醫(yī)用物理學(xué)陳仲本第五章課后習(xí)題答案

./第五章靜電場(chǎng)通過復(fù)習(xí)后,應(yīng)該:1.掌握電場(chǎng)強(qiáng)度、場(chǎng)強(qiáng)疊加原理、電勢(shì)和電勢(shì)差、場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系、電勢(shì)疊加原理、電偶極子的電勢(shì);2.理解電場(chǎng)線和電通量、高斯定理及其應(yīng)用、有導(dǎo)體存在時(shí)靜電場(chǎng)的計(jì)算、電介質(zhì)極化、能斯特方程、電容器、靜電場(chǎng)的能量;3.了解電偶層的電勢(shì)、細(xì)胞膜靜息電位、心電圖和心向量圖的電學(xué)原理。5-1點(diǎn)電荷q和4q相距l(xiāng),試問在什么地方放置什么樣的電荷,可使這三個(gè)電荷達(dá)到受力平衡?解：已知兩個(gè)同號(hào)點(diǎn)電荷q與4q相距l(xiāng),在它們之間的連線上某處放置一個(gè)異號(hào)電荷,當(dāng)它們滿足一定的條件時(shí),即可達(dá)到力的平衡。設(shè)這個(gè)異號(hào)電荷的電量為mq,與q相距x,如本題附圖所示。根據(jù)庫侖定律,分析力的平衡條件,電荷mq分別與q、4q的引力相等,即xl－xl－x＋q＋4qmq電荷q受4q的斥力和mq的引力相等,即習(xí)題5-1附圖<b>解〔a式得x=l/3,將其代入〔b式可得m=4/9。從上面的計(jì)算結(jié)果可知,在q與4q之間,與電荷q相距l(xiāng)/3處,放置一個(gè)4/9q的異號(hào)電荷,可使三個(gè)電荷達(dá)到受力平衡。5-2兩個(gè)點(diǎn)電荷分別帶有+10C和+40C的電量,相距40cm,求場(chǎng)強(qiáng)為零的點(diǎn)的位置及該點(diǎn)處的電勢(shì)。r1r2＋q1PE2E1＋q2解:①求場(chǎng)強(qiáng)為零的位置:只有在兩電荷的連線中的某點(diǎn)P,才能使該處場(chǎng)強(qiáng)為零,即q1、q2在該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E1、E2r1r2＋q1PE2E1＋q2由上式可得習(xí)題5-2附圖又因r1+r2=40cm,由此可得r1=40/3cm=40/3×10-2m；r2=80/3cm=80/3×10②求電勢(shì):設(shè)q1、q2在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)分別為U1、U2,P點(diǎn)電勢(shì)U為U1、U2之和,即5-3兩等值異號(hào)點(diǎn)電荷相距2.0m,q1=8.0×10-6C,q2=-8.0×10-6解:①求電勢(shì)為零的位置:設(shè)q1、q2連線上P點(diǎn)處電勢(shì)為零,該點(diǎn)電勢(shì)為q1、q2分別產(chǎn)生的電勢(shì)U1、U2之代數(shù)和,由點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)得－q2－q2r1r2＋q1PE2E1又r1+r2=2.0m,則r1=r2=1.0m,即電勢(shì)為零的位置處于兩點(diǎn)電荷連線的中點(diǎn)。②求場(chǎng)強(qiáng):設(shè)q1、q2在P處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為E1、E2,它們的方向一致,故P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為E1和E2的大小之和,方向由P指向q2YXE1E2EYXE1E2E3rrr－Q＋Q30°a＋QYXYXE1E2E3rrr＋Q＋Q30°a解:根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的疊加原理,可分別求出三個(gè)點(diǎn)電荷在重心的場(chǎng)強(qiáng),再求出它們的矢量和。