2020-2021學(xué)年浙江省寧波市江北實驗中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年浙江省寧波市江北實驗中學(xué)九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題4分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．下列事件為必然事件的是（）A．任意畫一個三角形，它的內(nèi)角和為180° B．打開電視機(jī)，正在播放新聞 C．?dāng)S一枚質(zhì)量均勻的硬幣，正面朝上 D．足球運(yùn)動員射門成功2．下列各組線段成比例的是（）A．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝6，d＝8 B．a(chǎn)＝1，b＝3，c＝5，d＝7 C．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5，d＝6 D．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝63．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則∠A的正弦值（）A．?dāng)U大2倍 B．縮小 C．?dāng)U大4倍 D．不變4．已知兩個相似的五邊形的面積比為4：9，如果小五邊形的周長為6cm，則另一個五邊形的周長為（）cm．A．9cm B．12cm C．13.5cm D．18cm5．將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣26．如圖，AB是圓的直徑，則∠C+∠D＝（）A．60° B．120° C．90° D．45°7．設(shè)點A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+a的三點，則對應(yīng)的函數(shù)值y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y38．如圖，在?ABCD中，E為AD的三等分點，AE＝AD，連接BE交AC于點F，AC＝12，則AF為（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．69．Rt△ABC的三個頂點A，B，C均在拋物線y＝2x2上，并且斜邊AB平行于x軸，若斜邊上的高為h，則（）A．h＝ B．h＜ C．h＝ D．10．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，DE是⊙O的直徑，與AC相交于點M，且DE⊥AB，若⊙O的半徑為2，BC＝2，則AM2+CM2的值為（）A．12 B．20 C．24 D．28二、填空題（每小題5分，共30分）11．拋物線y＝（x+1）2﹣3的頂點坐標(biāo)是．12．正多邊形的一個外角等于60°，這個多邊形的邊數(shù)是．13．綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗，結(jié)果如下表所示：每批粒數(shù)n100300400600100020003000發(fā)芽的粒數(shù)m9628238257094819122850發(fā)芽的頻率0.9600.9400.9550.9500.9480.9560.950則綠豆發(fā)芽的概率估計值是．（精確到0.01）14．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD、CE分別為斜邊AB上的高線和中線，若tan∠DCE＝，則＝．15．已知自變量為x的二次函數(shù)y＝（mx+n）經(jīng)過（a，3）（a+4，3）兩點，若方程（mx+n）＝0的一根為x＝5，則其另一根為．16．如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于圓，圓的半徑為，在劣弧AB上取異于A、B的點M．如果設(shè)直線AC與BM相交于K，直線CB與AM相交于點N，則線段AK?BN的值為．三、解答題（本大題有8個小題，共80分）17．計算：2cos30°+（）﹣1+|2﹣|+（2010﹣π）0．18．一個不透明的布袋中裝有若干個球，它們除顏色不同外，其余完全相同，其中有1個白球和若干個紅球．（1）如果摸一次球，摸到白球的概率是，求紅球的個數(shù)．（2）在（1）的條件下，如果從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，則兩個球都是紅色的概率是多少？請畫樹狀圖或列表分析．19．如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1個單位長度，△ABC的頂點均在格點上．（1）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE（B的對應(yīng)點是D，C的對應(yīng)點是E），請畫出△ADE．（2）求旋轉(zhuǎn)過程中點C的運(yùn)動路徑長．（3）連結(jié)BE，在圖中所給的網(wǎng)格中找一個格點F，使得△BEF∽△BCA．20．如圖，陽光廣場上空有一個氣球A，在地面上的B，C，D三點同在一條水平直線上，在點B和C分別測得氣球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝58°，BC＝18.6m，求氣球A離地面的高度AD（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）21．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的頂點D，E分別在邊AC、BC上，頂點F，G都在邊AB上．