14.1 整式的乘法（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步配套教學(xué)講義與重難點(diǎn)突破（人教版）14.1整式的乘法1.理解和掌握同底數(shù)冪的乘法法則和公式及其逆運(yùn)用；2.理解和掌握冪的乘方法則和公式；3.理解和掌握積的乘方的法則、公式和逆運(yùn)用；4.理解和掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、同底數(shù)冪的除法、單項(xiàng)式除單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除單項(xiàng)式的法則。一、同底數(shù)冪的乘法1.法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2.符號(hào)表示：a??a?=a???(m，n都是正整數(shù))?！纠斫夂屯卣埂竣佼?dāng)3個(gè)或3個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也同樣適用這一法則，即(m，n，···，r都是正整數(shù))。②法則可逆用，即a???=a??a?(m，n都是正整數(shù))。3.公式的結(jié)構(gòu)特征：“同底數(shù)冪”是指底數(shù)相同的冪，等號(hào)左邊符合幾個(gè)同底數(shù)冪相乘，等號(hào)右邊即結(jié)果為一個(gè)冪?！纠斫夂屯卣埂坎灰鲆曋笖?shù)為1的因式。題型一同底數(shù)冪相乘已知，，則．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法即可答案．【詳解】解：由題意可知：；故答案為：21．1．若，則＝．【答案】2022【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算即可．【詳解】∵∴∴∴故答案為：．2．已知，求m的值．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，∴解故答案為：．二、冪的乘方1.法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。2.符號(hào)表示：(a?)?=a??(m，n都是正整數(shù))?！纠斫夂屯卣埂竣俜▌t可推廣為a???=a???(m，n，p都是正整數(shù)②法則可逆用：a??=a??=a??(m，3.冪的乘方的理解：不要把冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法混淆。冪的乘方運(yùn)算是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算(底數(shù)不變)；同底數(shù)冪的乘法是轉(zhuǎn)化為指數(shù)的加法運(yùn)算(底數(shù)不變)。題型二冪的乘方計(jì)算：．【答案】【分析】先計(jì)算冪的乘方，然后根據(jù)同底數(shù)冪乘法的計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．1．若，則=．【答案】27【分析】根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪的逆運(yùn)算變形計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，故答案為：27．2．已知，則的值為．【答案】【分析】把轉(zhuǎn)化成的形式，根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則可得，把代入求值即可.【詳解】解：由，得，∴，∴故答案為：．三、積的乘方1.法則：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘。2.符號(hào)表示：ab?=a?b?(n為正整數(shù))【理解和拓展】①3個(gè)或3個(gè)以上的數(shù)的乘積，也適用這一法則。例如：abc?=a?b?c?,其中a，b，可以是任意數(shù)，也可以是冪的形式。②法則可逆用：a?b?=ab?(n為正整數(shù)【理解和拓展】運(yùn)用積的乘方法則易出現(xiàn)的錯(cuò)誤：①個(gè)別底數(shù)漏掉乘方。②當(dāng)每個(gè)因式在乘方時(shí)，應(yīng)該用冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)相乘，而結(jié)果算成指數(shù)相加。③系數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤。題型三積的乘方若，則，．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)乘法、積的乘方以及冪的乘方等運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，即，∴，，∴，，故答案為：，．1．計(jì)算：．【答案】【分析】原式逆用積的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：=故答案為：2．若，，則=．【答案】【分析】根據(jù)積的乘方及冪的乘方可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，故答案為．四、整式的乘法1.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式(1)法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。(2)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算步驟：①系數(shù)：把它們的系數(shù)相乘，包括符號(hào)的計(jì)算。②同底數(shù)冪：同底數(shù)冪相乘。③只在一個(gè)單項(xiàng)式里獨(dú)有的字母：連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。④結(jié)果：將這3部分的乘積作為計(jì)算的結(jié)果。