武漢理工大學(xué)《流體力學(xué)》課件3 流體運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)基礎(chǔ)1

第三章流體運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)基礎(chǔ)

(FundamentalofFluidDynamics)流體力學(xué)基本方程

連續(xù)性方程

動量方程動量矩方程伯努利方程能量方程第三章 流體運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)基礎(chǔ)

3.1

研究流體運(yùn)動的兩種方法

3.2

流體運(yùn)動的基本概念

3.3控制體與輸運(yùn)公式

3.4

連續(xù)方程

3.5動量方程和動量矩方程

3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用流動的類型

按照流體性質(zhì)劃分：可壓縮流體的流動和不可壓縮流體的流動；理想流體的流動和粘性流體的流動；牛頓流體的流動和非牛頓流體的流動；磁性流體的流動和非磁性流體的流動；按照流動特征區(qū)分：有旋流動和無旋流動；層流流動和紊流流動；定常流動和非定常流動；超聲速流動和亞聲速流動；按照流動空間區(qū)分：內(nèi)部流動和外部流動；一維流動、二維流動和三維流動；幾個(gè)概念1、流體運(yùn)動學(xué)：從幾何學(xué)的觀點(diǎn)來研究流體運(yùn)動所遵循規(guī)律的流體力學(xué)分支。2、流場：流體運(yùn)動所占據(jù)的空間；用歐拉法描述的流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，其流速、壓強(qiáng)等函數(shù)定義在時(shí)間和空間點(diǎn)坐標(biāo)場上的流速場、壓力場等的總稱。3.1研究流體運(yùn)動的兩種方法描述流體運(yùn)動就是表達(dá)流動參數(shù)在空間不同位置上隨時(shí)間連續(xù)變化的規(guī)律。流動參數(shù)：表征流體運(yùn)動的主要物理量統(tǒng)稱為流體的流動參數(shù)。包括：流動速度u、壓力P、位移(x,y,z)、密度、動量、動能等。描述流體運(yùn)動是從著眼于研究流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，還是著眼于研究流場空間點(diǎn)上流動參數(shù)的變化出發(fā)，可分為：拉格朗日（Lagrange）法和歐拉（Euler）法。液體運(yùn)動有兩個(gè)特征。一個(gè)是“多”，即液體是由眾多質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)介質(zhì)；另一個(gè)是“不同”，即不同液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律各不相同。因此，液體運(yùn)動的描述方法與理論力學(xué)中剛體運(yùn)動的描述方法就不可能相同。那么，這就給液體運(yùn)動的描述帶來了困難。怎樣描述整個(gè)液體的運(yùn)動規(guī)律呢？拉格朗日法:質(zhì)點(diǎn)系法以液體質(zhì)點(diǎn)作為研究對象，跟蹤所有質(zhì)點(diǎn)，描述其運(yùn)動過程，即可獲得整個(gè)液體運(yùn)動的規(guī)律。

圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM設(shè)某一液體質(zhì)點(diǎn)在t=t0占據(jù)起始坐標(biāo)（a，b，c）（a，b，c，t0）圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tMt0：質(zhì)點(diǎn)占據(jù)起始坐標(biāo)：（a，b，c）t：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到空間坐標(biāo)：（x，y，z）（a，b，c，t0）（x，y，z，t）圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM跟蹤這個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)，得到其運(yùn)動規(guī)律為圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM改變液體質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)（a，b，c)，并跟蹤這個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)，就可得到另一個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM這樣就得到液體整體的運(yùn)動規(guī)律。反復(fù)改變液體質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)（a，b，c)，并跟蹤不同液體質(zhì)點(diǎn)，就可得到不同液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM現(xiàn)在看看數(shù)學(xué)上怎么能做到這一點(diǎn)。（a，b，c，t）=拉格朗日變數(shù)圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM（a，b，c）對應(yīng)液體微團(tuán)或液體質(zhì)點(diǎn)起始坐標(biāo)圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM給定（a，b，c），該質(zhì)點(diǎn)軌跡方程不同（a，b，c），不同質(zhì)點(diǎn)軌跡方程圖3.1.1拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM因此，用這個(gè)公式就可描述液體所有液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。上式對t求導(dǎo)，得到液體質(zhì)點(diǎn)的速度速度對t

