2023屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)階段過關(guān)測評卷(二)·B卷（含答案）

階段綜合檢測（二）?B卷

滿分150分，用時120分鐘

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知函數(shù)段0=爐一/（1）/+2,則/2）=（）

A.—2B.與

C.6D.14

2.曲線）-2sin（女）在點（1,一1）處的切線方程為（）

A.x-y=0B.ex—y—e+1=0

C.ex—y—e-1=0D.%—y—2=0

3.函數(shù)於）=。-2）?的最小值為（）

A.-2B.—e

C.-1D.0

4.若函數(shù)式x）=9-f^+x+l在區(qū)間（｝，3）內(nèi)有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是

（）

A.（2,習(xí)B.2）

C.（2,y）D.2,y）

5.下列只有一個是函數(shù)Kr）=g爐+混+5?一］）x+l（a#0）的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則人一1）

=（）

6.若函數(shù)八乃:5彳+以2-2在區(qū)間（；，2）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍

>(

,8B

A.(-21

C.(-2,-|JD.(-2,+8)

7.若不等式lnxWor+〃恒成立，則2a+b的最小值為()

A.2B.3

C.In2D.5

Inx

8.定義在（一8,0）U（0,+8）上的函數(shù)於）滿足式—x）=/（x）,且x>0時，兀0=一1.

若關(guān)于x的方程處0="有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）

A.（-8,U（0）1）

B.（T0）u（o.I）

C.（_8,_￡）u（0,g

D.F,0）口（0,.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知過點43,0）作曲線C：>=看的切線有且僅有兩條，則實數(shù)。的值可以是（）

A.-2B.4

C.0D.6

10.已知函數(shù)），=式處的導(dǎo)函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.加）勺（勿勺（c）

B.火e）勺⑷勺（。）

C.x=c時，人幻取得最大值

D.x=d時，式x）取得最小值

11.已知函數(shù)兀v）是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，當(dāng)心>0時，<x）=xlnx,則下列說法正

確的是（）

A.兀v）在區(qū)間（一3上單調(diào)遞減

B.兀v）在區(qū)間1）上單調(diào)遞增

C.當(dāng)一彳時，函數(shù)y=_/（x）一〃有兩個不同零點

D.?r）有兩個極值點

12.己知〃>0,b>0ea+lnb>a+b,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.a>hB.ea>h

C.ea+b>2D.a+\nb>0

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫出一個存在極值的奇函數(shù)yu）=.

14.若對任意的+8）,且乃分,"也：<2,則，"的最小值是

15.已知於）=|ln（x+n）|+ex的最小值為l（e是自然對數(shù)的底數(shù)），則“=.

16.定義方程_/U）=Ax）的實數(shù)根網(wǎng)叫做函數(shù)式x）的“新駐點”.

(1)設(shè)段)=COSJG則於)在(0,兀)上的“新駐點”為；

(2)如果函數(shù)g(x)=e*—x與/7(x)=ln(x+1)的“新駐點”分別為a、仇那么a和萬的大

小關(guān)系是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知函數(shù)於)=》-1+既(aGR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴若曲線)，=%)在點(1,川))處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)求函數(shù)兀0的極值.

18.(12分)已知函數(shù)式x)=xlnx.

(1)求函數(shù)兀0的圖象在點(1,0)處的切線方程;

(2)求函數(shù)7(x)在區(qū)間上，/+：。＞0)的最小值.

19.(12分)設(shè)函數(shù)?x)=/—(a+2)x+aInx(“GR).

(1)若x=3是的極值點，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若山)21恒成立，求a的取值范圍.

20.(12分)為了更直觀地讓學(xué)生認(rèn)識棱錐的幾何特征，某教師計劃制作一個正四棱錐教

學(xué)模型.現(xiàn)有一個無蓋的長方體硬紙盒，其底面是邊長為20cm的正方形，高為10cm,將

其側(cè)棱剪開，得到展開圖，如圖所示.