電勢(shì)為標(biāo)量,只需求出它們的代數(shù)和。①當(dāng)三個(gè)都為正電荷時(shí),按附圖〔a取坐標(biāo),坐標(biāo)原點(diǎn)O為三角形的重心,已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,則其重心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離r可由三角函數(shù)求出由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式可得,三個(gè)點(diǎn)電荷在重心O的場(chǎng)強(qiáng)相等,即〔a方向如附圖所示。設(shè)重心處的場(chǎng)強(qiáng)E在Y方向和X方向的分量分別為Ey和Ex,則由附圖〔a可得Ey=E2cos60°+E3cos60°－E1=?E2+?E3－E1=0Ex=E2sin60°－E3sin60°=0〔因?yàn)镋2=E3故重心處的合場(chǎng)強(qiáng)E=0。由點(diǎn)電荷的電勢(shì)公式和可得根據(jù)電勢(shì)疊加原理,重心處的電勢(shì)U為②當(dāng)兩個(gè)頂點(diǎn)帶正電荷,一個(gè)頂點(diǎn)帶負(fù)電荷時(shí),按本題附圖〔b取坐標(biāo)。參考前面的〔a式,由點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度公式可得方向如附圖〔b所示。設(shè)重心處的場(chǎng)強(qiáng)E在Y方向和X方向的分量分別為Ey和Ex,則由附圖〔b可得Ey=E1+E2cos60°+E3cos60°=E1+?E2+?E3=2E1=Ex=E2sin60°－E3sin60°=0〔因?yàn)镋2=E3故重心處的場(chǎng)強(qiáng)E的大小為其方向垂直向上。由點(diǎn)電荷電勢(shì)公式可得三個(gè)點(diǎn)電荷在重心的電勢(shì)分別為,根據(jù)電勢(shì)疊加原理,重心處的電勢(shì)為5-5均勻帶電直線長(zhǎng)2a,其線電荷密度為λ,求在帶電直線垂直平分線上,且與帶電直線相距為a的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)。解:①求場(chǎng)強(qiáng)：以帶電直線為坐標(biāo)軸,取直線中點(diǎn)為原點(diǎn)O,在直線上距O點(diǎn)x處取一線元dx,如本題附圖所示,其電量dq=λdx,此電荷元在所求點(diǎn)P處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為〔a其方向沿dq與P點(diǎn)連線〔圖中為λ>0時(shí)的情況,若λ<0,則反向,與X軸線夾角為θ。XraPO－aaXraPO－aaλdxdE∥dEdE⊥θθ〔b由附圖可知,,將〔a式和sinθ的表達(dá)式代入〔b式得E的大小為習(xí)題5-5附圖其方向垂直向上。②求電勢(shì):由點(diǎn)電荷電勢(shì)公式可得,dq在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)dU為將上式積分可得P點(diǎn)電勢(shì)dldUXxrPOR5-6dldUXxrPOR解：本題先求電勢(shì),然后利用場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的關(guān)系計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)。①求電勢(shì)：參考本題附圖,設(shè)圓環(huán)總量為q,半徑為R,由于電荷是均勻分布,故其線電荷密度η=q/2πR。