求導(dǎo)，得到液體質(zhì)點(diǎn)的加速度因此，用這些方程就能描述所有液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動（軌跡、速度和加速度），也就知道了液體整體的運(yùn)動。問題

每個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點(diǎn)數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難實(shí)用上不需要知道每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況

問題

每個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點(diǎn)數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難實(shí)用上不需要知道每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況

問題

每個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動規(guī)律不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點(diǎn)數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難實(shí)用上不需要知道每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況例如：水從管中以怎樣的速度流出，風(fēng)經(jīng)過門窗等等，只要知道一定地點(diǎn)（水龍頭處）一定斷面（門窗洞口斷面），而不需要了解某一質(zhì)點(diǎn)，或某一流體集團(tuán)的全部流動過程

問題

每個(gè)液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律都不同，很難跟蹤足夠多質(zhì)點(diǎn)。數(shù)學(xué)上存在難以克服的困難。實(shí)用上不需要知道每個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動情況，只需要知道關(guān)鍵之處。

質(zhì)點(diǎn)太多→做不到！數(shù)學(xué)上困難→做不到！實(shí)用上→不必要！一般不用這個(gè)方法描述液體的運(yùn)動，但對于一些特殊問題，要用這個(gè)方法，如波浪運(yùn)動、PIV測速（粒子成像測速）等。歐拉法：流場法核心是研究運(yùn)動要素的空間分布場

設(shè)一些固定空間點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x,y,z)。xz空間固定點(diǎn)O考察不同固定點(diǎn)上、不同液體質(zhì)點(diǎn)通過時(shí)的運(yùn)動情況，以此了解整個(gè)流動在空間的分布。

xz空間固定點(diǎn)O考察不同固定點(diǎn)上、不同液體質(zhì)點(diǎn)通過時(shí)的運(yùn)動情況。這句話包含兩層意思：

xz空間固定點(diǎn)O“考察不同固定點(diǎn)上、不同液體質(zhì)點(diǎn)通過時(shí)的運(yùn)動情況”這句話，包含兩層意思：研究同一時(shí)刻t1、不同固定點(diǎn)（x，y，z）上液體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，將各固定點(diǎn)的運(yùn)動信息綜合，了解該時(shí)刻流場。xz空間固定點(diǎn)Ot1

時(shí)刻“考察不同固定點(diǎn)上、不同液體質(zhì)點(diǎn)通過時(shí)的運(yùn)動情況”這句話，包含兩層意思：研究不同時(shí)刻的流場，得到不同時(shí)刻的流場，如圖所示。再將各時(shí)刻流場疊加，就可知道各所有固定點(diǎn)在不同時(shí)刻、不同質(zhì)點(diǎn)通過時(shí)的流動參數(shù)，也就知道了流動中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。xz空間固定點(diǎn)Ot2

，t3，t4…歐拉法：相當(dāng)于在流場中設(shè)置許多固定觀察點(diǎn)（x，y，z），對于液體運(yùn)動的分析可分為（1）流場（2）流場隨時(shí)間變化通過（1）和（2）綜合，可得液體運(yùn)動的信息。歐拉法把任何一個(gè)運(yùn)動要素表示為空間坐標(biāo)（x，y，z）和時(shí)間t

的函數(shù)。

液體質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻，通過任意空間固定點(diǎn)(x,y,z)時(shí)的流速為式中，(x,y,z,t)

:歐拉變數(shù)

(ux

uy

uz):通過固定點(diǎn)的流速分量(a,b,c):質(zhì)點(diǎn)起始坐標(biāo)

t:任意時(shí)刻(x,y,z):質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的位置坐標(biāo)(a,b,c,t):拉格朗日變數(shù)(x,y,z):空間固定點(diǎn)（不動）

t:任意時(shí)刻(x,y,z,t):歐拉變數(shù)拉格朗日法歐拉法(a,b,c):質(zhì)點(diǎn)起始坐標(biāo)

t:任意時(shí)刻任意時(shí)刻(x,y,z):質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡坐標(biāo)

空間固定點(diǎn)（不動）拉格朗日法歐拉法

t=t0

＝給定時(shí)刻，（x，y，z）＝變數(shù)

同一時(shí)刻，不同空間點(diǎn)上液體質(zhì)點(diǎn)的流速分布，即流場。歐拉法（x，y，z）＝給定點(diǎn)，t＝變數(shù)