(3)運(yùn)用單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘時(shí)要注意：①應(yīng)先確定積的符號(hào)。②注意按運(yùn)算順序進(jìn)行。③不要丟掉只有一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母。2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即m(a+b+c)=ma+mb+mc?！纠斫夂屯卣埂竣賳雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的依據(jù)是乘法分配律，先將單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，再轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪相乘。②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，運(yùn)算時(shí)可以以此來(lái)檢驗(yàn)是否漏乘。3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn。【理解和拓展】①相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏。②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘仍得多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積。③多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和，每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào)，運(yùn)算過(guò)程中要注意先確定積中各項(xiàng)的符號(hào)。④相乘后，若有同類項(xiàng)應(yīng)該合并。4.同底數(shù)冪的除法(1)法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。(2)符號(hào)表示：a?÷a?=a???(a≠0,m，n都是正整數(shù)，且m>n)?！纠斫夂屯卣埂竣僭摲▌t對(duì)于3個(gè)或3個(gè)以上的同底數(shù)冪相除仍然成立；②法則可逆用：a???=a?÷a?(a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m>n)。(3)0次冪：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即a?=1(a≠0)。(4)運(yùn)用同底數(shù)冪相除應(yīng)注意：①適用范圍。兩個(gè)冪的底數(shù)相同，且是相除的關(guān)系，被除式的指數(shù)大于或等于除式的指數(shù)，且底數(shù)不能為0。②運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算順序，同時(shí)還要注意指數(shù)為“1”的情況。例如：m?÷m=m??1,而不是m?÷m=m???.③底數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。5.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式(1)法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。(2)步驟：①系數(shù)：將被除式的系數(shù)除以除式的系數(shù)的商作為商的系數(shù)。②相同字母：用被除式里的這個(gè)字母的指數(shù)減去除式里這個(gè)字母的指數(shù)，所得的差作為商中這個(gè)字母的指數(shù)。③只在被除式里含有的字母：連同指數(shù)作為商的一個(gè)因式?！纠斫夂屯卣埂繂雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果仍為單項(xiàng)式。6.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式(1)法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加。(2)運(yùn)算四注意：①多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可以用其進(jìn)行檢驗(yàn)。②運(yùn)算時(shí)不能漏項(xiàng)，所得結(jié)果的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與被除式中的項(xiàng)數(shù)相同。③運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的變化，弄清多項(xiàng)式中每一項(xiàng)的符號(hào)，相除時(shí)要帶著符號(hào)與單項(xiàng)式相除。④當(dāng)被除式中有一項(xiàng)與除式相同時(shí)，相除后所得的商是1而不是0。題型四單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式計(jì)算：；．【答案】【分析】（1）先計(jì)算積的乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：；．故答案為：，．1．若單項(xiàng)式與的和是一個(gè)單項(xiàng)式，則這兩個(gè)單項(xiàng)式的積是．【答案】【分析】根據(jù)題題可得與是同類項(xiàng)，從而求出m，n的值，即可求解．【詳解】解：∵單項(xiàng)式與的和是一個(gè)單項(xiàng)式，∴與是同類項(xiàng)，∴，解得：，∴這兩個(gè)單項(xiàng)式分別為與，∴這兩個(gè)單項(xiàng)式的積是．故答案為：2．若單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，那么這兩個(gè)單項(xiàng)式的積是．