在圓環(huán)上取一線元dl,其電量為〔a習(xí)題5-6附圖設(shè)P點(diǎn)離環(huán)心O的距離為x,則由附圖知,,電荷元dq在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)dU為〔b將上式積分,可得P點(diǎn)的電勢(shì)為〔c已知R=5cm=0.05m,q=5.0×10-9C,x=5cm=0.05m②求場(chǎng)強(qiáng):根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系E=－dU/dn,對(duì)〔c式求關(guān)于x的導(dǎo)數(shù),則場(chǎng)強(qiáng)E的大小為方向沿X軸正方向。dE∥互相抵消,而垂直于X軸的分量dE⊥互相增強(qiáng),因此5-7均勻帶電的半圓弧,半徑為R,帶有正電荷q,求圓心處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)。解:①求場(chǎng)強(qiáng)：在環(huán)上取一線元dl,帶電量dq=qπRdl,電荷元在圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為方向如附圖所示,與OX軸夾角為θ,dl=Rdθ。由于對(duì)稱性,dE∥互相抵消,dE⊥相互增強(qiáng),于是有dE∥dEdE⊥RLdldE∥dEdE⊥RLdlθOX其方向垂直向下。②求電勢(shì):電荷元dq在圓心產(chǎn)生的電勢(shì)dU為習(xí)題5-7附圖將上式積分即得圓心處的電勢(shì)5-8長(zhǎng)度為L(zhǎng)的直線段上均勻分布有正電荷,電荷線密度為λ,求該直線的延長(zhǎng)線上,且與線段較近一端的距離為d處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)。dllrdPOLX解:①求場(chǎng)強(qiáng):在直線段l處取一線元ddllrdPOLX將上式積分,即得P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小為習(xí)題5-8附圖方向沿X軸正方向。②求電勢(shì):由點(diǎn)電荷電勢(shì)公式可知,電荷dq在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)dU為將上式積分,即得P點(diǎn)的電勢(shì)U為5-9兩個(gè)無限長(zhǎng)同軸柱面,圓柱面半徑為R1,每單位長(zhǎng)度帶的電荷為+λ,外圓柱半徑為R2,每單位長(zhǎng)度帶的電荷為-λ,求兩圓柱面之間的空間中各處的場(chǎng)強(qiáng)。R2rR1S1S2S3解:電荷均勻地分布在兩無限長(zhǎng)同軸圓柱面上,電場(chǎng)的分布具有對(duì)稱性,即距軸心等距的各點(diǎn)大小相等,方向沿半徑方向〔軸向分布欲求兩圓柱面之間的空間中任意點(diǎn)〔設(shè)距軸心為r的場(chǎng)強(qiáng)E,選取半徑為r,單位長(zhǎng)度的同軸圓柱面S1與兩底面S2、S3構(gòu)成的閉合柱形高斯面S。其中S2、S3處場(chǎng)強(qiáng)方向與法線垂直,cos90°=0,通過SR2rR1S1S2S3由題意可知,在單位長(zhǎng)度高斯圓柱面的電量為+λ,故由高斯定理得E·2πr=λ/ε0解出E即得〔R1<r<R2習(xí)題5-9附圖5-10在勻強(qiáng)電場(chǎng)E中作一球面,球心為O,半徑為R。①求通過整個(gè)球面的電通量;②過球心,沿垂直電場(chǎng)方向?qū)⑶蛎嬉环譃槎?求通過半個(gè)球面的電通量［圖中〔a］；③沿著與電場(chǎng)方向呈θ角的方向把球面一分為二,求通過半個(gè)球面的電通量［圖中〔b］。ORROθ<a><b>ORROθ<a><b>E②從圖〔a中可以看出,沿垂直電場(chǎng)方向?qū)⑶蛎嬉环譃槎?