不同液體質(zhì)點(diǎn)通過給定空間點(diǎn)的流速變化，流場隨時(shí)間的變化。歐拉法液體質(zhì)點(diǎn)通過任意空間坐標(biāo)時(shí)的加流速式中，

(ax,ay,az)為通過空間點(diǎn)的加速度分量任一物理量,如壓強(qiáng)、密度，用歐拉法表示為一維流動，

則

從歐拉法來看，同一時(shí)刻不同空間位置上的流速可以不同；同一空間點(diǎn)上，因時(shí)間先后不同，流速也可不同。因此，加速度分為

遷移加速度（位變加速度）

當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r(shí)變加速度）

HABCD若H不變,則有

/t=0，即流動恒定,或定常流動,對等截面(A與B),位變導(dǎo)數(shù)為零,對非等截面(C與D),位變導(dǎo)數(shù)一般不為零。若H是變化的,則

/t不為零即非恒定流動,或非定常流動，而對于位變導(dǎo)數(shù),與上述結(jié)論相同。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，將（x,y,z）看成是時(shí)間t的函數(shù)，則從數(shù)學(xué)上分析，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，將（x,y,z）看成是時(shí)間t的函數(shù)，則有加速度分量的表達(dá)式時(shí)變加速度分量（三項(xiàng)）位變加速度分量（九項(xiàng)）

遷移加速度（位變加速度）同一時(shí)刻，不同空間點(diǎn)上流速不同，而產(chǎn)生的加速度。當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r(shí)變加速度）同一空間點(diǎn)，不同時(shí)刻，流速不同，而產(chǎn)生的加速度。xy0

(8,6)例3.1.1

質(zhì)點(diǎn)沿直線以速度V=3(m/s)運(yùn)動,求質(zhì)點(diǎn)在(8,6)點(diǎn)的加速度

u=Vcos=3=3xv=3yax=u/t+uu/x+vu/y=0+3x·3+3y·0=9x=72m/s2ay=v/t+uv/x+vv/y=0+3y·0+3y·3=9y=54m/s2

解:例3.1.2

試求點(diǎn)(1,2,3)處流體加速度的三個(gè)分量解:ax=0+x2y(2xy)-3y(x2)+2z2(0)=2x3y2-3x2y=2ay=0+x2y(0)-3y(-3)+2z2(0)=9y=18az=0+x2y(0)–3y(0)+2z2(4z)=8z3=216

3.2

流體運(yùn)動的基本概念一.定常流動和非定常流動

流體運(yùn)動過程中，若各空間點(diǎn)上對應(yīng)的物理量不隨時(shí)間而變化，這些物理量僅為空間點(diǎn)（x,y,z）的函數(shù)，則稱此流動為定常流動，反之為非定常流動。二.均勻流動和非均勻流動

流體運(yùn)動過程中，若所有物理量皆不隨空間點(diǎn)坐標(biāo)而變，這些物理量僅為時(shí)間t的函數(shù)，則稱此流動為均勻流動，反之為非均勻流動。

三.一維、二維、三維流動在設(shè)定坐標(biāo)系中，有關(guān)物理量依賴于一個(gè)坐標(biāo)，稱為一維流動，依賴于二個(gè)坐標(biāo)，稱為二維流動，依賴于三個(gè)坐標(biāo)，則稱為三維流動。平面運(yùn)動和軸對稱運(yùn)動是典型的二維運(yùn)動。四.跡線與流線跡線跡線是流體質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動時(shí)描繪的軌跡。它給出了同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的空間位置。跡線的拉格朗日表示式

跡線的歐拉表示式或式中t為自變量，x,y,z均為t的函數(shù)。跡線的特點(diǎn)：跡線是流場中實(shí)際存在的

跡線具有持續(xù)性（t是自變量）流線流線是指某一瞬時(shí)流場中一組假想的曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線都與速度矢量相重合。由流線定義可推出流線的微分方程：空間點(diǎn)的速度與流線相切，即空間點(diǎn)的速度矢量v與流線上微元弧矢量ds的矢量積為零。所以：即：

上式即為流線微分方程。因?yàn)榱黧w中一點(diǎn)不能同時(shí)有兩個(gè)速度方向，流線除在繞流中的駐點(diǎn)等特殊情況外，流線不能相交，也不能轉(zhuǎn)折，只能是光滑曲線。流線的特點(diǎn)：