【答案】【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，．，．，．．故答案為：．題型五單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算的結(jié)果是．【答案】【分析】利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，．故答案為．1．．【答案】【分析】用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加即可．【詳解】解：，故答案為：．2．計(jì)算：．【答案】【分析】用單項(xiàng)式分別乘法括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)即可．【詳解】解：，故答案為：．題型六多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)整式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：故答案為：．1．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：．故答案為：．2．已知，則．【答案】【分析】先移項(xiàng)、計(jì)算多項(xiàng)式乘法，然后合并同類項(xiàng)，即可得出，然后計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，整理得，則，，故答案為：．題型七整式乘法混合運(yùn)算已知，則代數(shù)式值為．【答案】2022【分析】由x2?3x?1=0，變形x2=3x+1，利用此等式進(jìn)行降次，化簡(jiǎn)整體代入計(jì)算即可．【詳解】由x2?3x?1=0，變形x2=3x+1，x2-3x=1，x3?10x+2019，=x(3x+1)-10x+2019，=3x2-9x+2019，=3(x2-3x)+2019，=3+2019，=2022．故答案為：2022．1．若一多項(xiàng)式除以，得到的商式為，余式為，則此多項(xiàng)式是【答案】【分析】根據(jù)被除式=除式×商式+余式，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得此多項(xiàng)式為：（2x2-3）（7x-4）+（-5x+2）=14x3-8x2-21x+12-5x+2=14x3-8x2-26x+14．故答案為：2．若，則.【答案】7【分析】把右邊按照整式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，與左邊比較即可求出a、b、c的值，代入a+b+c計(jì)算即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，解之得，∴3-1-9=7.故答案為7.一、單選題1．若，，且m，n均為正整數(shù)，則（

）A．a(chǎn)b B． C． D．【答案】C【分析】利用同底數(shù)冪的乘法將代數(shù)式變形即可求解．【詳解】解：，則：，故選C．2．下列計(jì)算中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則、冪的乘方運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則分別計(jì)算得出答案．【詳解】、與，不是同類項(xiàng)，無(wú)法合并計(jì)算，故此選項(xiàng)不合題意；、與，不是同類項(xiàng)，無(wú)法合并計(jì)算，故此選項(xiàng)不合題意；、，原計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、，故此選項(xiàng)符合題意；故選：．3．下列運(yùn)算中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，冪的乘方和積的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A.，計(jì)算正確；B.，原式錯(cuò)誤；C.，原式錯(cuò)誤；D.，原式錯(cuò)誤；故選：A．4．如圖是某運(yùn)算程序，該程序是循環(huán)迭代的一種．根據(jù)該程序的指令，如果輸入的值是，那么第次輸出的值是；把第次輸出的值再次輸入，那么第次輸出的值是；把第次輸出的值再次輸入，那么第次輸出的值是；；則第次輸出的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)如圖的程序，分別求出前8次的輸出結(jié)果各是多少，總結(jié)出規(guī)律，求出第2021次輸出的結(jié)果為多少即可．【詳解】解：第1次輸出的結(jié)果為5，第2次輸出的結(jié)果為6，第3次輸出的結(jié)果為：，第4次輸出的結(jié)果為：，第5次輸出的結(jié)果為：，第6次輸出的結(jié)果為：，第7次輸出的結(jié)果為：，第8次輸出的結(jié)果為：，…，從第5次開始，輸出的結(jié)果每2個(gè)數(shù)一個(gè)循環(huán)：2、1．∵，∴第2023次輸出的結(jié)果為2．故選C．5．若，則的值為（）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】利用冪的乘方及同底數(shù)冪的除法對(duì)式子進(jìn)行整理即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，則，．故選A．6．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)可判斷A，根據(jù)積的乘方運(yùn)算與單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算可判斷B，C，D，從而可得答案．【詳解】解：，故A不符合題意；，故B不符合題意；，故C不符合題意；，故D符合題意；故選D7．已知，那么的值為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】先將降次為，然后代入代數(shù)式，再根據(jù)已知條件即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：C．