其橫截面積為πR2,通過半個(gè)球面的電通量就等于通過該橫截面的電通量,其數(shù)值Φe為習(xí)題5-10附圖=EπR2③與〔2類似,在〔b圖過半個(gè)球面的電通量,就等于通過其橫截面在場(chǎng)強(qiáng)方向上的投影面積πR2sinθ的電通量,其大小為Φe=∫Ecos<900-θ>dS=∫EsinθdS=EπR2sinθ5-11在一橡皮球表面均勻分布著正電荷q,在橡皮球被吹大的過程中,A點(diǎn)始終在球面,B點(diǎn)始終在球外,問A,B點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)將如何變化?答:設(shè)橡皮球的半徑為R,由教材中高斯定理的應(yīng)用舉例可知,這一帶電的橡皮球其電場(chǎng)的分布為即球面、外的場(chǎng)強(qiáng)與橡皮球的半徑R無關(guān),故A、B兩點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不變。根據(jù)電勢(shì)的定義可得即UA隨橡皮球R的增加而降低,UB則因它距球心的距離不變而沒有發(fā)生變化。OrR2RR1S1S25-12兩個(gè)均勻帶電的同心球面,球面半徑為R1,外球面半徑為R2,外球面的面電荷密度為σ2,且外球面外各處的場(chǎng)強(qiáng)為零,求：①OrR2RR1S1S2解:①從球心O以半徑r〔>R2作一球形高斯面S1〔外虛線,該高斯面上各處場(chǎng)強(qiáng)為零.通過S1面的電通量由高斯定理可知,兩球面帶異號(hào)電荷,且q1=q2,即：σ1·4πR12=σ2·4πR22,由此可解出球面上的電荷密度σ1為習(xí)題5-12附圖②從球心O以半徑R作一球形高斯面S2〔見附圖,虛線,由于電荷均勻分布,球面帶電體具有球?qū)ΨQ性,電場(chǎng)的分布也應(yīng)有對(duì)稱性,在高斯面S2上各處的場(chǎng)強(qiáng)大小相等,方向均沿半徑方向,即θ=0〔此為球面帶正電情況,若帶負(fù)電,θ=180°,請(qǐng)讀者自行討論。設(shè)S2上場(chǎng)強(qiáng)大小為E,根據(jù)高斯定理有E·4πR2=q1/ε0③因球面沒有電荷,由高斯定理可知,E=0。5-13電場(chǎng)強(qiáng)度E與電勢(shì)U之間有何關(guān)系?電場(chǎng)中,若某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為0,該點(diǎn)電勢(shì)是否一定為0?反之,某點(diǎn)電勢(shì)為0。該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是否一定為0?若空間中各點(diǎn)電勢(shì)為一常數(shù),場(chǎng)強(qiáng)一定為0嗎?為什么?答:電場(chǎng)強(qiáng)度E與電勢(shì)U是從不同角度來描述電場(chǎng)性質(zhì)的兩個(gè)重要物理量,電場(chǎng)強(qiáng)度E描述了電場(chǎng)力的特性,而電勢(shì)U則描述了電場(chǎng)能的特性,它們之間的積分關(guān)系為,微分關(guān)系。從它們的關(guān)系式可以看出,某點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為0,該點(diǎn)電勢(shì)不一定為0,例如,半徑為R的帶電球殼,部的場(chǎng)強(qiáng)為0,而電勢(shì)等于kQ/R。某點(diǎn)的電勢(shì)為0,但該處的dU不一定為0,因此該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)不一定為0,例如電偶極子的中垂面上,各點(diǎn)的電勢(shì)等于0,但場(chǎng)強(qiáng)不等于0。若空間各點(diǎn)電勢(shì)為一常數(shù),dU=0,則場(chǎng)強(qiáng)一定為0。