Pi，Pi，R，巴分別是所在邊的中點，剪去陰影部分，再沿虛線折起，使得Pi,Pi，

P3,P4四個點重合于點P，正好形成一個正四棱錐尸-ABC。，如圖所示，設(shè)AB=x(單位：cm).

(1)若x=10,求正四棱錐P-ABC。的表面積；

(2)當(dāng)x取何值時，正四棱錐P-ABCD的體積最大.

21.(12分)已知函數(shù)式x)=e*—ar有兩個零點xi，X2(xi<x2).

(1)求實數(shù)”的取值范圍；

2

(2)證明：X2-xi<——2.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=xe*—以2—2辦.

⑴當(dāng)〃=1時，求人》)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若兀v)有且僅有一個零點，求a的取值范圍.

參考答案與解析

1.c解析：［(x)=3f—4(1此則八1)=3一"⑴句"(1)=1,

則段)=必一片+2,人2)=23—22+2=6.

2.D解析：因為)，=0門-2sin(女),所以y=e*—i—兀cos(京),當(dāng)x=l時，了=1,

所以曲線)】=0廠|-2sin&:)在點(1,—1)處的切線的斜率攵=1,所以所求切線方程為y+1

=x—1,即x一廠2=0.

3.B解析：/(x)=eA+(x-2)eA=(^-l)ex,

令/(x)=0,解得x=L

所以y(x)在(―8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故人幻的最小值為次1)=一

4.C解析：若/U)=5—g『+工+1在區(qū)間(；，3)內(nèi)有極值點，

則/(x)=/-ax+l在區(qū)間(；，3)內(nèi)有零點，且零點不是/。)的圖象頂點的橫坐標(biāo).

由x2—ar+l=0,得a=x+；.因為xG(；,3),y=x+：的值域是2,芋),

當(dāng)〃=2時，/(X)=/-2X+1=(X-1)2,不合題意.

所以實數(shù)”的取值范圍是(2,與).

5.A解析：由題意，函數(shù)/(x)=；/+如2+(02—］)x+i(qWO),

可得了(x)=f+2ov+(.2—1),則/=44(a2-i)=4>0,開口向上，

故導(dǎo)函數(shù)圖象開口向上，與x軸有2個交點，且對稱軸是x=-a,結(jié)合選項(3)符合,

又由7(0)=q2—1=0且—@>0得〃=—1,故4一］)=一寺—1+1=—1.

6.D解析：因為函數(shù)./(/=皿了+加一？在區(qū)間七，2)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,

所以/(x)=1+2ax>0在區(qū)間2)上有解,

即2a>(一4在區(qū)間0,2)上有解，

XQmin/

又函數(shù)),=犬2在2)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=一5在2)上單調(diào)遞增,

時y=一!最小，且=-4,

故當(dāng)x=

即2a>—4,得a>~2.

7.C解析：由InxWav+b恒成立，得ax—Inx+Z>20,

設(shè)7(x)=ax—lnx+6,f(x)=a—--,

當(dāng)aWO時，/。)<0,兀t)在(0,+8)上單調(diào)遞減，不成立;

當(dāng)a>0時，令/(x)=0,解得x=!,

故函數(shù)段)在(o,￡)上單調(diào)遞減，在&+8)上單調(diào)遞增，

故7(x)亮d20,即—In+/??0,b^—lna—1,2a+b>2a~~ln“一1,

設(shè)g(x)=2r—lnx—1,g'(x)=2一5，

令g，(x)=0,x=

故g(x)在(0,I)上單調(diào)遞減，在Q,+8)上單調(diào)遞增，

故g(x)》g(￡)=2x1-In(g)—l=ln2,

即2a+gIn2.

8.D解析：

,,A1-Inx

當(dāng)x>0時，令/(x)=-藍(lán)-=0,r則tlx=e.

即x￡(0,e)時，小:)單調(diào)遞增.

%e(e,+8)時，式工)單調(diào)遞減.

