專題1.13 二次函數(shù)y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象與性質(zhì)（知識(shí)講解）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（浙教版）

專題1.13二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象；會(huì)用配方法將二次函數(shù)的解析式寫成的形式；.通過(guò)圖象能熟練地掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；.經(jīng)歷探索與的圖象及性質(zhì)緊密聯(lián)系的過(guò)程，能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，深刻理解數(shù)學(xué)建模思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系頂點(diǎn)式化成一般式

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(diǎn)(h，k)，所以我們稱為頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)式去括號(hào)，合并同類項(xiàng)就可化成一般式．一般式化成頂點(diǎn)式．對(duì)照，可知，．∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是．特別說(shuō)明：1．拋物線的對(duì)稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運(yùn)用．2．求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用．

要點(diǎn)二、二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點(diǎn)、連線；2.簡(jiǎn)易畫法：五點(diǎn)定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對(duì)稱軸．(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A、B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)D，將A、B、C、D及M這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來(lái)．特別說(shuō)明：當(dāng)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與y軸的交點(diǎn)C及對(duì)稱點(diǎn)D，由C、M、D三點(diǎn)可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點(diǎn)，畫出二次函數(shù)的圖象，要點(diǎn)三、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，2.二次函數(shù)圖象的特征與a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系項(xiàng)目字母字母的符號(hào)圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過(guò)原點(diǎn)c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)b2-4ac＞0與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b2-4ac＜0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)要點(diǎn)四、求二次函數(shù)的最大（小）值的方法如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大（或最?。┲?，即當(dāng)時(shí)，．特別說(shuō)明：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時(shí)，；當(dāng)x＝x1時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時(shí)，；當(dāng)x＝x2時(shí)，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時(shí)y值的情況．【類型一】把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式1．嘉嘉同學(xué)用配方法推導(dǎo)二次函數(shù)（）的頂點(diǎn)坐標(biāo)，她是這樣做的：由于．解析式變形為，第一步，第二步，第三步．第四步(1)嘉嘉的解法從第______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；事實(shí)上，拋物線（）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．(2)用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸【答案】(1)四，(2)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x＝1【分析】（1）根據(jù)計(jì)算可得出第四步中括號(hào)外符號(hào)錯(cuò)誤，改正后即可直接得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）用配方法求解即可．解：(1)嘉嘉的解法從第四步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，應(yīng)為，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：四，；(2)∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線x＝1．【點(diǎn)撥】本題考查將二次函數(shù)一般式改為頂點(diǎn)式與二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知二次函數(shù)．用配方法化成的形式；直接寫出該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）利用完全平方公式進(jìn)行配方即可；（2）依據(jù)配方后的解析式即可得到結(jié)論．(1)解：．(2)對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，掌握頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；（2）用配方法求拋物線y＝x2+4x﹣5的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）利用公式法，即可求解；（2）先將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解．解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元二次方程，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的解法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【類型二】畫二次函數(shù)的圖象2．已知拋物線(1)用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．(2)直接畫出函數(shù)的圖像．