（1）求證：GF2＝AG?BF；（2）若△ABC的面積為48，AB＝16，求正方形DEFG的邊長．22．某集團(tuán)公司試銷一種成本為每件60元的節(jié)能產(chǎn)品，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)圖象如圖．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）為了獲得275萬元的利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）設(shè)該集團(tuán)公司銷售這種節(jié)能產(chǎn)品獲得利潤為W（萬元），試求出利潤W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)銷售單價定為多少元時，公司可獲得最大利潤，最大利潤是多少萬元？23．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點坐標(biāo)是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最小？若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標(biāo)．24．如圖，已知A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5）三點，△ABC的外接圓⊙M與x，y軸的另一個交點分別為D，E．（1）求證：BC為⊙M的直徑；（2）求點D和點E的坐標(biāo)；（3）作AF⊥x軸，交⊙M于點F，求證：F是的中點；（4）如果有一條拋物線剛好經(jīng)過A、B、C三點，該拋物線上是否存在點P，使得直線BP與直線BC所夾的銳角為45°？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（每小題4分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．下列事件為必然事件的是（）A．任意畫一個三角形，它的內(nèi)角和為180° B．打開電視機(jī)，正在播放新聞 C．?dāng)S一枚質(zhì)量均勻的硬幣，正面朝上 D．足球運(yùn)動員射門成功【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知選項A是必然事件；打開電視機(jī)，可能播放新聞也可能播放其它節(jié)目，因此選項B是隨機(jī)事件；擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，可能正面朝上也可能背面朝上；因此選項C是隨機(jī)事件；足球運(yùn)動員射門可能成功也可能不成功，因此選項D是隨機(jī)事件．解：對于選項A，∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∴任意畫一個三角形，它的內(nèi)角和為180°是必然事件；對于選項B，∵打開電視機(jī)，可能播放新聞也可能播放其它節(jié)目∴打開電視機(jī)，正在播放新聞是隨機(jī)事件；對于選項C，∵擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，可能正面朝上也可能背面朝上；∴擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，正面朝上是隨機(jī)事件；對于選項D，∵足球運(yùn)動員射門可能成功也可能不成功，∴足球運(yùn)動員射門成功是隨機(jī)事件．故選：A．【點評】此題主要考查了必然事件和隨機(jī)事件，熟練掌握必然事件和隨機(jī)事件的概念是解決問題的關(guān)鍵．2．下列各組線段成比例的是（）A．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝6，d＝8 B．a(chǎn)＝1，b＝3，c＝5，d＝7 C．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5，d＝6 D．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝6【分析】根據(jù)比例線段的定義，分別計算各選項中最小的數(shù)與最大的數(shù)的積是否等于另外兩個數(shù)的積可判斷四條線段成比例．解：A、2×8＝16≠4×6＝24，所以A選項不符合題意；B、1×7＝7≠3×5＝15，所以B選項不符合題意；C、3×6＝18≠4×5＝20，所以C選項不符合題意；D、1×6＝6＝2×3＝6，所以D選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了比例線段：判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若將各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則∠A的正弦值（）A．?dāng)U大2倍 B．縮小 C．?dāng)U大4倍 D．不變【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，將各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，其比值不變，∴∠A的正弦值不變．故選：D．【點評】此題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是熟知三角函數(shù)值是一個比值，與角各邊長度的變化無關(guān)．4．已知兩個相似的五邊形的面積比為4：9，如果小五邊形的周長為6cm，則另一個五邊形的周長為（）cm．A．9cm B．12cm C．13.5cm D．