若關(guān)于％的方程人工)="有三個不相等的實數(shù)根，

如圖，當(dāng)Q0時，設(shè)過點(0,0)作曲線的切線交曲線于點P(xo,

-

L?、e心InAo1Inxo/、

切線萬程為：y一—二一=1(X-xo),

-M)尤0

切線又過點(0,0),則“詈。=—1jnAo,即項=必，

InY

又?.}=(在苫6(0,e)時單調(diào)遞增.

：,x0=y［e,切線的斜率為=，；/?((),,

由對稱性知：氏w(一女，0)U(0,3.

9.AD解析：設(shè)切點為(xo,,則)'"=沏=［：°,所以切線方程為：y—翁=

\CAQ/CA()CAO

［丫"°(x—祀),切線過點A(a,0),代入得：一第=［「(aro),即方程/—ax()+a=0

C-A-QC人0C?vQ

有兩個解，則有/=o2—4a>0=>〃>4或a<0.

10.AB解析：由/(x)圖象可知：當(dāng)xC(-8,c)U(e,+°°)0+,/(x)>0;當(dāng)xW(c,

e)時,/(x)<0;

；.於)在(一8,。)，(%+8)上單調(diào)遞增，在(°,e)上單調(diào)遞減；

對于A,Va<b<c,...式。)4方)寸。)，A正確；

對于B,"：c<d<e,勺⑷勺(c),B正確；

對于C,由單調(diào)性知犬c)為極大值，當(dāng)x>e時，可能存在_/U))Mc),C錯誤；

對于D,由單調(diào)性知/(e)勺(力，D錯誤.

11.AD解析：當(dāng)x>0時，/(x)=l+lnx,令/(x)=0得x=(,

xW(0,§時，f(x)<0,所以危)在區(qū)間(0,§上單調(diào)遞減，

再根據(jù)奇函數(shù)知火x)在區(qū)間(一：，上單調(diào)遞減，故A正確；

因為5<：，所以7U)在區(qū)間單調(diào)遞減，故B錯誤；

因為0=?lne=~e>又式X)為奇函數(shù)，所以=-娟=|>

如圖y=/(x)與y=q有兩個交點，則一!<牛(且。#0,故C錯誤；

函數(shù)/U)的兩個極值點為土：,故D正確.

12.BC解析：對于A選項，取。=2,b=e,則e"+lnb=e?+l>2+e=a+/?,但a>b

不成立，A選項錯誤；

對于B選項，由e"+lnb>a+b可得ea—a>b—\nb,即e"—Inea>b—\nb,

ix—1

構(gòu)造函數(shù),/(x)=x—Inx,其中x>0,/(x)=1—~=^~.

當(dāng)0<x<l時，f(x)<0,此時函數(shù)負(fù)x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>i時，/(X)>o,此時函數(shù)y(x)單調(diào)遞增，

①若621,則函數(shù)於)在［1,+8)上單調(diào)遞增，由e"-lneO>6-lnb可得te")習(xí)(匕)，

且e">l,故e">b;

②若0。<1,則從e".

綜上，ea>b,B選項正確；

先證明對任意的XI、*261t-且為:/:》2,7~―T1-

不妨設(shè)MX2,即證InWJ個+；2)

令片空>1，即證ML有?>0,

2(r—1)14(L1)2

令g⑺=此，-，+廠,則g")=7-(7+rn=1+i)?

故函數(shù)g⑺在(1,+8)上為增函數(shù)，當(dāng)f>l時，g?)>g(l)=O,

所以，對任意的X]、JQ￡R+且x【W(wǎng)x2,「蟲~手一<一:二,

InInX2'

因為efl-Inea>b—\nb,則ea—b>\ne"—Inb,

e"+be"—h

所以，>--r――>1,可得e〃+b>2,C選項正確.

2Ine-In/?

對于D選項，取。=2,，則e"+lnb=e?—3>2+卜=a+bf

但〃+lnb=2-3<0,D選項不正確.