【答案】(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是(2)圖像見分析【分析】（1）利用配方法將拋物線的解析式變形為，由此即可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；（2）畫圖是要把握拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，開口方向等，利用列表、描點(diǎn)、連線即可畫出這條拋物線．(1)解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是；(2)列表：0123430﹣103作圖如下：【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖像的畫法，二次函數(shù)的兩種形式．利用配方法將二次函數(shù)解析式的一般式換算成頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣2圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣1，1）．(1)求a的值和圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)Q（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，當(dāng)﹣1≤m＜4時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)a＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）(2)﹣3≤n＜6【分析】（1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值，即可得到函數(shù)解析式，將解析式化為頂點(diǎn)式，即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，即可得到n的取值范圍．(1)解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1，∴a＝1，∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）；(2)解：如圖所示：由圖象知，當(dāng)m=-1時(shí)，n=1；當(dāng)m=4時(shí)，n=6；圖象最低點(diǎn)在此段函數(shù)圖象上，∴點(diǎn)Q（m，n）在該二次函數(shù)圖象上，當(dāng)﹣1≤m＜4時(shí)，﹣3≤n＜6．【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象確定縱坐標(biāo)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題型．【變式2】已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋3．（（1）用配方法將y＝x2－4x＋3化成y=a（x-h）2+k的形式；（2）求拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；（4）結(jié)合圖象直接寫出y＞0時(shí)，自變量x的取值范圍是______；（5）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y的取值范圍是______．【答案】（1）y=（x-2）2-1；（2）（1，0）或（3，0）；（3）見詳解（4）1＜x＜3；（5）-1＜y＜3．【分析】（1）利用配方法化簡(jiǎn)即可；（2）將已知二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)式，可以直接得到答案；（3）用“五點(diǎn)法”取值描點(diǎn)連線即可求解；（4）、（5）觀察函數(shù)圖象即可求解．解：（1）y=x2-4x+3=（x-2）2-1；（2）由二次函數(shù)y=x2-4x+3=（x-1）（x-3）知，該圖象與x軸的交點(diǎn)為（1，0）或（3，0）；（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)x=1時(shí)，y=0；當(dāng)x=-2時(shí)，y=-1；當(dāng)x=3時(shí)，y=0；當(dāng)x=4時(shí)，y=3，用上述五點(diǎn)描點(diǎn)連線得到函數(shù)圖象如下：（4）觀察函數(shù)圖象知，當(dāng)自變量x的取值范圍滿足1＜x＜3時(shí)，y＜0．故答案是：1＜x＜3；（5）觀察函數(shù)圖象知，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，y的取值范圍是：-1＜y＜3．故答案是：-1＜y＜3．【點(diǎn)撥】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．【類型三】二次函數(shù)的性質(zhì)3、直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B．(1)求該拋物線的解析式．(2)根據(jù)圖象直接寫出的解集；(3)將點(diǎn)B向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到C，若拋物線與線段BC恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）求出A、B的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)解析式，即可求解；（2）將所求表達(dá)式變形為，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行求解即可；（3）求出C點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，則時(shí)拋物線與線段BC有一個(gè)交點(diǎn)，利用根的判別式進(jìn)行求解即可．解：(1)令，則，∴，令，則，∴，將A、B點(diǎn)代入，∴，解得，∴；(2)∵，∴，∵與的交點(diǎn)為，，∴當(dāng)或時(shí)，；(3)∵將點(diǎn)B向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，∴，∵拋物線與線段BC恰好有一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，∴；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)拋物線與線段BC有一個(gè)交點(diǎn)；綜上所述：或時(shí)，拋物線與線段BC有一個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)的綜合題目，涉及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，拋物線y＝﹣x2+(m﹣1)x+m與y軸交于點(diǎn)(0，3)．（1）m的值為________；（2）當(dāng)x滿足________時(shí)，y的值隨x值的增大而減??；（3）當(dāng)x滿足________時(shí)，拋物線在x軸上方；（4）當(dāng)x滿足0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是________．【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．