (3)畫一個(gè)面積為5的等腰直角三角形.(1)(2)(3)(4)

圖Z2-5

[思路分析](1)根據(jù)三角形面積公式可求得直角三角形的另一直角邊長為6×2÷4＝3，這樣在網(wǎng)格圖上畫出長為4的直角邊AC和長為3的直角邊BC，連接AB即可畫出；

(2)根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可求得它的高為8×2÷4＝4.先畫出長為4的底邊BC，再在底邊的中點(diǎn)上畫長為4的垂線段，確定A點(diǎn)，最后連接AB，AC即可畫出；解：如圖Z2-6.(1)(2)(3)(4)圖Z2-6作圖與應(yīng)用

例4：(2017年四川自貢)13個(gè)邊長為1的小正方形，排列形式如圖Z2-7，把它們分割，使分割后能拼成一個(gè)大正方形.請?jiān)谌鐖DZ2-8所示的網(wǎng)格中(網(wǎng)格的邊長為1)，用直尺作出這個(gè)大正方形.圖Z2-7

[思路分析]這是應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，根據(jù)陰影部分的面積是直角邊分別為2和3的直角三角形，其斜邊長就是所求正方形的邊長，進(jìn)而設(shè)計(jì)出切割方案