13.sin/(不唯一)解析：由于正弦函數(shù)y(x)=sinx為奇函數(shù)，且存在極值，故符合題

14.-解析：對任意的國、X2^(w,+°°),且用<￥2,<2,易知620,

eX2-X]

Inx\+2InX2+2

則jqln工2也2x],所以，xi(ln%2+2)<X2(lnxi+2),即------->--------

JQ-X]V2JQ-X]X2

InJVI2

令y(x)=一—,則函數(shù)?x)在(〃z,+8)上為減函數(shù),

因為/(x)=一4」，由於)<0,可得心!，

所以函數(shù)_/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為+8),

;十8),所以，,因此，實數(shù)機的最小值為:.

所以，｛m,+0°)￡(J

15.^解析：令I(lǐng)n(x+a)=O,則x=l—a,

fin(x+a)+ex(x2l—a),

.\/(x)=|ln(x+a)|+ex=]、

[—In\rx-ra)+exQ—a<x<l-a),

當(dāng)x》1—a時f(x)=-^i+e>0,

.\/(x)在[1—a,+8)上單增，此時Ax)min=yU—a)=e(l—a)=e—ea,

當(dāng)一a<x<l—a時/(x)=—+e,

/(x)=_￡；+e>O=>x>1-a,

在(一a,g—上單減，在(：一。，I"-")上單增，

此時,/(x)min=./Q-a)=eg—")+1=2一肛

Ve-e?>2—et/,

V2—et?=1,Aa=T.

16.(1)中Q)a>￡解析：(l),?7(x)=cosx,/./(%)=—sinx,

根據(jù)“新駐點”的定義得於)=/(x),即cosx=-sinx,可得tan%=-1,

7x^(0,兀)，解得,所以，函數(shù),/(X)=COSR在(0,兀)上的“新駐點”為華；

x

(2)g(x)=e-xf則gU)=e*—l,根據(jù)“新駐點”的定義得g(a)=g，(a),即a=L

v//u)=in(x+i),則力口)=擊,由“新駐點”的定義得/ia)=〃a),即ma+i)=

]

x+\'

構(gòu)造函數(shù)F(x)=ln(x+1)一不x，則函數(shù)y=F(x)在定義域上為增函數(shù)，

VF(0)=-l<0,F(l)=ln2-1>0,

.：F0)=O,由零點存在定理可知，夕￡(0,1),

?*.a>p.

17.解：⑴因為/(幻=工一1+會,所以/(%)=]一氏,

又因為曲線y=#龍)在點(1,穴1))處的切線平行于工軸，所以/(1)=0,即1—￡=0,所

以a=e;

(2)因為式x)=x-l+菅，所以f(x)=L*,

當(dāng)aWO時，/。)>0,所以式x)在(一8,+8)上單調(diào)遞增，因此大x)無極大值與極小值；

當(dāng)〃>0時，/(x)>0,則x>lna,所以兀0在(比。，+8)上單調(diào)遞增，/任)<0,則x<ln。，

所以火x)在(一8,Ina)上單調(diào)遞減，故y(x)在x=lna處取得極小值，且火Ina)=ln”，但是

無極大值；

綜上：當(dāng)aWO時，犬x)無極大值與極小值；

當(dāng)a>0時，<x)在x=lna處取得極小值In”，但是無極大值.

18.解：(1)..了(》)=111》+1,

.V(l)=ln1+1=1,

的圖象在點(1,0)處的切線方程為y=x-l.

(2求x)的定義域為(0,+°°),

令/(x)=lnx+1=0,得x=1,且f>0,

.-.r+1*.

ee

當(dāng)0</<7,xCt,時，/(x)<0,於)單調(diào)遞減；

CLcz

xHT時,/(x)>o,/)單調(diào)遞增，

=|-in|=-1,

當(dāng)彥;，xet,r+;時，Hx),O,/U)單調(diào)遞增，

CLJ

?\/(X)min=/W=/Int.

f11

故段)min=j]

[flnf,

5,.a(2x-fz)(x-1)

19.解：(l"(x)=2x-(a+2)+最=----------------(x>0),

，(3)=4—半=0,a=6,經(jīng)檢臉符合條件，

2(x—3)(x—1)

/W=-------------------------，

令F(x)>o,有0<%<1或x>3,令/(x)<0,有l(wèi)<r<3,

所以貝x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).