解：（1）將（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，故答案為3；（2）m＝3時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝＝1，∵﹣1＜0，故拋物線開口向下，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故答案為x＞1；（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，從圖象看，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，拋物線在x軸上方；故答案為﹣1＜x＜3；（4）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，而拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），故當(dāng)x滿足0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是﹣5≤y≤4，故答案為﹣5≤y≤4．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知拋物線（a＜0）．(1)若該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，求其解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P（m，y1），Q（3，y2）在拋物線上，若y1＜y2，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把解析式化成頂點(diǎn)式，可得，可知，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-a-3），再根據(jù)該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，可得-a-3=0，解此方程，即可求得a的值，進(jìn)而求出解析式；（2）根據(jù)對(duì)稱軸得到其對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性寫出m的取值，即可求解．(1)解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-a-3），∵該拋物線的頂點(diǎn)在x軸上，∴-a-3=0，解得a=-3，∴拋物線的解析式為；(2)解：∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴點(diǎn)Q（3，y2）關(guān)于直線x=1對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，y2），∵a＜0，y1＜y2，∴或．【點(diǎn)撥】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求解集是解題關(guān)鍵．【類型四】二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)4、拋物線y=ax2+bx+c的符號(hào)問(wèn)題：（1）a的符號(hào)由拋物線的_______確定；（2）b的符號(hào)由拋物線的_______確定；（3）c的符號(hào)由拋物線_________確定；（4）b2﹣4ac的符號(hào)由拋物線的_________確定；（5）a+b+c的符號(hào)由______在拋物線上的點(diǎn)的位置確定；（6）a﹣b+c的符號(hào)由_______在拋物線的點(diǎn)的位置確定；（7）2a+b的符號(hào)由拋物線_______與_______的位置確定；（8）2a﹣b的符號(hào)由拋物線_______與_______的位置確定．【答案】（1）開口方向；（2）對(duì)稱軸的位置；（3）與y軸交點(diǎn)所在位置；（4）與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（5）x=1；（6）x=﹣1；（7）對(duì)稱軸；x軸的交點(diǎn)；（8）開口方向；對(duì)稱軸．【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．解：（1）a的符號(hào)由拋物線的開口方向確定；（2）b的符號(hào)由拋物線的對(duì)稱軸的位置確定；（3）c的符號(hào)由拋物線與y軸交點(diǎn)所在位置確定；（4）b2﹣4ac的符號(hào)由拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定；（5）a+b+c的符號(hào)由x=1在拋物線上的點(diǎn)的位置確定；（6）a﹣b+c的符號(hào)由x=﹣1在拋物線的點(diǎn)的位置確定；（7）2a+b的符號(hào)由拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的位置確定；（8）2a﹣b的符號(hào)由拋物線開口方向與對(duì)稱軸的位置確定．故答案是：（1）開口方向；（2）對(duì)稱軸的位置；（3）與y軸交點(diǎn)所在位置；（4）與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（5）x=1；（6）x=﹣1；（7）對(duì)稱軸；x軸的交點(diǎn)；（8）開口方向；對(duì)稱軸．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)確定．舉一反三：【變式1】如圖為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象根據(jù)函數(shù)圖象，“＞”、“＝”或“＜”填寫下列空格：①a0；②4ac﹣b20；③2a+b0；④a+b+c0；⑤當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y0；⑥8a+c0．【答案】①；②；③；④；⑤；⑥【分析】①根據(jù)開口方向即可判斷，②根據(jù)二次函數(shù)圖象與軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)即可判斷，③根據(jù)圖象的對(duì)稱性可得對(duì)稱軸為，進(jìn)而確定的符號(hào)，④根據(jù)時(shí)的函數(shù)值為即可判斷的符號(hào)，⑤根據(jù)函數(shù)圖象在時(shí)，函數(shù)圖象位于軸上方，即可判斷函數(shù)值大于0，即，⑥根據(jù)③可得以及時(shí)候的函數(shù)值即可判斷解：①二次函數(shù)圖象開口向下，，②二次函數(shù)圖象與軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即③根據(jù)圖象的對(duì)稱性可得對(duì)稱軸為，即④時(shí)的函數(shù)值為，根據(jù)圖象可知時(shí)，即，⑤根據(jù)函數(shù)圖象在時(shí)，函數(shù)圖象位于軸上方，即可判斷函數(shù)值大于0，即，⑥根據(jù)③可得以及時(shí)候的函數(shù)值即故答案為：①；②；③；④；⑤；⑥【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象，判斷下列各式的符號(hào)．①abc；②b2﹣4ac；③a+b+c；④a﹣b+c．【答案】①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＜0【分析】①拋物線開口向下得到a＜0，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，a與b同號(hào)，得到b＜0，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方得到c＜0，于是abc＜0；②拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，所以=b2﹣4ac＜0；③取x=1，觀察圖象得到圖象在x軸下方，則x=1，y=a+b+c＜0；④取x=﹣1，觀察圖象得到圖象在x軸下方，則x=﹣1，y=a﹣b+c＜0．