第3章 交流電路

電工電子技術(shù)主講

李寧Electrotechnics第3章交流電路3.1正弦交流電的基本概念

3.2正弦交流電的相量表示法

3.3單一參數(shù)交流電路

3.4串聯(lián)交流電路

3.5并聯(lián)交流電路

3.6交流電路的功率

3.7電路的功率因數(shù)本章要求:1.本章常考內(nèi)容有正弦量與相量(復(fù)數(shù)形式)的相互變換,單一參數(shù)電路的基本關(guān)系,R,C,L串聯(lián)電路及串聯(lián)諧振,阻抗的串,并聯(lián)分析等.2.電路分析包括：電流及電壓計(jì)算,功率計(jì)算,阻抗及參數(shù)計(jì)算,畫相量圖等.第3章交流電路交流電與直流電的區(qū)別在于：直流電的方向、大小不隨時(shí)間變化；而交流電的方向、大小都隨時(shí)間作周期性的變化，并且在一周期內(nèi)的平均值為零。圖3.1所示為直流電和交流電的電波波形。正弦電壓和電流等物理量，常統(tǒng)稱為正弦量。頻率、幅值和初相位就稱為確定正弦量的三要素。3.1正弦電量的基本概念直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大小和方向是不隨時(shí)間變化的，如圖所示。

tI,UO正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性變化的，其波形如圖示。

tu,iO–

+uiR–

+uiR正半周負(fù)半周

電路圖上所標(biāo)的方向是指它們的參考方向，即代表正半周的方向。負(fù)半周時(shí)，由于的參考方向與實(shí)際方向相反，所以為負(fù)值。+

實(shí)際方向

表征正弦量的三要素有幅值

初相位頻率

3.1.1頻率與周期T周期T：正弦量變化一周所需要的時(shí)間；角頻率

:

t2

［例

］我國(guó)和大多數(shù)國(guó)家的電力標(biāo)準(zhǔn)頻率是50Hz，試求其周期和角頻率。［解］

=2

f=23.1450=314rad/sImtiOＴT/2頻率f：正弦量每秒內(nèi)變化的次數(shù)；–Im工程中常用的一些頻率范圍：中國(guó)、香港、歐洲等220V、50HZ我國(guó)電力的標(biāo)準(zhǔn)頻率為50Hz；國(guó)際上多采用此標(biāo)準(zhǔn)，但美、日等國(guó)采用標(biāo)準(zhǔn)為60Hz。下面是幾個(gè)國(guó)家的電源情況：印度230V、50HZ澳洲240V、50HZ日本110V、60HZ臺(tái)灣220V、60HZ美國(guó)、加拿大120V、60HZ收音機(jī)中波段530~1600KHz

短波2.3~23MHzSW12.3~7MHzSW27.1~23MHzFM88~108MHz中頻電爐的工作頻率為500~8000Hz；高頻電爐的工作頻率為200~300kHz；無(wú)線電工程的頻率為104~30×1010Hz。低頻電子工程的頻率為20~20×103Hz。3.1.2幅值與有效值

瞬時(shí)值是交流電任一時(shí)刻的值。用小寫字母表示。如i、u、e分別表示電流、電壓、電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。

最大值是交流電的幅值。用大寫字母加下標(biāo)表示。如Im、Um、Em。

有效值是從電流的熱效應(yīng)來(lái)規(guī)定的。交流電流通過(guò)一個(gè)電阻時(shí)在一個(gè)周期內(nèi)消耗的電能與某直流電流在同一電阻相同時(shí)間內(nèi)消耗的電能相等，這一直流電流的數(shù)值定義為交流電的有效值。

t2

ImtiOＴT/2–Im同理可得根據(jù)上述定義，有得當(dāng)電流為正弦量時(shí)：i=10sin（1000t+30°）Au=311sin（314t－60°）V相位:

ωt+ψ初相位:ψi

=30°

,

ψu(yù)

=－60°相位差:

同頻率的正弦電量的初相位之差。

i=100sin（314t+30

）A

u=311sin（314t－60

）V

=ψu(yù)