流線是假想的線

流線具有瞬時(shí)性（t是參數(shù)）在定常流場中流線與跡線重合例3.2.1

已知流場速度為

其中q為常數(shù),求流線方程。dx/x=dy/y

積分lnx=lny+c,即y=cx為平面點(diǎn)源流動。解:例3.2.2:已知平面流場速度分布為

u=2yt+t3v=2xt求時(shí)刻t=2過點(diǎn)(0,1)的流線解:2xdx=2ydy+t2dyt作為參量(常數(shù))處理積分有x2–y2=t2y+C將t=2,x=0,y=1代入得C=-5所以有x2–y2–4y+5=0五.流管和流束、流量、當(dāng)量直徑流管：在流場中通過一任意的非流線的封閉曲線上每一點(diǎn)作流線所圍成的管狀面流管的特點(diǎn)：

①具有流線的所有特點(diǎn)；②在定常流中，流管形狀不變，像固定的管道。流束：流管內(nèi)的流體?？煽醋鳠o數(shù)流線的集束。當(dāng)流束內(nèi)所有流線均相互平行時(shí)稱為平行流；雖不完全平行，但流線之間夾角很小時(shí)稱為緩變流。處處與流線垂直的截面稱為有效截面，平行流和緩變流的有效截面是平面。有效截面為無限小的流束稱為微元流束；所有微元流束之總和稱為總流。工程上常將管道或渠道壁所圍的流體流動稱為總流。流量：單位時(shí)間內(nèi)通過有效截面的流體量稱為流量。流體量可以用體積、質(zhì)量和重量表示，其相應(yīng)的流量分別是體積流量qv（由于體積流量使用較多，故簡寫為q）

、質(zhì)量流量qm和重量流量qG。

對于元流，由于有效截面dA非常小，可以近似認(rèn)為元流有效截面上各點(diǎn)的流速在同一時(shí)刻是相同的，因此元流的流量為。式中v為點(diǎn)流速?？偭鞯牧髁縿t為：

平均流速：作為一維流動，常采用有效截面平均速度值代替各點(diǎn)的實(shí)際流速，稱為有效截面平均流速。平均流速是體積流量與有效截面面積之比，即

水力半徑：在總流的有效截面上與流體相接觸的固體邊壁周長稱為濕周，用χ表示?？偭饔行Ы孛婷娣e與濕周χ之比稱為水力半徑R，即當(dāng)量直徑：總流有效截面面積的四倍與濕周之比。常見有效截面的濕周、水力半徑和當(dāng)量直徑的計(jì)算式有效截面

系統(tǒng):包含確定不變的物質(zhì)的集合稱為系統(tǒng)基本方程利用系統(tǒng)導(dǎo)出,可通過輸運(yùn)公式,以控制體的形式表達(dá)出來

3.3控制體與輸運(yùn)公式控制體:研究流體運(yùn)動的連續(xù)的空間區(qū)域稱為控制體。相對于坐標(biāo)系有固定位置、有任意確定形狀的空間區(qū)域，控制體的表面也稱為控制面，流體質(zhì)點(diǎn)系可以按照自身運(yùn)動規(guī)律穿越控制面自由出入于控制體?？刂企w與質(zhì)點(diǎn)系的區(qū)別：質(zhì)點(diǎn)系相對于坐標(biāo)系不但可以有位移，而且也可以有變形；但對于控制體，在運(yùn)動過程中相對于坐標(biāo)系的位置與形狀都是固定不變的。t時(shí)刻位于(x,y,z)的流體質(zhì)點(diǎn)，在t+

t時(shí)刻移動至(x+x,y+

y,z+

z)處，其中滿足

流體系統(tǒng)（質(zhì)量體）在t時(shí)刻占據(jù)空間（I+II）（總體以表示，取為控制體），t+t時(shí)刻系統(tǒng)內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)移動至（I+III）體積中，見圖。設(shè)系統(tǒng)t時(shí)刻攜帶的物理量為Q(x,y,z,t)，則系統(tǒng)物理量Q總和隨時(shí)間的變化率即稱為隨體導(dǎo)數(shù)，可表示為IIItIIIt+tIIItIIIt+t由式取極限，得到輸運(yùn)公式為若流動定常,則不可壓,則以上積分形式可以化為微分形式,亦可由微元六面體進(jìn)行推導(dǎo)而得到3.4連續(xù)方程YZXObdydzdxcau流出前表面的流體質(zhì)量流進(jìn)后表面的流體質(zhì)量bdydzdxcauX方向:凈流量=流出-流進(jìn)=同理y方向:Z方向:bdydzdxcau質(zhì)量守恒:凈流量=流出-流進(jìn)=微元體內(nèi)質(zhì)量的減少某些條件下,連續(xù)性微分方程的具體形式(1)恒定(定常)(2)不可壓縮流體即