解：①拋物線開口向下，則a＜0，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，則x=﹣＜0，則b＜0，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，則c＜0，abc＜0；②拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，所以=b2﹣4ac＜0；③當(dāng)自變量為1時(shí)，圖象在x軸下方，則x=1時(shí)，y=a+b+c＜0；④當(dāng)自變量為﹣1時(shí)，圖象在x軸下方，則x=﹣1時(shí)，y=a﹣b+c＜0．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象：①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右（簡(jiǎn)稱：左同右異）；③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．=b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；=b2﹣4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；=b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．【類型五】一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象判斷5、一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】逐一分析四個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向以及對(duì)稱軸與y軸的位置關(guān)系，即可得出a、b的正負(fù)性，由此即可得出一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，即可得出結(jié)論．解：A.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第二、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.∵二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a>0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第一、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.

∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第二、三、四象限，故本選項(xiàng)正確；D.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴a<0，b<0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過(guò)第二、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的綜合，掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和函數(shù)（是常數(shù)，且）的圖像可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分m＞0及m＜0兩種情況考慮兩函數(shù)的圖象，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)即可得出結(jié)論．解：A、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y=-mx2+2x+2開口方向朝上，與圖象不符，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m＜0，對(duì)稱軸為x=-=-＜0，則對(duì)稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象不符，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m＞0，即函數(shù)y=-mx2+2x+2開口方向朝下，與圖象不符，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由函數(shù)y=mx+m的圖象可知m＜0，即函數(shù)y=-mx2+2x+2開口方向朝上，對(duì)稱軸為x=-=-＜0，則對(duì)稱軸應(yīng)在y軸左側(cè)，與圖象相符，故D選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過(guò)的象限的問(wèn)題，關(guān)鍵是m的正負(fù)的確定，對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當(dāng)a＞0時(shí)，開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下．對(duì)稱軸為x=-，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．【變式2】如圖，已知直線y=﹣x+3分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，P是拋物線y=﹣x2+2x+5的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為a，過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線交直線y=﹣x+3于點(diǎn)Q，則當(dāng)PQ=BQ時(shí)，a的值是_______．【答案】﹣1，4，4+2，4﹣2．解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+5），則點(diǎn)Q為（a，﹣a+3），點(diǎn)B為（0，3），當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，BQ==a，PQ=﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3）=﹣a2+a+2，∵PQ=BQ，∴a=﹣a2+a+2，整理得：a2﹣3a﹣4=0，解得：a=﹣1或a=4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方時(shí)，BQ==a，PQ=﹣a+3﹣（﹣a2+2a+5）=a2﹣a﹣2，∵PQ=BQ，∴a=a2﹣a﹣2，整理得：a2﹣8a﹣4=0，解得：a=4+2或a=4﹣2．綜上所述，a的值為：﹣1，4，4+2，4﹣2．故答案為﹣1，4，4+2，4﹣2．【點(diǎn)撥】二次函數(shù)綜合題.【類型六】二次函數(shù)圖象的平移6、如圖，二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象的對(duì)稱軸為直線．（1）求a的值．（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把二次函數(shù)化為一般式，再利用對(duì)稱軸：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函數(shù)的解析式為：，再結(jié)合平移后拋物線過(guò)原點(diǎn)，則從而可得平移方式及平移后的解析式．解：（1）．∵圖象的對(duì)稱軸為直線，∴，∴．（2）∵，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，∴拋物線向下平移3個(gè)單位后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為．【點(diǎn)撥】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像的平移，熟練掌握二次函數(shù)的