5-14電量為q=+1.0×10-8C的點(diǎn)電荷,從電場(chǎng)中的a點(diǎn)移到b點(diǎn),電場(chǎng)力作的功為3×10-6J,求:①a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)差是多少?②解:已知q=+1.0×10-8C,Wab=3×10-6J,由電勢(shì)差公式Ua－Ub=Wab/qUa－Ub=Wab/q=3×10-6/1.0×10-8V=3×102V因?yàn)檎姾蓮腶移到b是電場(chǎng)力作功,所以Ua>Ub。5-15什么是電偶極子?電偶極子電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電勢(shì)與哪些因素有關(guān)?指出電勢(shì)大于零、等于零、小于零的區(qū)域?答:兩個(gè)相距很近的等量異號(hào)電荷+q和－q所組成的帶電系統(tǒng)叫電偶極子。電偶極子電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電勢(shì)與電偶極子的電矩P成正比,與該點(diǎn)到電偶極子的距離r平方成反比,且與方位角θ有關(guān),即。電偶極子中垂面上各點(diǎn)的電勢(shì)為零,在中垂面+q一側(cè)空間各點(diǎn)的電勢(shì)為正,－q一側(cè)空間各點(diǎn)的電勢(shì)為負(fù)。5-16兩個(gè)等量異號(hào)的點(diǎn)電荷,其電量均為10-9C,相距0.01mm解:已知Q=1.0×10-9C,l=0.01mm=1.0×10-5P=q·l=1.0×10-9×1.0×10-5C·m=1.0×10-14C其方向由負(fù)電荷指向正電荷。y<m>x<m>OC<0,1>A<1,0>B<1,2>D<-1,2>5-17y<m>x<m>OC<0,1>A<1,0>B<1,2>D<-1,2>解:已知原點(diǎn)O處的電偶極子的電矩P=1.0×10-6C·A點(diǎn)：θ=90°,r=1m；B點(diǎn)：cosθ=2/,r=m；C點(diǎn)：θ=0°,r=1m；D點(diǎn)：cosθ=2/,r=m。根據(jù)電偶極子的電勢(shì),A、B、C、D各點(diǎn)的電勢(shì)分別為：習(xí)題5-17附圖5-18在邊長(zhǎng)為a的等邊三角形重心處,有一垂直指向底邊的電偶極子P,求：①三角形各頂點(diǎn)的電勢(shì);②三角形各邊中點(diǎn)的電勢(shì)。解:①已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,則由附圖可計(jì)算出重心到三個(gè)的頂點(diǎn)的距離r為又知電偶極子指向等邊三角形的底邊,如附圖所示。根據(jù)電偶極子電勢(shì)公式,可得各頂點(diǎn)的電勢(shì)。對(duì)于頂點(diǎn)A,θ=180°,則對(duì)于頂點(diǎn)B,方位角θ=－60°,頂點(diǎn)C,θ=60°,則B、C的電勢(shì)分別為EDEDrrABCU3′U1U2U3U1′U2′FPr②由附圖可知,重心到各邊中心的距離d為由此可進(jìn)一步計(jì)算各邊中點(diǎn)的電勢(shì),其中底邊中點(diǎn)D,習(xí)題5-18附圖θ=0°,其電勢(shì)為對(duì)于左邊中點(diǎn)E,方位角θ=－120°,右邊中點(diǎn)F,θ=120°,則這兩點(diǎn)的電勢(shì)分別為,如果電偶極子P的方向水平向右,結(jié)果又是怎樣?讀者自己計(jì)算。5-19電偶極子的電量q=3×10-7C,軸線l=0.02mm,求：①電偶極子中垂線上距軸線中點(diǎn)30cm的P點(diǎn)的電勢(shì)；②若P點(diǎn)在電偶極子電矩指向的延長(zhǎng)線上時(shí),其電勢(shì)又是多少?