第41課　橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程

第五單元

圓錐曲線5.1.1

橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程情境引入

對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的最重要的特征.亞里士多德說(shuō)過(guò)：“對(duì)稱是自然界和人類(lèi)社會(huì)中普遍存在的形式之一，是其運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的規(guī)律之一”.在設(shè)計(jì)圖標(biāo)、建筑外觀的時(shí)候，通常會(huì)考慮到圖案、建筑物整體的對(duì)稱性.如下圖所示的中國(guó)一汽的車(chē)標(biāo)、國(guó)家歌劇院與水面形成的倒影都呈橢圓的形狀.那么我們?nèi)绾萎?huà)出橢圓呢？概念形成取一條一定長(zhǎng)度的線繩、兩枚圖釘、一支筆和一小塊木板，按照下面的步驟畫(huà)一個(gè)橢圓.(1)將線繩的兩端固定在木板的兩點(diǎn)F1和F2，并使線繩的長(zhǎng)大于F1和F2的距離.(2)用筆尖把線繩拉緊，讓線繩保持拉緊狀態(tài)，筆尖在木板上慢慢移動(dòng)一周，觀察畫(huà)出的圖形.橢圓圖像的繪制概念形成平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)(大于)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.橢圓的定義

軌跡描述橢圓線段無(wú)軌跡概念形成以過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.橢圓的定義設(shè)M(x,y)為橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為定長(zhǎng)2a(a>0)，設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0)，則F1，F(xiàn)2兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-c,0)和(c,0).

由橢圓定義，得

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，分別代入點(diǎn)M及兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)

概念形成以過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.橢圓的定義

移項(xiàng)：兩邊平方：整理得：兩邊平方，整理得：

概念形成以過(guò)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.橢圓的定義兩邊平方，整理得：

由橢圓的定義可知，

即：

等式兩邊同除以b2：

（橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）這個(gè)方程表示的是：焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0).概念形成除了焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的在x軸上，也可以在y軸上，如下圖所示.橢圓的定義已知焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y

軸上，則焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(0,-c)和F2(0,c).那么焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

概念形成橢圓的定義焦點(diǎn)位置圖像焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y

軸上

在代數(shù)形式上也體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美如何根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)判斷焦點(diǎn)位置？例題分析例1.已知橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(-6,0)，F(xiàn)2(6,0)，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和是20，求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例題分析例2.求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距.

鞏固練習(xí)1.設(shè)F1，F(xiàn)2為定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）

A.橢圓 B.直線 C.圓 D.線段2.橢圓的焦距為（）

A.4 B.5 C.

6 D.9鞏固練習(xí)3.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）a=3，b=1，焦點(diǎn)在x