專題11.1 與三角形有關(guān)線段的幾何綜合（壓軸題專項講練）（人教版）（解析版）

專題11.1與三角形有關(guān)線段的幾何綜合【典例1】【數(shù)學(xué)經(jīng)驗】三角形的中線，角平分線，高是三角形的重要線段，同時，我們知道，三角形的3條高所在直線交于同一點．（1）①如圖1，△ABC中，∠A=90°，則△ABC的三條高所在直線交于點；②如圖2，△ABC中，∠BAC>90°，已知兩條高BE、AD，請你僅用一把無刻度的直尺（僅用于過任意兩點作直線、連接任意兩點、延長任意線段）畫出△ABC的第三條高．（不寫畫法，保留作圖痕跡）【綜合應(yīng)用】（2）如圖3，在△ABC中，∠ABC>∠C，AD平分∠BAC，過點B作BE⊥AD于點E．①若∠ABC=80°，∠C=30°，則∠EBD=；②請寫出∠EBD與∠ABC，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展延伸】（3）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，如果兩個三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比．如圖4，△ABC中，M是BC上一點，則有△ABM的面積△ACM的面積=BMCM．如圖5，△ABC中，M是BC上一點，且BM=13BC，N是AC的中點，若△ABC【思路點撥】（1）①由直角三角形三條高的定義即可得出結(jié)論；②延長BE、DA交于點F，連接CF，延長BA交CF于點G，則CG為△ABC的第三條高；（2）①由三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得∠BAE=12∠BAC=35°，再由直角三角形的性質(zhì)得∠ABE=55°（3）連接CD，由中線的性質(zhì)得S△ADN=S△CDN，同理S△ABN=S△CBN，設(shè)S△ADN【解題過程】（1）解：①∵直角三角形三條高的交點為直角頂點，∠A=90°，∴ΔABC的三條高所在直線交于點故答案為：A；②如圖2，延長BE、DA交于點F，連接CF，延長BA交CF于點G，則CG為△ABC的第三條高；（2）解：①∵∠ABC=80°，∠ACB=30°，∴∠BAC=70°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=1∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-35°=55°，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=80°-55°=25°，故答案為：25°；②∠EBD與∠ABC，∠C之間的數(shù)量關(guān)系為：2∠EBD=∠ABC-∠ACB，理由如下：∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=90°-∠BAD，∴∠EBD=∠ABC-∠ABE=∠ABC+∠BAD-90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=1∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，∴∠BAD=90°-1∴∠EBD=∠ABC+∠BAD-90°=∠ABC+90°-1∴2∠EBD=∠ABC-∠ACB，故答案為：2∠EBD=∠ABC-∠ACB；（3）解：連接CD，如圖5所示：∵N是AC的中點，∴S△ADN∴S同理：S△ABN設(shè)S△ADN∵△ABC的面積是m，∴S∴S∵BM=1∴BMCM∴S△BDMS△CDM∴S△CDM=2∴S△CDM=∵S即：23解得：a=1∴S故答案為：5121．（2022春·江蘇鹽城·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，三角形ABC被分成三角形BEF和四邊形AEFC兩部分，BE=3，BF=4，F(xiàn)C=5，AE=6，那么三角形BEF面積和四邊形AEFC面積的比是（）A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6【思路點撥】如圖：連接AF，根據(jù)△BEF的邊BE上的高和△ABF邊AB上的高相等可得SΔBEFSΔABF=BE【解題過程】解：如圖：連接AF∵BE=3，AE=6，∴AB=9，∵△BEF的邊BE上的高和△ABF邊AB上的高相等，∴SΔBEF同理可得：SΔABF=∴S△BEF故選：A．2．（2022春·江蘇南京·七年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，D是AB中點，E是BC邊上一點，且BE＝4EC，CD與AE交于點F，連接BF．若四邊形BEFD的面積是14，則△ABC的面積是（