－ψi=－60

－30

=－90

相位初相位3.1.3相位、初相位和相位差

ωti

O

ωti

O

ωti

O

ωti

O

0＜

＜180°－180°＜

＜0°

=0°=±180°uuuuu

與

i同相位u

超前于

iu

滯后于

iu

與i

反相例3.1

已知某正弦電壓在時(shí)為110V，初相角為，求其有效值。

解：此正弦電壓表達(dá)式為則3.2正弦交流電的相量表示法一．復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部和模叫虛單位，數(shù)學(xué)上用i來(lái)代表它，因?yàn)樵陔姽ぶ衖代表電流，所以改用j代表虛單位，即圖中為有向線段的復(fù)數(shù)表示

如圖4.5所示，有向線段A可用下面的復(fù)數(shù)表示為A=a+jb

由圖4.5可見(jiàn)，

表示復(fù)數(shù)的大小，稱為復(fù)數(shù)的模。有向線段與實(shí)軸正方向間的夾角，稱為復(fù)數(shù)的幅角，用表示，規(guī)定幅角的絕對(duì)值小于。模輻角代數(shù)式指數(shù)式極坐標(biāo)式三角式O+1+jψba

p=r(cosψ+jsinψ)二、復(fù)數(shù)的表示方法=re

jψ=rψOp

=a+jb例3.2

寫出下列復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)形式。（1）

（2）

（3）

解：

（1）（2）（3）若兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減，可用直角坐標(biāo)式進(jìn)行。如：A1=a1+jb1A2=a2+jb2

則A1±A2=（a1+jb1）±（a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）

復(fù)數(shù)的加減復(fù)數(shù)的乘除A1=a1+jb1=A2=a2+jb2=

如：如將復(fù)數(shù)乘以另一個(gè)復(fù)數(shù)，則得A2=r=r同理，如以除復(fù)數(shù)，則得A3=raAO

b+1+jr模幅角代數(shù)式三角式指數(shù)式極坐標(biāo)式正弦量具有幅值、頻率和初相位三個(gè)要素，它們除用三角函數(shù)式和正弦波形表示外，還可以用相量來(lái)表示。正弦量的相量表示法就是用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量。A=a+jb=r(cos

+jsin

)=rej

=r/設(shè)平面有一復(fù)數(shù)Ａ復(fù)數(shù)Ａ可有幾種式子表示其中：三．正弦量的相量表示法比照復(fù)數(shù)和正弦量，正弦量可用復(fù)數(shù)來(lái)表示。復(fù)數(shù)的模即為正弦量的幅值或有效值，復(fù)數(shù)的幅角即為正弦量的初相角。為與復(fù)數(shù)相區(qū)別，把表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。并在大寫字母上打一“?”。于是表示正弦電壓的相量為或：電壓的幅值相量：電壓的有效值相量例3.3

試寫出表示，和的相量，并畫出相量圖。解：分別用有效值相量、和表示正弦電壓、和，則相量圖如圖4.9所示。

按照正弦量的大小和相位關(guān)系畫出的若干個(gè)相量的圖形，稱為相量圖。例3.3若已知

i1=I1msin(t+

1)=100sin(t+45)A，

i2=I2

msin(t+

2)=60

sin(t30)A，求i=i1

+

i2。[解]正弦電量(時(shí)間函數(shù))所求正弦量變換相量(復(fù)數(shù))相量結(jié)果反變換相量運(yùn)算(復(fù)數(shù)運(yùn)算)于是得正弦電量的運(yùn)算可按下列步驟進(jìn)行，首先把符號(hào)說(shuō)明瞬時(shí)值

---小寫u、i有效值

---大寫U、I復(fù)數(shù)、相量

---大寫

+“.”最大值

---大寫+下標(biāo)正誤判斷瞬時(shí)值復(fù)數(shù)瞬時(shí)值復(fù)數(shù)？？已知：？？有效值j45

則：已知：？？

則：已知：？最大值3.3單一參數(shù)的交流電路3.3.1

電阻元件本節(jié)從電阻、電感、電容兩端電壓與電流一般關(guān)系式入手，介紹在正弦交流電路中這些單一參數(shù)的電壓、電流關(guān)系及能量轉(zhuǎn)換問(wèn)題。為學(xué)習(xí)交流電路打下基礎(chǔ)。R–

+ui1.電壓電流關(guān)系設(shè)在電阻元件的交流電路中，電壓、電流參考方向如圖示。（1）根據(jù)歐姆定律設(shè)則（2）或可見(jiàn)，R等于電壓與電流有效值或最大值之比。iu波形圖U?I?（3）電壓與電流相量表達(dá)式

tO相量圖+1+jOR–

+ui

瞬時(shí)功率

平均功率

2.功率u

tOipO

tP=UI轉(zhuǎn)換成的熱能R–

+ui

（1）

設(shè)