=const(3)不可壓縮平面(二維)連續(xù)性方程有由連續(xù)介質(zhì)的概念和質(zhì)量守恒原理出發(fā)，即可導(dǎo)出流速和過水?dāng)嗝嬷g的關(guān)系式，即恒定總流連續(xù)方程。在恒定流條件下，元流的形狀和元流段的流體質(zhì)量均不隨時(shí)間變化；流面上不可能有流體的流進(jìn)或流出；液流是連續(xù)介質(zhì)，元流內(nèi)部不存在空隙，據(jù)質(zhì)量守恒原理，得：

常數(shù)

對于不可壓縮的流體，，則

常數(shù)

常數(shù)

對上式積分，可得：引入斷面平均流速得：

對于不可壓管流,截面小流速大,截面大流速小而對于可壓縮管流,情況要復(fù)雜得多注意：１．對于有固定邊界的管流，即使是非恒定流，對于同一時(shí)刻的兩過水?dāng)嗝嫒匀贿m用。２．適用于理想流體，也可用于實(shí)際流體。３．若沿流程有流量的流進(jìn)或流出，則應(yīng)相應(yīng)地加上或減去。

對于以上第三點(diǎn)，連續(xù)性方程在形式上應(yīng)作相應(yīng)的變化。當(dāng)有流量匯入時(shí)：當(dāng)有流量分出時(shí)：例題1、有一變直徑圓管（如圖），已知1-1斷面直徑d1=200mm,斷面平均流速v1=0.5m/s；2-2斷面直徑d2=100mm。試求：（1）2-2斷面平均流速v2；（2）管中流量Q。例題2、一分岔管路(如圖),已知管徑d1=d2=200mm,d3=100mm,斷面平均流速v1=4m/s,v2=3m/s，試求斷面平均流速v3。

d2d12121例3、管道中水的質(zhì)量流量為Qm=300kg/s,若d1=300mm,d2=200mm,求流量和過流斷面1-1,2-2的平均流速。解:3.5動量方程和動量矩方程

一、動量方程

動量方程是動量守恒定律在流體力學(xué)中的具體表達(dá)。本節(jié)討論流體作定常流動時(shí)的動量變化和作用在流體上的外力之間的關(guān)系。一般力學(xué)中動量定理表述為：物體動量的時(shí)間變化率等于作用在該物體上的所有外力的矢量和。

上式是針對系統(tǒng)而言的，通常稱為拉格朗日型動量方程.現(xiàn)應(yīng)用控制體概念，將其轉(zhuǎn)換成歐拉型動量方程。1212在恒定總流中，取一流段進(jìn)行研究，如圖所示，分析其運(yùn)動的變化。把這塊流體加以放大，便于分析。A1A2dA1dA2u1u21212121212122’經(jīng)過時(shí)間Δt

后，流體從1-2運(yùn)動至1’－2’12121’1’2’2’12121’1’2’2’經(jīng)過時(shí)間Δt

后，流體從1-2運(yùn)動至1’－2’12121’2’2’dt

時(shí)間內(nèi)水流動量變化ΔK1’12121’2’2’dt

時(shí)間內(nèi)水流動量變化ΔK1’t+dtt12121’2’2’dt

時(shí)間內(nèi)水流動量變化ΔK1’t+dttu1dA1A1A2dt

時(shí)間內(nèi)水流動量的變化12121’1’2’2’dA2u2dtu1dtu2

dt

時(shí)間內(nèi)水流動量的變化1u1dA1A1A22121’1’2’2’dA2u2dtu1dtu2

dt

時(shí)間內(nèi)水流動量的變化1u1dA1A1A22121’1’2’2’dA2u2dtu1dtu2

dt

時(shí)間內(nèi)水流動量的變化1u1dA1A1A22121’1’2’2’dA2u2dtu1dtu2因?yàn)閿嗝嫔系牧魉俜植家话悴恢?，所以上述積分不能完成。如何解決這個(gè)積分問題？用斷面平均流速代替點(diǎn)流速分布，造成的誤差用一個(gè)動量修正系數(shù)(常系數(shù)）修正，則按照動量原理按照動量原理Fx