18cm【分析】根據(jù)已知易得：兩個相似的五邊形的相似比為2：3，然后設(shè)另一個五邊形的周長為xcm，再根據(jù)題意可得：6：x＝2：3，從而進(jìn)行計算即可解答．解：∵兩個相似的五邊形的面積比為4：9，∴兩個相似的五邊形的相似比為2：3，設(shè)另一個五邊形的周長為xcm，由題意得：6：x＝2：3，解得：x＝9，∴另一個五邊形的周長為9cm，故選：A．【點評】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減進(jìn)行解答即可．解：將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是y＝（x+1）2+2．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，知道拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．6．如圖，AB是圓的直徑，則∠C+∠D＝（）A．60° B．120° C．90° D．45°【分析】由圓周角定理推出∠C＝∠AOE，∠D＝∠BOE，得到∠C+∠D＝∠AOB＝×180°＝90°．解：連接OE，∵∠C＝∠AOE，∠D＝∠BOE，∴∠C+∠D＝（∠AOE+∠BOE）＝∠AOB＝×180°＝90°．故選：C．【點評】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理推出∠C+∠D＝∠AOB．7．設(shè)點A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是拋物線y＝﹣（x+1）2+a的三點，則對應(yīng)的函數(shù)值y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據(jù)A，B，C三點到對稱軸的距離大小求解．解：∵y＝﹣（x+1）2+a，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，∴與對稱軸距離越近的點的縱坐標(biāo)越大，∵﹣1﹣（﹣2）＜1﹣（﹣1）＜2﹣（﹣1），∴y1＞y2＞y3，故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．8．如圖，在?ABCD中，E為AD的三等分點，AE＝AD，連接BE交AC于點F，AC＝12，則AF為（）A．4 B．4.8 C．5.2 D．6【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得AD＝BC，然后求出AE＝AD＝BC，再根據(jù)平行線分線段成比例定理求出AF、FC的比，然后求解即可．解：在?ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵E為AD的三等分點，∴AE＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴＝＝，∵AC＝12，∴AF＝×12＝4.8．故選：B．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，熟記定理并求出AF、FC的比是解題的關(guān)鍵．9．Rt△ABC的三個頂點A，B，C均在拋物線y＝2x2上，并且斜邊AB平行于x軸，若斜邊上的高為h，則（）A．h＝ B．h＜ C．h＝ D．【分析】由拋物線表達(dá)式和三角形性質(zhì)求出A、B、C各點坐標(biāo)，就可以求出h或h的范圍．解：由題A，B，C均在拋物線y＝2x2上，并且斜邊AB平行于x軸，知A、B兩點關(guān)于y軸對稱，記斜邊AB交y軸于點D，可設(shè)A（﹣，2b），B（，2b），C（a，2a2），D（0，2b）則因斜邊上的高為h，故：h＝2b﹣2a2＝2（b﹣a2），∵△ABC是直角三角形，由其性質(zhì)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，∴得CD＝，∴a2+（2b﹣2a2）2＝b，方程兩邊平方得：4（b﹣a2）2＝b﹣a2即h＝h2因h＞0，得h＝．故選：A．【點評】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及觀察圖形的能力，找到各點坐標(biāo)之間的關(guān)系，巧妙地代換未知量是解題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，DE是⊙O的直徑，與AC相交于點M，且DE⊥AB，若⊙O的半徑為2，BC＝2，則AM2+CM2的值為（）A．12 B．20 C．24 D．28【分析】連接OB、OC、BM，作ON⊥BC于N，由垂徑定理得出BN＝CN＝BC＝，由勾股定理求出ON＝＝，得出ON＝BN，△OBN是等腰直角三角形，求出∠BOC＝90°，由圓周角定理得出∠A＝∠BOC＝45°，證出AM＝BM，得出∠ABM＝∠A＝45°，∠AMB＝90°，∠BMC＝90°，在Rt△BCM中，由勾股定理即可得出結(jié)果．解：連接OB、OC、BM，作ON⊥BC于N，如圖所示：則BN＝CN＝BC＝，∴ON＝＝＝，∴ON＝BN，∴△OBN是等腰直角三角形，∴∠BON＝45°，同理：∠CON＝45°，∴∠BOC＝90°，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵DE是⊙O的直徑，且DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AM＝BM，∴∠ABM＝∠A＝45°，∴∠AMB＝90°，∴∠BMC＝90°，在Rt△BCM中，由勾股定理得：AM2+CM2＝BM2+CM2＝BC2＝（2）2＝24；故選：C．【點評】本題考查了三角形的外接圓、垂徑定理、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握垂徑定理，證出∠BOC＝90°是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題5分，共30分）11．