）A．28 B．32 C．30 D．29【思路點撥】根據(jù)三角形的高相等時，三角形面積之比等于底邊邊長之比，來計算．設(shè)△EFC的面積為a，△AFC的面積為b，則△AEC的面積為a+b，根據(jù)BE=4EC，D為AB中點，找到相關(guān)等量關(guān)系，列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程即可求解．【解題過程】解：設(shè)△EFC的面積為a，△AFC的面積為b，則△AEC的面積為a+b，∵BE=4EC，∴根據(jù)三角形的高相等時，三角形面積之比等于底邊邊長之比，有：S△BEF=4S∴S△BAF∵D為AB中點，∴S△BDF=S∵S△BDC=S∴3b=2b+5a，即b=5a，∵四邊形BEFD面積為14，∴S四邊形∴b=5a2b+4a=14，解得a=1∵△ABC的面積為S△ABC∴S△ABC故選：C．3．（2022春·江蘇蘇州·七年級期末）如圖，在△ABC中，D是邊AB上的點，E是邊AC上的點，且ADBD=1m，CEAE=1n，若A．mn+n+1n B．mn+m+1n C．mn+n+1m【思路點撥】連結(jié)AF，由ADBD=1m，得SΔACDSΔBCD=ADBD=1m，SΔAFDS【解題過程】解：連結(jié)AF，∵ADBD∴SΔ∴SΔ設(shè)S△ACD=a，S△AFD=b，∴SΔBCD=mS∴SΔ△BCF的面積為1，SΔ由CEAE同理SΔ∴SΔSΔ故選擇：D．4．（2022春·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四邊形DEFG的面積為14，則△ABC的面積為（）A．24 B．28 C．35 D．30【思路點撥】連接CG、BF，設(shè)SΔAFG=m，表示出SΔBDG、SΔCFE，進(jìn)而得出四邊形DEFG【解題過程】解：連接CG、BF，過點F作FM⊥AB于點設(shè)SΔAFG∵G為AB的中點，∴AG=BG，∵SΔAFG=12∴SΔAFG∴SΔAFB∵CF=4AF，∴同理可得：SΔBFC∴SΔABC∵BD=DE=EC，∴BC=3EC，∴同理可得：SΔCFE∵G為AB的中點，∴同理可得：SΔACG∵BD=DE=EC，∴BC=3BD，∴同理可得：SΔBDG∴四邊形DEFG的面積為：10m-m-8∴143m=∴SΔABC故選：D．5．（2022春·江蘇無錫·七年級校考階段練習(xí)）設(shè)△ABC的面積為a，如圖①將邊BC、AC分別2等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S1；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BE1、AD1相交于點O，△AOB的面積記為S2；……，依此類推，若S5=311則a的值為（

）A．1 B．2 C．6 D．3【思路點撥】利用三角形的面積公式，求出前三個圖形的面積，再得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律列出方程便可求得a．【解題過程】解：在圖①中，連接OC，∵AE1=C∴S△OAE1=S∵S△OAE1∴S△OA∴S△OA設(shè)S△OAS1解得S1在圖②中，連接OE2、OC、則S△ABE1設(shè)S△OAS2解得S2在圖③中，連OE2、OE3、OC、則S△ABE1設(shè)S△OAS3解得S3.....．由可知，Sn∵S∴12×5+1解得a=3．故選：D6．（2022春·江蘇揚州·七年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，E是BC上的一點，EC=2BE，點D是AC的中點，設(shè)△ABC、△ADF、△BEF的面積分別S、S1、S2，且S=36，則S1-S2=_______．【思路點撥】S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE，所以求出△ABD的面積和△ABE的面積即可，而EC=2BE，點D是【解題過程】解：∵點D是AC的中點，即：AD=1∵S∴S∵EC=2BE，SΔABC∴S∵S即S△ADF即S1故答案為：6．7．（2022春·江蘇泰州·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=52，AC=4,CD=3BD，點E是AC的中點，BE、AD交于點F，則四邊形【思路點撥】連接CF，設(shè)S△BFD=a，然后求出圖中各個三角形的面積，從而得到S四邊形【解題過程】解：連接CF，如圖所示，設(shè)S△BFD∵CD=3BD，∴S∵點E是AC的中點，∴S∴S∴S∴S∴S∴S∴S∵在ΔABC中，AB=52∴SΔABC∴S四邊形DCEF故答案為：948．（2023春·七年級單元測試）在△ABC中，已知點D、E、F分別是邊AE、BF、CD上的中點，若△ABC的面積是14，則△DEF的面積為_________．