OfXL感抗1.電壓電流關(guān)系由，有感抗與頻率f和L成正比。因此，電感線圈對(duì)高頻電流的阻礙作用很大，而對(duì)直流可視為短路。3.3.2

電感元件的交流電路設(shè)在電感元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。–

+uiLXL與f的關(guān)系

ui波形圖U

?+1+jO電壓超前電流90

；相量圖（3）電壓與電流相量式–

+uiLI?

tO2.功率瞬時(shí)功率iu

tOp

tO++––當(dāng)u、i實(shí)際方向相同時(shí)(

i

增長(zhǎng))

p>0,電感吸收功率；

當(dāng)u、i實(shí)際方向相反時(shí)(

i

減小)

p<0,電感提供功率。

波形圖–

+uiL平均功率無(wú)功功率電感與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無(wú)功功率。其值為瞬時(shí)功率的最大值，單位為(var)

乏。

電感不消耗功率，它是儲(chǔ)能元件。

在電阻電路中：正誤判斷？？？瞬時(shí)值有效值

在電感電路中：正誤判斷？？？？？

OfXC容抗（1）設(shè)1.電壓電流關(guān)系有由3.3.3

電容元件的交流電路C–

+uiXC與f的關(guān)系設(shè)在電容元件的交流電路中，電壓、電流取關(guān)聯(lián)參考方向。（2）容抗與頻率f，電容

C成反比。因此，電容元件對(duì)高頻電流所呈現(xiàn)的容抗很小，而對(duì)直流所呈現(xiàn)的容抗趨于無(wú)窮大，故可視為開路。

u波形圖

tOiU?+1+jO

電流超前電壓90

相量圖I?（3）電壓與電流相量式C–

+ui2.功率瞬時(shí)功率ui

tOp

tO++––當(dāng)u、i實(shí)際方向相同時(shí)(

u

增長(zhǎng))p>0,電容吸收功率；

當(dāng)u、i實(shí)際方向相反時(shí)(

u

減小)p<0,電容提供功率。

波形圖平均功率無(wú)功功率電容與電源之間能量交換的規(guī)模稱為無(wú)功功率。其值為瞬時(shí)功率的最大值，單位為(var)

乏。

電容不消耗功率，它是儲(chǔ)能元件。

C–

+ui

[例

1]

下圖中電容C=23.5F，接在電源電壓U=220V、頻率為50Hz、初相為零的交流電源上，求電路中的電流i

、P及Q。該電容的額定電壓最少應(yīng)為多少伏？

額定電壓≥

311V[解]

容抗C–

+ui單一參數(shù)正弦交流電路的分析計(jì)算小結(jié)電路參數(shù)電路圖（正方向）復(fù)數(shù)阻抗電壓、電流關(guān)系瞬時(shí)值有效值相量圖相量式功率有功功率無(wú)功功率Riu設(shè)則u、i

同相0LiuCiu設(shè)則設(shè)則u領(lǐng)先i90°u落后i90°00基本關(guān)系（1）瞬時(shí)表達(dá)式1.電壓電流關(guān)系4.4

電阻、電感與電容元件串聯(lián)的交流電路–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+在R、L、C串聯(lián)交流電路中，電流電壓參考方向如圖所示。–

+–

+–

+–

+–jXCRjXL電路的阻抗，用

Z

表示。Z

（2）相量式Z上式中稱為阻抗模，即阻抗的單位是歐姆，對(duì)電流起阻礙作用；是阻抗的幅角，即為電流與電壓之間的相位差。XL-

XCR

Z阻抗三角形當(dāng)XL>XC

，

為正，電路中電壓超前電流，電路呈電感性；當(dāng)XL<XC

，

為負(fù)，則電流超前電壓，電路呈電容性；當(dāng)XL=XC

，

=0，則電流與電壓同相，電路呈電阻性。

的大小和正負(fù)由電路參數(shù)決定。

為正時(shí)電路中電壓電流相量圖I?U?UR?UL?

