垂徑定理 省賽獲獎(jiǎng)

垂徑定理問題：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋,是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？

趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境

實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸．活動(dòng)一如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？?思考·OABCDE活動(dòng)二（1）是軸對(duì)稱圖形．直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱軸（2）線段：

AE=BE⌒⌒?。海粒茫剑拢茫粒模剑拢摹小邪褕A沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，ＡＣ和ＢＣ

重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒直徑ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒③AM=BM,由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①CD是直徑③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＤＣＡＢMＯ幾何語(yǔ)言表達(dá)垂徑定理：推論：判斷下列說法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦

⑤弦的垂直平分線是圓的直徑⑥平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦

⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的弧辨別是非解得：R≈27．9（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在圖中如圖，用ＡＢ表示主橋拱，設(shè)ＡＢ所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點(diǎn)，C是ＡＢ的中點(diǎn)，CD就是拱高．⌒⌒⌒實(shí)踐應(yīng)用1．如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE練習(xí)解：答：⊙O的半徑為5cm.活動(dòng)三在Rt△AOE中

2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證:四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.挖掘潛力

某地有一座圓弧形拱橋圓心為Ｏ，橋下水面寬度為７.2m，過O作OC⊥AB于D，交圓弧于C，CD=2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面（AB）2m的貨船要經(jīng)過拱橋，此貨船能否順利通過這座拱橋？CNMAEHFBDO某地有一座圓弧形拱橋圓心為Ｏ，橋下水面寬度為７.2m，過O作OC⊥AB于D，交圓弧于C，CD=2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為方形并高出水面（AB）2m的貨船要經(jīng)過拱橋，此貨船能否順利通過這座拱橋？解：如圖，連接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D為AB中點(diǎn)，∵AB=7.2m，∴BD=1/2AB=3.6m．又CD=2.4m，設(shè)OB=OC=ON=r，則OD=r-2.4m．在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9m．∵CD=2.4m，船艙頂部為方形并高出水面(AB)2m，∴CE=2.4-2=0.4m，∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96，∴EN≈1.72．∴MN=2EN=2×1.72=3.44米＞3米．∴此貨船能順利通過這座拱橋．體會(huì).分享說出你這節(jié)