,Fy

,Fz：作用于控制體上所有外力（不包括慣性力）在三個(gè)坐標(biāo)方向的投影β：動量修正系數(shù)，漸變流斷面取1.02～1.05，一般取為1過水?dāng)嗝?/p>

流出項(xiàng)流入項(xiàng)外力項(xiàng)不包括慣性力不可改動的負(fù)號動量方程是輸出項(xiàng)減去輸入項(xiàng)，不可顛倒動量方程推導(dǎo)時(shí)，要求流量沿程相等。但是，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，流量沿程可不等（例如，有匯流或分叉情況），動量方程應(yīng)改為下列形式流出控制體的j

股水流動量和流入控制體的i

股水流動量和應(yīng)用動量方程解題時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：動量方程是一個(gè)矢量方程，經(jīng)常使用投影式。注意外力、速度和方向問題，它們與坐標(biāo)方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。在考慮外力時(shí)注意控制體外的流體通過進(jìn)口斷面和出口斷面對控制體內(nèi)流體的作用力。外力中包含了壁面對流體作用力，而求解問題中往往需要確定流體作用在壁面上的力，這兩個(gè)力按牛頓第三定理。動量修正系數(shù)β在計(jì)算要求精度不高時(shí)，常取1.0。方程中流速和作用力都是有方向的。寫動量方程之前，首先選擇坐標(biāo)軸，并注明其正向。

凡是和坐標(biāo)軸方向一致的力和流速為正，反之，則為負(fù)。坐標(biāo)軸是可以任意選擇的（但是必須是笛卡兒坐標(biāo)），以計(jì)算方便為宜。坐標(biāo)軸的選擇是有技巧的，坐標(biāo)軸的選擇應(yīng)使得未知數(shù)數(shù)目越少越好，最好一個(gè)方程一個(gè)。運(yùn)用動量方程的解題要點(diǎn)取一個(gè)控制體?？刂企w可任意選擇，通常由下列部分組成:底部、側(cè)部：固體邊壁，例如，管壁，渠底表面：自由水面等橫向邊界：漸變流過水?dāng)嗝婵刂企w控制體取出后，在控制面上畫出未知力例如，明渠水流：控制體包括有底板、側(cè)邊界，自由水面，過水?dāng)嗝孀龀鍪芰D，圖上畫上所有受力、流量、流速、壓力等矢量。未知力的方向可以假定，若計(jì)算為正值，則說明假定正確；反之，則說明實(shí)際力的方向和假定相反。動量方程只能求解三個(gè)未知數(shù)（或者三個(gè)分量），如果未知數(shù)的數(shù)目多于三，必須聯(lián)合其他方程（連續(xù)方程、或能量方程）方可求解。1選擇坐標(biāo)軸，并注明其正向2取一個(gè)控制體3做受力圖，畫上受力、流量、流速、壓力等矢量4動量方程是流出項(xiàng)減去流入項(xiàng)，不可顛倒5未知力的方向可假定6動量方程只能求解三個(gè)未知數(shù)。未知數(shù)數(shù)目多于三，須聯(lián)合連續(xù)方程、或能量方程，方可求解。7有匯流或分叉情況，動量方程形式改變平面彎管θ彎管水流對平面管壁的作用力

θθ1122RxRzRv1v2p1p2A1A2θ取控制體，畫受力圖yxOθθ1122RxRyRv1v2p1p2A1A2θp2=0yxOθθ1122RxRyRv1v2p1p2A1A2θp2=0yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2θ列出沿x、y

方向的動量方程yxO1122RxRyRv1v2p1p2A1A2θyxOΔz1122zxO彎管水流對立面管壁的作用力

有一垂直立面90°彎管，軸線弧長L=3.14m，兩斷面高程差△z=2m，1－1斷面中心壓強(qiáng)p1=117.6kN/m2

，水頭損失hw=0.1m，管徑d=0.2m，Q=0.06m3/s，試求水流對彎管的作用力。11zxO22p1p2v2v1G

RzRxR11zxO22p1p2v2v1G

RzRxR11zxO22p1p2v2v1G

RzRxR11zxO22p1p2v2v1G

RzRxRv0Rxvv001122yOv00.5Q0.5Q

從噴嘴中噴出的水流，以速度v0射向與水流方向垂直的固定平面壁，當(dāng)水流被平面阻擋后對稱分開。若流動在一個(gè)水平面內(nèi)，求射流對壁面的沖擊力。水流對垂直固定平面壁的沖擊力