UC?UL?UC?RLC假設(shè)R、L、C已定，電路性質(zhì)能否確定？（阻性？感性？容性？）不能！

當(dāng)ω不同時(shí)，可能出現(xiàn)：

XL

>

XC

，或XL

<

XC,或XL=XC

。

2.功率瞬時(shí)功率整理可得平均功率

從R、L、C串聯(lián)電路相量圖可得出于是無(wú)功功率

電壓與電流的有效值之積，稱為電路的視在功率單位是(V·A)或(kV·A)電壓三角形SQP功率三角形R阻抗三角形RLC正誤判斷因?yàn)楦鱾€(gè)相量的相位不同。？在R-L-C串聯(lián)電路中RLC？而復(fù)數(shù)阻抗只是一個(gè)運(yùn)算符號(hào)。Z不能加“?”反映的是正弦電壓或電流，？？？？

？正誤判斷在R-L-C串聯(lián)電路中，假設(shè)？？

？

在R-L-C串聯(lián)電路中，假設(shè)？？？？

[解]

[例

2]R、L、C串聯(lián)交流電路如圖所示。已知R=30

、L=127mH、C=40F，。求：(1)電流i及各部分電壓uR，uL，uC；(2)求功率P和Q。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+(1)于是得注意：(2)電容性1、據(jù)原電路圖畫出相量模型圖（電路結(jié)構(gòu)不變）2、根據(jù)相量模型列出相量方程式或畫相量圖一般正弦交流電路的解題步驟3、用復(fù)數(shù)符號(hào)法或相量圖求解4、將結(jié)果變換成要求的形式3.5阻抗串聯(lián)與并聯(lián)3.5.1阻抗的串聯(lián)–

+Z–

+++–

–

Z2Z1(a)(b)根據(jù)KVL

可寫出圖(a)電壓的相量表示式圖(b)相量表示式若圖(b)是圖(a)的等效電路，兩電路電壓、電流的關(guān)系式應(yīng)完全相同，由此可得一般若Z1=R1+jX1

Z2=R2+jX2則Z=R1+jX1+

R2+jX2=(R1+R2)+j(X1+

X2)3.5.2阻抗的并聯(lián)–

+Z–

+Z1Z2(a)(b)根據(jù)KCL可寫出圖(a)電流的相量表示式圖(b)相量表示式若圖(b)是圖(a)的等效電路，兩電路電壓、電流的關(guān)系式應(yīng)完全相同，由此可得或因?yàn)橐话慵此砸阎篣=220V，f=50HZ，電流表A1的讀數(shù)為4A,A2的讀數(shù)為2A，A3的讀數(shù)為3A，且Z2為電阻負(fù)載，Z3為感性負(fù)載。試求：Z2和Z3。例：解：設(shè)Z2=R2,Z3=|Z3|

3A1A2A3Z2Z3+–求Z3：方法一由上式可得：4cos

+j4sin

=2+3cos

3–j3sin

34cos

=2+3cos

3(1)4sin

=–3sin

3(2)由(1)2+(2)2

得：16

=(2+3cos

3)2+(–3sin

3)2=4+12cos

3+9(cos

3)2+9(sin

3)2=4+12cos

3+9求Z3.

方法二：

畫相量圖。以電壓為參考相量根據(jù)余弦定理：42=32+22–232cos

432

3功率因數(shù)低引起的問(wèn)題有功功率

P=UNIN

cos

功率因數(shù)1.

電源設(shè)備的容量將不能充分利用2.

增加輸電線路和發(fā)電機(jī)繞組的功率損耗在P、U一定的情況下，cos

越低，I越大，損耗越大。下，cos

越低，P越小，設(shè)備得不到充分利用。3.6功率因數(shù)的提高P=UIcos

電壓與電流的相位差角(功率因數(shù)角)在電源設(shè)備UN、IN

一定的情況例40W白熾燈40W日光燈發(fā)電與供電設(shè)備的容量要求較大供電局一般要求用戶的不低于，否則受處罰。純電阻電路R-L-C串聯(lián)電路純電感電路或純電容電路電動(dòng)機(jī)空載滿載

日光燈

（R-L-C串聯(lián)電路）常用電路的功率因數(shù)提高功率因數(shù)的原則：

1）必須保證原負(fù)載的工作狀態(tài)不變。即：加至負(fù)載上的電壓、電流和負(fù)載的有功功率、無(wú)功功率不變。

2）線路的電流、無(wú)功功率減小，但有功功率不變。提高功率因數(shù)的措施:uiRL并聯(lián)電容CI?IC?I1