拋物線y＝（x+1）2﹣3的頂點坐標(biāo)是（﹣1，﹣3）．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式，易得二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣3圖象的頂點坐標(biāo)．解：拋物線y＝（x+1）2﹣3的頂點坐標(biāo)是（﹣1，﹣3）．故答案為（﹣1，﹣3）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)的圖象為拋物線，若頂點坐標(biāo)為（k，h），則其解析式為y＝a（x﹣k）2+h．12．正多邊形的一個外角等于60°，這個多邊形的邊數(shù)是6．【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°即可得出答案．解：360÷60＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的外角和等于360°是解題的關(guān)鍵．13．綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗，結(jié)果如下表所示：每批粒數(shù)n100300400600100020003000發(fā)芽的粒數(shù)m9628238257094819122850發(fā)芽的頻率0.9600.9400.9550.9500.9480.9560.950則綠豆發(fā)芽的概率估計值是0.95．（精確到0.01）【分析】本題考查了綠豆種子發(fā)芽的概率的求法．對于不同批次的綠豆種子的發(fā)芽率往往誤差會比較大，為了減少誤差，我們經(jīng)常采用多批次計算求平均數(shù)的方法．解：＝（0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950）÷7≈0.95，當(dāng)n足夠大時，發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定于0.95，故用頻率估計概率，綠豆發(fā)芽的概率估計值是0.95．故答案為：0.95．【點評】考查利用頻率估計概率，大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：頻率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，CD、CE分別為斜邊AB上的高線和中線，若tan∠DCE＝，則＝．【分析】首先利用直角三角形的性質(zhì)得出CE＝BE，進(jìn)而利用勾股定理表示出BE以及BD的長，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出即可．解：∵∠ACB＝90°，CE為斜邊AB上的中線，∴CE＝AE＝BE，∠B+∠A＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∵tan∠DCE＝，設(shè)DE＝x，則DC＝2x，∴CE＝x，故BE＝x，∴BD＝x﹣x，∴tanA＝tan∠BCD＝＝＝．故答案為：．．【點評】此題主要考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．15．已知自變量為x的二次函數(shù)y＝（mx+n）經(jīng)過（a，3）（a+4，3）兩點，若方程（mx+n）＝0的一根為x＝5，則其另一根為x＝﹣1或x＝﹣9．【分析】根據(jù)題意得到拋物線過定點（0，3），即可求得（a，3）（a+4，3）兩點的坐標(biāo)，求得對稱軸，然后根據(jù)解析式和方程的關(guān)系即可求得另一個根．解：∵二次函數(shù)y＝（mx+n），∴當(dāng)x＝0時，y＝3，∴二次函數(shù)y＝（mx+n）經(jīng)必經(jīng)過定點（0，3），∴二次函數(shù)yy＝（mx+n）經(jīng)經(jīng)過（0，3）、（4，3）兩點或經(jīng)過（﹣4，3）（0，3）兩點，∴對稱軸為：x＝＝2或x＝，∵方程（mx+n）＝0的一根為x＝5，∴另一個根為x＝﹣1或x＝﹣9．故答案為：x＝﹣1或x＝﹣9．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，圖象上的點的坐標(biāo)適合解析式．16．如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于圓，圓的半徑為，在劣弧AB上取異于A、B的點M．如果設(shè)直線AC與BM相交于K，直線CB與AM相交于點N，則線段AK?BN的值為．【分析】由條件可證明△ABK∽△BNA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AK?BN＝AB2，再由圓的半徑求得AB的長，可求得答案．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠BAK＝∠ABN＝120°，又∵∠AMK＝∠C＝60°，∴∠ABM+∠BAM＝∠ABM+∠K，∴∠K＝∠BAM，∴△ABK∽△BNA，∴＝，∴AK?BN＝AB2，如圖，設(shè)圓心為O，過O作OD⊥AB于點D，連接OA，則OA＝，由直角三角形的性質(zhì)可得OD＝×＝，由勾股定理可得AD＝，∴AB＝2AD＝，∴AK?BN＝AB2＝，故答案為：．【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形相似得到AK?BN＝AB2是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題有8個小題，共80分）17．計算：2cos30°+（）﹣1+|2﹣|+（2010﹣π）0．