從噴嘴中噴出的水流，以速度v0射向與水流方向垂直的固定平面壁，當(dāng)水流被平面阻擋以后，對稱地分開。沿壁面的流速為v，若所考慮的流動在一個(gè)水平面內(nèi)上，則重力不起作用，求此時(shí)射流對壁面的沖擊力。v0Rxvv001122yOv00.5Q0.5Q例3.5.1

密度為ρ的不可壓縮流體定常地在如圖所示的水平安裝的收縮型彎管中流動，流體出口速度方同與進(jìn)口速度方向之間的夾角為α。已知進(jìn)口物理量為、p1、A1，出口物理量為p2、A2，求流體對彎管的作用力。

解：取進(jìn)出口截面之間的空間作為控制體，由于彎管水平安裝，重力在水平方向無分量，管壁對控制體的作用力以Fb表示(β取1.0)由動量方程式二、動量矩方程

動量矩方程表達(dá)運(yùn)動流體動量矩的變化率與所受外力矩之間的關(guān)系。有前面推導(dǎo)可知：對于定常流動，動量方程矢量式為：設(shè)0為某一固定點(diǎn)，用、和分別代表從0到進(jìn)、出流過流斷面中心的矢徑和到外力作用點(diǎn)的矢徑，則由動量矩定理有：此式就是動量矩方程。表示單位時(shí)間內(nèi)流出、流進(jìn)控制面的流體對某固定點(diǎn)的動量矩之差，等于作用在流體上的所有外力對同一點(diǎn)力矩的矢量和。

現(xiàn)將動量矩方程應(yīng)用到旋轉(zhuǎn)葉輪機(jī)械在葉輪通道內(nèi)的流體上，以離心泵葉輪為例。如圖，流體從葉輪的內(nèi)圈入口流入，經(jīng)葉輪流道于外圈出口流出。進(jìn)出口半徑分別為r1、r2，葉輪以一定角速度旋轉(zhuǎn)。假設(shè)流體是理想的，流動是定常的，葉輪內(nèi)的流動是軸對稱的。則可列出水泵葉輪的動量矩方程為（令）

其中為葉輪作用在流體上的總力矩，為絕對速度與牽連速度之間的夾角。葉輪對流體所作的功率為

其中：為葉輪出口與入口處的牽連速度。為葉輪出口與入口處絕對速度在圓周切線方向的投影速度。葉輪對單位重量流體所作的功為這是旋轉(zhuǎn)渦輪機(jī)械的基本方程式。3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用一、流線上的伯努利方程伯努利方程依據(jù)：能量守恒定律推導(dǎo)方法：總能量衡算、機(jī)械能衡算1.總能量衡算u1u2QWeZ1Z2對于穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，單位時(shí)間內(nèi)，輸入系統(tǒng)的總能量為：輸出系統(tǒng)的總能量為：E1+Q+We其中，E1為流體流動輸入系統(tǒng)的能量；E2為流體流動輸出的能量Q為系統(tǒng)從環(huán)境吸收的熱量；We為環(huán)境對系統(tǒng)所作的功。下面對流體流動輸入和輸出的能量進(jìn)行具體分析：根據(jù)能量守恒原理，有：E1+Q+We＝E2E1（或