【思路點撥】連接AF，BD，CE，利用三角形的中線的性質(zhì)，三角形的一條中線把三角形的面積分成相等的兩部分進(jìn)行計算，得到7S【解題過程】解：如圖，連接AF，BD，CE，∵點D是AE的中點，點E是BF的中點，∴BD是ΔABE的中線，DE是Δ∴SΔABD=∴SΔ同理可得SΔBCE=∴SΔABD=SΔ∵SΔABD+SΔBDE+∴7SΔDEF故答案為：29．（2022春·重慶·七年級西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為______．【思路點撥】根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可解決問題．【解題過程】解：如圖，連接AF，∵EF=FC，△BEF的面積為4，∴S△BFC∵BF=2FD，∴S△DFC∵EF=FC，∴S△AEF∵BF=2FD，∴S△ABF∴S△AEF∴S△ADF+2+4=2S∴S△AEF∴S四邊形故答案為：14．10．（2022春·福建福州·七年級福建省福州延安中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點E是AB邊上的點，且AE:EB=2:3，點D是BC邊上的點，且BD:DC=1:2，AD與CE相交于點F，若四邊形BDFE的面積是16，則△ABC的面積為______．【思路點撥】連接FB，設(shè)S△BDF＝a，S△BEF＝b，推出S△AEF=23b，S△CDF＝2a，S△ABD=12S△ACD=（16+23b），S△ACE=23（16+2a），根據(jù)S△ACF＝S△ACD﹣S△CDF＝S△ACE﹣S△AEF得到10a﹣6b＝64，與a+b＝16【解題過程】解：連接FB，如圖所示：設(shè)S△BDF＝a，S△BEF＝b，∵AEEB∴S△AEF=23∵BD：DC＝1：2，∴S△CDF＝2a，∴S△ABD=12S△ACD＝16+23b，S△ACE=∵S△ACF＝S△ACD﹣S△CDF＝S△ACE﹣S△AEF，∴32+43b﹣2a=23（16+2a∴10a﹣6b＝60，∵a+b＝16，10a-6b=64a+b=16解得a=10b=6∴S△ABC＝S△ACD+S△AEF+S四邊形BDFE＝（32+43b）+＝48+2b＝48+12＝60．故答案為60．11．（2022春·江蘇無錫·七年級江蘇省錫山高級中學(xué)實驗學(xué)校校考期中）如圖，點C為直線AB外一動點，AB=5，連接CA、CB，點D、E分別是AB、BC的中點，連接AE、CD交于點F，當(dāng)四邊形BEFD的面積為5時，線段AC的長度的最小值為___．【思路點撥】如圖所示，連接BF，過點C作CH垂直于直線AB于H，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)只需要求出S△ABC=15從而求出【解題過程】解：如圖所示，連接BF，過點C作CH垂直于直線AB于H，∵D、E分別是AB、BC的中點，∴S△ABE=S∴S△CEF+S∴S四邊形∴S△ABC∴12∴CH=6，又∵點到直線的距離垂線段最短，∴AC≥CH=6，∴AC的最小值為6，故答案為：6．12．（2022春·湖北武漢·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，連接AC、BD相交于點O．若AD與BC之間的距離為m，AC＝6，BD＝152，則AD＋BC的最大值為________【思路點撥】作BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，DH⊥BC于點H，由面積法可得S梯形ABCD=S△ADC+S【解題過程】解：如圖，作BE⊥AC于點E，DF⊥AC于點F，DH⊥BC于點H，得DH=m，∴S△ADC而S梯形∵S梯形∴12而3DF+3BE=3DF+BE∴1得：AD+BC≤45∴AD＋BC的最大值為45m故答案為：4513．（2022春·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=6，CD=4BD，點E是AC的中點，BE、AD交于點F，則四邊形DCEF的面積的最大值是______．【思路點撥】連接FC，設(shè)S△BFD=a，利用CD=4BD及中點，分別表示四邊形DFEC的面積與△ABC的面積，利用△ABC的面積最大，四邊形【解題過程】解：連接FC，∵CD=4BD，設(shè)S△BFD=a，則∵E為AC的中點，∴S△BAE=∴S∴S∴S△AFE=S△CFE∴四邊形DFEC的面積=7∴△ABC的面積最大，四邊形DFEC的面積最大，∴當(dāng)AB⊥AC時，△ABC的面積最大，四邊形DFEC的面積最大，此時四邊形DFEC的面積=7故答案為：7．14．（2022春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D，點E分別是AC和AB上的點，且滿足AE=2BE，CD=3AD，過點A的直線l平行BC，射線BD交CE于點O，交直線l于點F．