實(shí)數(shù)與向量的積

§5.3實(shí)數(shù)與向量的積(第一課時(shí))由上圖可知：記作記作從上圖中我們可以直觀的看出：（1）與方向____________，且（2）與方向____________，且如圖，已知非零向量。求作向量及相反相同

一般地，實(shí)數(shù)與向量的積仍然是一個(gè)向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：

2）方向：

①當(dāng)時(shí)，與的方向_____②當(dāng)時(shí)，與的方向_____

③當(dāng)時(shí)，（可為任意方向）一）實(shí)數(shù)與向量的積的定義1）長度：

思考題：在實(shí)數(shù)與向量的積中，實(shí)數(shù)起的作用是什么？答：1）的絕對值決定著與向量的長度之間的倍數(shù)關(guān)系

2）的符號(hào)決定著與向量是同向還是反向（若，的方向是任意的）相同相反提示

1）這個(gè)運(yùn)算律與代數(shù)運(yùn)算中實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相似，只是以上兩個(gè)分配律中，由于乘積因子不同，可分為第一分配律、第二分配律

2）我們可以應(yīng)用這個(gè)運(yùn)算律，對向量代數(shù)式進(jìn)行化簡,如：例題1二）實(shí)數(shù)與向量的積滿足的運(yùn)算律

設(shè)、是實(shí)數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，那么有m（第二分配律）3）1）（結(jié)合律）2）（第一分配律）典例精析與規(guī)律、方法、技巧總結(jié)

題型一關(guān)于實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算

例1計(jì)算：1）

2）解：1）原式【點(diǎn)評(píng)】實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則類似于整式的加減法運(yùn)算法則

化簡向量代數(shù)式就像是計(jì)算多項(xiàng)式一樣去“合并同類項(xiàng)”2）原式

對于向量、，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知，與共線。定理

向量與非零向量共線的充要條件是有且只

有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得

已知向量與共線。②當(dāng)與反方向時(shí)，有那么①當(dāng)與同方向時(shí)，有設(shè)向量的長度是向量的長度的倍，即三）向量共線的充要條件（也叫向量共線定理）充分性:必要性：提示：（1）要證明向量、共線，只須證明存在實(shí)數(shù)使得即可（2）如果，則實(shí)數(shù)仍然存在，但不唯一，它可以是任意實(shí)數(shù)（3）應(yīng)用此定理，可以證明三點(diǎn)共線、兩直線平行的問題注意：向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況。典例精析與規(guī)律、方法、技巧總結(jié)題型二有關(guān)向量共線問題

例2

已知兩個(gè)非零向量和不共線，且，。求證：Ａ、Ｂ、Ｄ三點(diǎn)共線分析：要證Ａ、Ｂ、Ｄ三點(diǎn)共線，只須證與共線，也就是需要求證所以，向量和共線例2

已知兩個(gè)非零向量和不共線,且，。求證：

A、B、D三點(diǎn)共線證明又和有共同的起點(diǎn)A

A、B、D三點(diǎn)共線另外，本題也可以先計(jì)算然后與相比較例３已知非零向量和不共線，要使和共線。試確定實(shí)數(shù)的值。分析：若與共線，則一定存在，使得所以只能有解：與共線由于與不共線即存在實(shí)數(shù)使小結(jié)：以上兩個(gè)例題分別從正反兩個(gè)方面運(yùn)用了向量共線的充要條件：與共線存在使知識(shí)結(jié)構(gòu)圖實(shí)數(shù)與向量的積

定義：1)大??；2)方向運(yùn)算律（3條）向量共線充要條件1．掌握好實(shí)數(shù)與向量的積這一運(yùn)算的關(guān)鍵在于明確這一運(yùn)算的結(jié)果仍然是向量，要按大小和方向兩個(gè)要素去理解及應(yīng)用。

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