E2）流體的內(nèi)能U：與流體內(nèi)部的微觀性質(zhì)有關(guān)流體的機(jī)械能動能勢能靜壓能單位時(shí)間內(nèi)，流入系統(tǒng)的流體質(zhì)量為：由連續(xù)性方程，流出系統(tǒng)的質(zhì)量為：上式兩邊同時(shí)除以m1,有：上式即為穩(wěn)定流動系統(tǒng)的總能量衡算方程，又稱穩(wěn)定流動系統(tǒng)的熱力學(xué)第一定律展開式。伯努利方程在流體輸送的過程中，一般是在常溫下進(jìn)行，與外界沒有熱量的交換，因此，上式中的q=0;流體內(nèi)能的增量，與流體流動時(shí)由于摩擦阻力產(chǎn)生的熱是相同的，因此可以利用流體流動的摩擦損失功代替流體內(nèi)能的增量。有：此式即為流體流動的機(jī)械能衡算方程。討論：當(dāng)流體為理想流體且環(huán)境不對流體做功時(shí)，有：若流體不可壓縮，公式可寫為：上面兩個(gè)公式稱為伯努利方程。廣義的伯努利方程當(dāng)流體為實(shí)際流體時(shí)，由于摩擦阻力的存在，流體會有機(jī)械能損失，外界也會對流體做功，有：討論：1）各項(xiàng)的單位2）若將上式兩邊同除以重力加速度，有：很明顯，上式各項(xiàng)的單位均為m。其中，稱為動壓頭或速度頭；稱為靜壓頭；稱為位壓頭或位頭；上述方程說明：a.對于不可壓縮的理想流體流動，機(jī)械能守恒而且可以相互轉(zhuǎn)化。b.在沒有外功輸入的情況下，對于實(shí)際流體，由于存在摩擦阻力損失，上游的總壓頭大于下游的總壓頭；c.在有外功輸入和摩擦阻力損失的情況下，上游的總壓頭與下游的總壓頭之差為：u1u2A1A2

所謂靜壓能，實(shí)質(zhì)上是外部流體對流入或流出系統(tǒng)的流體做的功，如右圖所示。p1p21截面處的靜壓強(qiáng)為p1,該截面上流體所受到的靜壓力為：單位時(shí)間內(nèi)流過1截面的流體長度為：L則靜壓強(qiáng)對流體所作的功為：同理：系統(tǒng)內(nèi)部對流出流體所作的功為：3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用壓力作功動能增加位能增加壓力作功=動能增加+位能增加可以推出這就是理想不可壓縮定常流動流體的伯努利方程3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用對于實(shí)際不可壓縮定常流體，需要考慮粘性做功，方程式變?yōu)椋喝绻鲃铀俣葹榱?，可以得到流體靜力學(xué)基本方程式：3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用二、伯努利方程式的意義1、幾何意義

Z，p/

g，V2/2g量綱都是長度，表示一定的高度。Z：表示流體質(zhì)點(diǎn)相對基準(zhǔn)面的幾何高度，稱為位置水頭。p/

g：表示質(zhì)點(diǎn)壓力大小的液柱高度，稱為壓力水頭。V2/2g：表示質(zhì)點(diǎn)速度大小的高度，稱為速度水頭。3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用伯努利方程式表明在重力作用下不可壓縮的理想流體作定常流動，任一質(zhì)點(diǎn)的位置水頭，壓力水頭，速度水頭之和即總水頭為一常數(shù)。2、物理意義Z：表示單位重力流體的位能。p/

g：表示單位重力流體的壓力能。V2/2g：表示單位重力流體的動能。伯努利方程式表示單位重力流體所具有的位能、壓力能動能之和即總機(jī)械能為一常數(shù)。同一條流線上各點(diǎn)的單位重力流體的總機(jī)械能相同，因此伯努利方程式是能量守衡定律在流體動力學(xué)中的應(yīng)用，又稱為能量方程。3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用三、其它幾種形式的伯努利方程3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用實(shí)際（粘性）流體總流上的伯努利方程式為：不考慮粘性阻力損失，得到理想流體總流上的伯努利方程式：1、總流的伯努利方程式

在總流上任取一過流斷面，過流斷面型心的高度為z，p取過流斷面的壓力，過流斷面的平均速度為

，過流斷面上單位重力流體的平均動能為，α為動能修正系數(shù)?？偭鞑匠淌降膽?yīng)用條件不可壓縮流體的定常流動；質(zhì)量力只有重力；所取斷面應(yīng)是緩變流斷面，但在其間可不必要求；沒有其它形式的能量的輸入輸出；上、下游兩過水?dāng)嗝鎸儆谕粋€(gè)總流，無總流的分出、匯入。3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用3.6伯努利能量方程及其應(yīng)用2、沿程有分流的伯努利方程式通過過流斷面1的流體，不是流向斷面2，就是流向斷面3，對斷面1-2，1-3分別列出伯努利方程式：將上面方程1乘以，方程2乘以，相加得分流的伯努利方程式3.6伯努利能量方