〔設(shè)這時(shí)P點(diǎn)離軸線中點(diǎn)的距離仍為30cm解:已知q=3×10-7C,l=2×10-5P=q·l=3×10-7×2×10-5C·m=6×10-12C①因?yàn)镻點(diǎn)在垂直于電偶極子軸線的中垂線上,其方向角θ=90°,由電偶極子電勢(shì)公式可知,P點(diǎn)的電勢(shì)U=0〔因?yàn)閏os90°=0。②若P點(diǎn)位于電矩指向的延長(zhǎng)線上,離軸線中心30cm,則θ=00,r=30cm=0.3m,代入電偶極子電勢(shì)公式〔常數(shù)k=9×109N·m2·C-2,可得這時(shí)P點(diǎn)的電勢(shì)為5-20一曲率半徑為10cm的球殼狀電偶層,帶電量q=3×10-7C,層間距為1mm,面積30cm2解:已知r=10cm=0.1m,q=3×10-7C,δ=1mm=10-3m,S=30cm2=3×10-3m2。由層矩的定義得PS=σδ=<qδ>/S,由立體角公式得5-21均勻帶電球殼半徑6cm,外半徑10cm,電荷體密度為2×10-5C·m-3求距球心5cm,8cm,12解:高斯定理,當(dāng)時(shí),,時(shí),∴,方向沿半徑向外。cm時(shí),∴沿半徑向外。5-22半徑為R1和R2<R2＞R1>的兩無限長(zhǎng)同軸圓柱面,單位長(zhǎng)度上分別帶有電量λ和-λ,試求：<1>r＜R1；<2>R1＜＜R2；<3>r＞R2處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解:高斯定理,取同軸圓柱形高斯面,側(cè)面積,則<1>,<2>,,∴,沿徑向向外。<3>,,∴5-23兩個(gè)無限大的平行平面勻帶電,電荷的面密度分別為σ1和σ2,試求空間各處場(chǎng)強(qiáng)。解:兩帶電平面均勻帶電,電荷面密度分別為σ1和σ2,規(guī)定垂直于兩平面由面指向面的方向?yàn)?則兩面間,；面外,；面外,5-24一塊電介質(zhì)在電場(chǎng)中極化后,沿著與電場(chǎng)垂直的方向?qū)⑺貫閮砂?再撤去外電場(chǎng),這兩塊電介質(zhì)是否帶電?如果把電介質(zhì)換成導(dǎo)體,情況又如何?答:兩塊電介質(zhì)均不帶電。因?yàn)殡娊橘|(zhì)極化產(chǎn)生的電荷不能離開介質(zhì),也不能在電介質(zhì)部自由移動(dòng),處于束縛狀態(tài),無論是取向極化還是位移極化,當(dāng)外電場(chǎng)撤消后,極化現(xiàn)象也隨之消失,由于分子的熱運(yùn)動(dòng),電介質(zhì)對(duì)外不顯電性。若換成導(dǎo)體放入電場(chǎng)中,導(dǎo)體中的自由電子將在電場(chǎng)力作用下逆著外電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng),導(dǎo)體一端因自由電子的積聚出現(xiàn)負(fù)電荷,另一端因自由電子的缺失顯現(xiàn)正電荷,分開后,一塊導(dǎo)體帶正電,另一塊帶負(fù)電。5-25設(shè)在外電場(chǎng)的作用下電介質(zhì)的某處場(chǎng)強(qiáng)為0.15×107N·C-1,電介質(zhì)的介電常數(shù)為10-10C2·N-1·m-2解:設(shè)外電場(chǎng)〔即無電介質(zhì)時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)為E0,放入電介質(zhì)后,電介質(zhì)部的總場(chǎng)強(qiáng)E是外電場(chǎng)與極化電場(chǎng)之和。由E=E0/εr和ε=ε0εr可得E0=Eε/ε0已知：E=0.15×107N·C-1,ε=10-10C2·N-1·m-2,ε0=8.8542×10-12C2·N-1·m5-26平行板電容器的極板面積為S,間距為d,將電容器充電后,注入相對(duì)介電常數(shù)為εr的電介質(zhì),問以下兩種情況時(shí),注入電介質(zhì)前后電容器所帶電荷Q,場(chǎng)強(qiáng)E,兩板間電壓U,電容C和電場(chǎng)能量密度we有何變化?