新中考：第二部分-專(zhuān)題六-突破解答題之-5-圓

專(zhuān)題六突破解答題之5——圓

圓是平面幾何的重要圖形，也是中考的熱點(diǎn)與必考內(nèi)容.它綜合直線(xiàn)、多邊形于一體，知識(shí)點(diǎn)多，覆蓋面廣，具有極強(qiáng)的綜合性，對(duì)學(xué)生思維能力要求較高.這類(lèi)試題通常借助圓的對(duì)稱(chēng)性和旋轉(zhuǎn)不變性，考查與圓有關(guān)的概念、性質(zhì)、位置關(guān)系(尤其是切線(xiàn)的性質(zhì)與判定)，進(jìn)行相關(guān)問(wèn)題(正多邊形、弧、扇形、圓錐等)的計(jì)算、作圖、證明與探究.

解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在具體情境中，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)(三角形、四邊形、圓等)，借助圓的性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)構(gòu)建相等的角、相等的邊，或轉(zhuǎn)化為直角三角形，或?qū)⒘Ⅲw圖形(圓錐)轉(zhuǎn)化為平面圖形(扇形)進(jìn)行分析與解決.

與圓有關(guān)的計(jì)算題例1：(2017年甘肅天水)如圖Z6-1，AB是圓

O的直徑，弦圖Z6-1解析：如圖Z6-2，假設(shè)線(xiàn)段CD，AB交于點(diǎn)E，圖Z6-2∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，又∵∠BCD＝30°，∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∠ODE＝30°.

答案：B

[解題技巧]此題考查了垂徑定理、扇形的面積公式以及銳角三角函數(shù)，通過(guò)解直角三角形得到相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度是解答此題的關(guān)鍵.圓的性質(zhì)與證明題

例2：(2018年山東菏澤)如圖Z6-3，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，與∠ABC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)D，BD與AC交于點(diǎn)E，與⊙O交于點(diǎn)F.(1)求∠DAF的度數(shù)；(2)求證：AE2＝EF·ED；(3)求證：AD是⊙O的切線(xiàn).圖Z6-3(1)解：∵AD∥BC，∴∠D＝∠CBD.∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠D＝∠CBD＝36°.∴∠BAD＝180°－∠D－∠ABD＝180°－36°－36°＝108°，∠BAF＝180°－∠ABF－∠AFB＝180°－36°－72°＝72°.∴∠DAF＝∠DAB－∠FBA＝108°－72°＝36°.(2)證明：∵∠CBD＝36°，∠FAC＝∠CBD，∴∠FAC＝36°＝∠D.∵∠AED＝∠AEF，∴△AEF∽△DEA.(3)證明：如圖

Z6-4，連接OA，OF， 圖Z6-4∵∠ABF＝36°，∴∠AOF＝2∠ABF＝72°.∵OA＝OF，由(1)，知∠ADF＝36°，∴∠OAD＝36°＋54°＝90°.即OA⊥AD.∵OA為⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線(xiàn).

[名師點(diǎn)評(píng)]本題考查了切線(xiàn)的判定、平行線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等.解此類(lèi)題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用各性質(zhì)和定理進(jìn)行推理.圓的綜合題

例3：(2017年江西)如圖Z6-5(1)，⊙O的直徑AB＝12，P是弦BC上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B，C不重合)，∠ABC＝30°，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OP交⊙O于點(diǎn)D.圖Z6-5(1)如圖Z6-5(2)，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求PD的長(zhǎng)；①求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；②求PC的長(zhǎng).(1)解：如圖

Z6-6(1)，連接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB＝90°.∵⊙O的直徑AB＝12，∴OB＝OD＝6.在Rt△POB中，∠ABC＝30°，(1)(2)

圖Z6-6 (2)①證明：如圖Z6-6(2)，連接OD，交CB于點(diǎn)F，連接BD.

∴∠DBC＝∠ABC＝30°. ∴∠ABD＝60°.∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形.∴OD⊥FB.∴OB＝BE.∴BF∥ED.∴∠ODE＝∠OFB＝90°.又∵OD為⊙O的半徑，∴