(2)由題意兀

當(dāng)aWO時，令/(x)>0,有x>l,令/(x)<0,有0<x<l,

所以y(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以7(X)min=_A1)=-a—1,

—a~1^1,即aW—2,

當(dāng)a>0時，/(1)=—a—1<0不成立.

綜上，aW—2.

20.解：在正四棱錐尸-ABC。中，連接AC,BD,交于點。，設(shè)BC中點為E,連接PE,

EO,PO.

(l)：A8=10,：.OE=5,PE=\5,二正四棱錐P-ABCQ的表面積為

5A=SABCD+4SAPBC=10X10+4X1X10X15=400,

二正四棱錐P-ABCD的表面積為400cm2.

XX

(2Y：AB=xf???OE=i,PE=20—豆(0<x<20),

.?.PO=q(20-；)-G)=2y[5Xyj20~x(0?=A<20),

.?.正四棱錐P-ABCD的體積為

V(x)=；fX2小Xyj20-xXx\j20-x

Xy/x4(20-x)(0<v<20).

令*x)=x4(20-x)(0<r<20),則★x)=5/(16—x),

當(dāng)0<x<16時，t'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)16<x<20時，〃(x)<0,心)單調(diào)遞減，

Z(X)max=?16),?*.V(X)max=V(16),

???當(dāng)x=16時，正四棱錐P-A8co的體積最大.

21.解：(l—x)的定義域為R,f(x)=ex-a.

①當(dāng)〃W0時，/(x)^eA>0,所以在R上單調(diào)遞增，

故共幻至多有一個零點，不符合題意；

②當(dāng)〃>0時，令/(x)<0,得xvlna;令得x>lna,故/U)在(-8,In〃)上單調(diào)

遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增，所以/(x)min=/Una)=a—aIn〃=a(l—Ina).

⑴若0<〃We,則危)mm=a(l—In〃)20,故危)至多有一個零點,不符合題意;

(ii)若〃>e,則於)min=Q(l——In〃)<0,

由(i)知ev—ex^O,/.e,nw—elna=a—elna^O,

?\a~2\n〃>〃一eln/(21na)=a2^2aIna=a(a~2\n?)>0.

又??"(0)=l>0,0<lntz<21na,故/U)存在兩個零點，分別在(0,Ina),(Ina,2Ina)內(nèi).

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(e,+8).

exi=^i,

(2)證明：法一由題意得：令/=X2—即>0,

e%2=ax?,

兩式相除得e，=e%2—沏=孑=~~^~,變形得工尸/7.

xixiel

…2g?2(e/—1)□、尸+2/+2

欲誼■也一即<工—2,即7正r<■-2,即證《<2.

.戶+2才+2(2f+2)e‘一(?+2，+2)ezr2

記力(。=---—(r>0),h\t)=--------------靛------------=一京<0,故力⑺在(0,

+8)上單調(diào)遞減，

?+2f+22

從而/z(f)<〃(0)=2,即<2,所以及一11<嘉一2得證.

=

exicix\t

法二由題意得：，

tX2=OX2,

ex\=ax\f

由(1)可知xi,&>0,令，=二>1,則也=a1,則J兩式相除得e(Ll)X]=f,

X1[efri=aai,

IntrInt

X|==f'及=1彳'

22(t—1)

欲證n―xi〈大—2,即證In/v----布----2,即證(In/)2+21n/—2/+2<0.

記g⑺=(ln。2+2由/-2f+2(f>l),g")=21n/]+~-2=---------------------,