8．在求的值時(shí)，小林發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的6倍，于是她設(shè)：①，然后在①式的兩邊都乘以6，得②，②①得，即，所以，得出答案后愛動(dòng)腦筋的小林想：如果把“6”換成字母“a”（且），能否求出的值？你的答案是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)①，在①式的兩邊都乘以a，得②，由②①可得，即可求解．【詳解】解：設(shè)①，在①式的兩邊都乘以a，得②，由②①得：，即，所以．故選：A二、填空題9．計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．10．若，，則．【答案】256【分析】將所求式子進(jìn)行變形求解即可；【詳解】解：．故答案為：256.11．對(duì)于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“※”如下：．例如，．若，則的值為．【答案】4【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算對(duì)式子進(jìn)行變形得到關(guān)于x的方程，解方程即可得解．【詳解】由題意得，，整理得，，解得，，故答案為：4．12．有若干張如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形卡片，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，則需要A類、B類、C類卡片共張．【答案】6【分析】先計(jì)算長(zhǎng)為，寬為的矩形面積為，根據(jù)A圖形面積為，B圖形面積為，C圖形面積為，判斷出各種卡片的張數(shù)即可．【詳解】解：長(zhǎng)為長(zhǎng)為，寬為的矩形面積為，∵A圖形面積為，B圖形面積為，C圖形面積為，∴可知需要A類卡片1張，B類卡片2張，C類卡片3張,∴需要A類、B類、C類卡片共張．故答案為：6．三、解答題13．計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）先算冪的乘方與積的乘方，再算同底數(shù)冪的乘除法，最后合并同類項(xiàng)；（2）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算；（3）利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．14．（1）化簡(jiǎn)：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】（1）；（2），5【分析】（1）直接利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，整式的乘除進(jìn)行計(jì)算即可；（2）直接利用完全平方公式和平方差公式，再合并同類項(xiàng)即可化簡(jiǎn)，最后代值即可計(jì)算．【詳解】（1）原式；（2）原式，當(dāng)，時(shí)，原式．15．如果，那么我們規(guī)定例如：因?yàn)椋裕?1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：______，______，______，；(2)記，，．求證：．【答案】(1)3；2；4；64(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題目規(guī)則即可求解；（2）將式子寫成的形式，根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算即可求解；【詳解】（1）∵，故答案為：3；2；4；64．（2）證明：∵，，．∴，，∴，∴．∵，∴．∴．16．如圖，某公司有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊，為方便員工停車，計(jì)劃將陰影部分全部用來(lái)建停車位，中間的邊長(zhǎng)為米的空白的正方形地塊將修建一個(gè)涼亭．(1)用含a、b的式子表示停車位的總面積；(2)若，，求出此時(shí)的停車位的總面積．【答案】(1)平方米(2)325平方米【分析】（1）利用大矩形的面積減去中間正方形涼亭的面積，即可求解；（2）代入（1）的結(jié)果中計(jì)算即可作答．【詳解】（1）根據(jù)題意有：（平方米），即停車位的總面積為平方米．（2）當(dāng)，時(shí)，（平方米）．即此時(shí)的停車位的總面積平方米．17．已知代數(shù)式的展開式中不含有的一次項(xiàng)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若且，求的取值范圍．【答案】(1)4(2)【分析】（1）先把代數(shù)式展開，根據(jù)展開式中不含有的一次項(xiàng)，列出關(guān)于，的等式，把代入等式計(jì)算即可；（2）由（1）所得等式，把用含有的式子表示出來(lái)，再把的左邊變形，把用含有的式子表示出來(lái)，然后代入，解不等式即可．【詳解】（1）解：，的展開式中不含有的一次項(xiàng)，，把代入，得：，；（2）解：由（1）可知，，，，，，，，或，，或，由得：，由得：不等式無(wú)解，．18．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了(n為非負(fù)整數(shù))展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將其稱為“楊輝三角”(1)寫出的展開式；(2)寫出的展開式；(3)求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和；(4)求展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和．【答案】(1)(2)(3)256(4)0【分析】（1）根據(jù)規(guī)律能得出的值，即可推出的值；（2）根據(jù)規(guī)律得出展開式，即可得出答案．（3）先求出的系數(shù)和，然后找到規(guī)律即可解答；（4）先求出的系數(shù)和，然后找到規(guī)律即可解答．【詳解】（1）解：根據(jù)“楊輝三角”以