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．解：原式＝2×+3+2﹣+1＝+3+2﹣+1＝6．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．18．一個不透明的布袋中裝有若干個球，它們除顏色不同外，其余完全相同，其中有1個白球和若干個紅球．（1）如果摸一次球，摸到白球的概率是，求紅球的個數(shù)．（2）在（1）的條件下，如果從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再摸出一個球，則兩個球都是紅色的概率是多少？請畫樹狀圖或列表分析．【分析】（1）根據(jù)概率公式列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；（2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好是兩個紅球的情況數(shù)，即可求出所求的概率．解：（1）設(shè)紅球的個數(shù)為x，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝2，經(jīng)檢驗x＝2是原方程的解，答：紅球的個數(shù)是2個；（2）根據(jù)題意列表如下：白紅紅白﹣﹣﹣（紅，白）（紅，白）紅（白，紅）﹣﹣﹣（紅，紅）紅（白，紅）（紅，紅）﹣﹣﹣所有等可能的情況有6種，其中恰好為兩個紅球的情況有2種，則兩個球都是紅色的概率是＝．【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．19．如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1個單位長度，△ABC的頂點均在格點上．（1）將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADE（B的對應(yīng)點是D，C的對應(yīng)點是E），請畫出△ADE．（2）求旋轉(zhuǎn)過程中點C的運(yùn)動路徑長．（3）連結(jié)BE，在圖中所給的網(wǎng)格中找一個格點F，使得△BEF∽△BCA．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．（2）利用勾股定理求出AC的長，再利用弧長公式計算即可．（3）根據(jù)相似三角形的判定確定點F即可．解：（1）如圖，△ADE即為所求．（2）由勾股定理得，AC＝＝，∴旋轉(zhuǎn)過程中點C的運(yùn)動路徑長為＝．（3）由圖可知，BC＝AC，∠BCA＝90°，即△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，若△BEF∽△BCA，則∠EBF＝∠EFB＝45°．如圖，點F即為所求．【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、弧長公式、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式、相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20．如圖，陽光廣場上空有一個氣球A，在地面上的B，C，D三點同在一條水平直線上，在點B和C分別測得氣球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝58°，BC＝18.6m，求氣球A離地面的高度AD（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】根據(jù)題意可得三角形ABD是等腰直角三角形，在直角三角形ADC中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得氣球A離地面的高度AD．解：根據(jù)題意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣18.6，在Rt△ADC中，∠ACD＝58°，∴tan58°＝，即1.6≈解得AD≈49.6（m）．即AD≈50m，答：氣球A離地面的高度AD約為50m．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義．21．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的頂點D，E分別在邊AC、BC上，頂點F，G都在邊AB上．（1）求證：GF2＝AG?BF；（2）若△ABC的面積為48，AB＝16，求正方形DEFG的邊長．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ADG∽△EBF，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；（2）過點C作過C作CH⊥AB交DE于M，設(shè)正方形DEFG的邊長為x，根據(jù)△ABC的面積為48，AB＝16，得到CH＝6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形DEFG是正方形，∴DG＝GF＝EF，∠DGF＝∠EFG＝90°，∴∠DGA＝∠EFB＝90°，∴∠A+∠B＝∠FEB+∠B＝90°，∴∠A＝∠FEB，∴△AGD∽△EFB，∴，即，∴GF2＝AG?BF；（2）解：過C作CH⊥AB交DE于M，設(shè)正方形DEFG的邊長為x，∵△ABC的面積為48，AB＝16，∴CH＝6，∵DE∥AB，∴CM⊥DE，△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，∴x＝，∴正方形DEFG的邊長為．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．