若△CDF的面積為12，則四邊形AEOD的面積為____________【思路點撥】連接AO，根據(jù)三角形邊之間的關(guān)系得到面積之間的關(guān)系進(jìn)行推理解答．【解題過程】解：如圖，連接AO，∵CD=3AD，∴AD：CD=1：3，∴S△ADF=13S∵S△CDF∴S△ADF=4，∵AF∥BC，∴S△ABF∴S△ABD∴S△CBD=36，∵AE=2BE，∴BE：AE=1：2，∴S△AEC=2S∴S△AEC=32，∴S△AOE即S△AOE∴13S△COD∴S△COD∵S△BCD∴S△COD∴S四邊形AEOD=S故答案為：52515．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，四邊形ABCD是矩形，點F是AB邊的三等分點，BF=2AF，點E1是CB邊的中點，連接E1F，E1D，得到△E1FD；點E2是CE1的中點，連接E2F，E2D得到△E2FD；點E3是【思路點撥】由題意得：AB=CD,AD=BC，∠A=∠B=∠C=90°，AF=AB=CD=3AF，S△E1【解題過程】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠C=90∵BF=2AF，點E1是CB∴AF=AB=CD=3AF，∴S=6-1=6-1=6-1=6-1=6-1+∵E2是∴BE2=∴S整理得：S△同理可得：S△∴S=3-1S△故答案為：3-116．（2022春·福建福州·七年級福州華倫中學(xué)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，已知∠BAC=70°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D．（1）求∠BDC的度數(shù)；（2）試比較DA+DB+DC與12【思路點撥】（1）先由三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，再由角平分線的定義求出∠CBD+∠BCD=55°，然后由三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；（2）由三角形的三邊關(guān)系得：DA+DB>AB，DB+DC>BC，DA+DC>AC，則2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC，即可得出結(jié)論．【解題過程】（1）解：∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∠ACD=∠BCD=12∠ACB∴∠CBD+∠BCD=12(∠ABC+∠ACB)=12×110°∴∠BDC=180°-(∠CBD+∠BCD)=180°-55°=125°；（2）解：DA+DB+DC>12(AB+BC+AC)在△ABD中，由三角形的三邊關(guān)系得：DA+DB>AB①，同理∶DB+DC>BC②，DA+DC>AC③，+②+③得∶2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC，∴DA+DB+DC>12(AB+BC+AC)17．（2022秋·廣東廣州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中（AC>AB），AC=2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分，求AC和AB的長．【思路點撥】根據(jù)AD是BC邊上的中線，可以得到BD=CD，設(shè)BD=CD=x，AB=y，則BC=2x，AC=4x．分兩種情況討論：當(dāng)AC+CD=60，AB+BD=40時，求出x、y的值，即可確定AC和AB的值；當(dāng)AC+CD=40，AB+BD=60時，同理可求出AC和【解題過程】解：因為AD是BC的中線，所以BD=CD，設(shè)BD=CD=x，AB=y，則BC=BD+CD=2x，AC=2BC=4x，分兩種情況討論：①AC+CD=60，AB+BD=40，則4x+x=60，x+y=40，解得x=12，y=28，即AC=4x=48，AB=28；②AC+CD=40，AB+BD=60，則4x+x=40，x+y=60，解得x=8，y=52，即AC=4x=32，AB=52，BC=2x=16，此時AC+BC<AB，不符合三角形三邊關(guān)系定理，不符合題意．綜上所述，AC=48，AB=28．18．（2022秋·陜西西安·七年級西安益新中學(xué)?？计谥校┨剿鳎涸趫D1至圖3中，已知△ABC的面積為a（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA.若△ACD的面積為S1，則S1（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到