〔1注入電介質(zhì)時(shí)電容器仍在電源上；〔2注入電介質(zhì)時(shí)電容器已與電源斷開。答:①注入電介質(zhì)時(shí)電容器在電源上,這時(shí)兩極板之間的電勢(shì)差U不變,即注入電介質(zhì)前的電勢(shì)差U前等于注入電介質(zhì)后的電勢(shì)差U后〔U前=U后。根據(jù)電容器的電容的定義式C=εSd可知C前=ε0S/d,C后=εS/d=ε0εrS/d=εrC前而Q=CU,Q后=C后U后=εrC前U前=εrQ前,由E=U/d可得E后=U后/d=U前/d=E前由能量密度公式w=εE2/2得w后=ε0εrE2后/2=εr〔ε0E2后/2=εrw前其中w前=ε0E2后/2。②注入電介質(zhì)時(shí)電容器已與電源斷開,這時(shí)Q前=Q后,即電容器所帶電量不變,而C后=εS/d=ε0εrS/d=εrC前,由U=Q/C可得U后=Q后/C后=Q后/<εrC前>=Q前/εrC前=U前/εr根據(jù)E=U/d可得E后=U后/d=U前/εrd=E前/εr由能量密度公式w=εE2/2得,w后=ε0εrE2后/2=ε0εr<E前/εr>2/2=<ε0E前/2>2/εr=w前/εr5-27真空中一半徑為R,電荷為Q的導(dǎo)體球,求其電場(chǎng)的總能量。解:根據(jù)靜電平衡條件,可知電荷Q一定均勻地分布在導(dǎo)體球的表面上。根據(jù)高斯定理可求得均勻帶電球面的場(chǎng)強(qiáng)分布為由能量密度公式w=εE2/2可知,在球因E=0,故球電場(chǎng)的能量為零。由上式和能量密度公式可得,球外電場(chǎng)的能量密度為取一個(gè)與球同心的球殼,其半徑為r,厚度為dr,則它的體積為dV=4πr2dr,體積元dV的電場(chǎng)能量dW=wdV=q2dr/<8πε0r2>,所以其電場(chǎng)的總能量為5-28在溫度為37℃時(shí),帶一個(gè)正電荷的某離子在細(xì)胞膜外的濃度分別為10mol·m-3和160mol·m-3解:已知t=37℃,Z=+1,Ci=10mol·m-3,Co=160mol·m-3膜電位高于膜外電位。5-29在某一細(xì)胞中,Cl－在37℃時(shí)的平衡電位為－80mV,如果在細(xì)胞外Cl－濃度為110mol·m-3解:t=37℃,Z=－1,C0=110mol·m-3,Ui=－解之得,Ci=5.5mol·m-3,即細(xì)胞膜Cl－的濃度。5-30簡(jiǎn)述心電信號(hào)的產(chǎn)生過程。答:當(dāng)心肌細(xì)胞處于靜息狀態(tài)時(shí),在其膜的、外側(cè)分別均勻地分布有等量的正、負(fù)離子,形成一閉合曲面的電偶層,對(duì)外不顯電性,這種狀態(tài)叫極化。當(dāng)心肌細(xì)胞興奮時(shí),由于細(xì)胞對(duì)各種離子的通透性發(fā)生了變化,使得在興奮處膜外的正電和膜負(fù)電逐漸消失,接著,反過來膜帶正電,而膜外帶負(fù)電,這個(gè)過程稱為除極,在除極過程中由于電荷不再均勻分布,整個(gè)心肌細(xì)胞等效為一個(gè)電偶極子,其電矩方向與除極的傳播方向相同。除極是一個(gè)極其短暫的過程,然后細(xì)胞又恢復(fù)到原來負(fù)外正的帶電狀態(tài),這個(gè)過程稱為復(fù)極。此時(shí)細(xì)胞同樣相當(dāng)于一個(gè)電偶極子,只是電矩方向與除極時(shí)相反。復(fù)極結(jié)束后細(xì)胞恢復(fù)到極化狀態(tài)。可見,心肌細(xì)胞的除極和復(fù)極過程中,細(xì)胞相當(dāng)于一個(gè)電矩變化的電偶極子,在周圍空間引起電勢(shì)的變化,這就是心電信號(hào)的產(chǎn)生過程。5-31心電圖與心向量圖有什么樣的關(guān)系?答:某一導(dǎo)聯(lián)得到的心電圖是心向量圖在該導(dǎo)聯(lián)軸上的投影,實(shí)際上是空間心電向量環(huán)經(jīng)過二次投影形成的。其過程是：首先空間心電向量環(huán)在三個(gè)互相垂直的平面上,即額面、水平