某集團(tuán)公司試銷一種成本為每件60元的節(jié)能產(chǎn)品，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)圖象如圖．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）為了獲得275萬元的利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）設(shè)該集團(tuán)公司銷售這種節(jié)能產(chǎn)品獲得利潤為W（萬元），試求出利潤W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)銷售單價定為多少元時，公司可獲得最大利潤，最大利潤是多少萬元？【分析】（1）用待定系數(shù)法來確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%得出x的取值范圍即可；（2）根據(jù)銷售量×單件的利潤＝275列出方程，解方程求出x的值，并根據(jù)自變量進(jìn)行取舍即可；（3）根據(jù)利潤＝銷售量×單件的利潤，然后將（1）中的函數(shù)式代入其中，求出利潤和銷售單件之間的關(guān)系式，然后根據(jù)其性質(zhì)來判斷出最大利潤．解：（1）由題意得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+120，∵成本為每件60元的產(chǎn)品，銷售單價不低于成本單價，且獲利不得高于40%，∴自變量x的取值范圍為60≤x≤84；（2）根據(jù)題意得：（x﹣60）（﹣x+120）＝275，解得：x1＝65，x2＝115，∵60≤x≤84，∴x＝65，答：銷售單價應(yīng)定為65元；（3）w＝（x﹣60）（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，∵拋物線開口向下，∴當(dāng)x＜90時，w隨x的增大而增大，而60≤x≤84，故當(dāng)x＝84時，w＝（84﹣60）×（120﹣84）＝864．答：當(dāng)銷售價定為84元/件時，商家可以獲得最大利潤，最大利潤是864元．【點評】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式和方程．23．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標(biāo)是（1，0），C點坐標(biāo)是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；（2）利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D；（3）根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式Δ＝0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標(biāo)，并求出該直線與x軸的交點F的坐標(biāo)，再求出AF，再根據(jù)直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），點C（4，3），∴，解得，所以，拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3；（2）∵點A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），則，解得，所以，直線AC的解析式為y＝x﹣1，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，當(dāng)x＝2時，y＝2﹣1＝1，∴拋物線對稱軸上存在點D（2，1），使△BCD的周長最小；（3）如圖，設(shè)過點E與直線AC平行線的直線為y＝x+m，聯(lián)立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m＝0，△＝（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）＝0，解得：m＝﹣，即m＝﹣時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，此時x＝，y＝﹣＝﹣，∴點E的坐標(biāo)為（，﹣），設(shè)過點E的直線與x軸交點為F，則F（，0），∴AF＝﹣1＝，∵直線AC的解析式為y＝x﹣1，∴∠CAB＝45°，∴點F到AC的距離為AF?sin45°＝×＝，又∵AC＝＝3，∴△ACE的最大面積＝×3×＝，此時E點坐標(biāo)為（，﹣）．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用軸對稱確定最短路線問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標(biāo)，利用平行線確定點到直線的最大距離問題．24．如圖，已知A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5）三點，△ABC的外接圓⊙M與x，y軸的另一個交點分別為D，E．（1）求證：BC為⊙M的直徑；（2）求點D和點E的坐標(biāo)；（3）作AF⊥x軸，交⊙M于點F，求證：F是的中點；（4）如果有一條拋物線剛好經(jīng)過A、B、C三點，該拋物線上是否存在點P，使得直線BP與直線BC所夾的銳角為45°？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由A（3，0），C（﹣2，5），設(shè)直線AC為：y＝kx+b，求得CA與y軸交點N（0，3），OA＝ON＝OB，△AON和△AOB均為等要直角三角形，從而得∠CAB＝90°，所以BC為⊙M的直徑；（2）由于B（0，﹣3），C（﹣2，5）根