2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題（解析版）

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)乙卷）

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題

2+i

Z-r2一

1.設(shè)1+1+1,則2=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值,然后利用共粗復(fù)數(shù)的定義確定其共輾復(fù)數(shù)即可.

2+i2+i_i(2+i)2i-l

【詳解】由題意可得z=l-2i,

l+i2+i51-1+ii2-1

則5=1+2i.

故選：B.

2.設(shè)集合U=匕集合M={x|x<l},N={x[-l<x<2},則{小22}=（）

A.名（MN）B.NgM

C.N）D,MuQN

【答案】A

【解析】

【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為{x\x>2}即可.

【詳解】由題意可得“N={x|x<2},則布（"N）={x|xN2},選項(xiàng)A正確;

Q,M={x|x?l},則N_Q/M={x|x>-1},選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

MN={x\-\<x<l},貝師（McN）={x|xW-l或xNl},選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

dN={x|xWT或xN2},則MiqN={x|x<l或xZ2},選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該零件的表面積為（）

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長(zhǎng)方體AJBCD—AAGR中，/W=BC=2,AA=3,

點(diǎn)H,1,J,K為所在棱上靠近點(diǎn)。,4的三等分點(diǎn)，O,L,M,N為所在棱的中點(diǎn)，

則三視圖所對(duì)應(yīng)的兒何體為長(zhǎng)方體ABCD-A^C^去掉長(zhǎng)方體ONIC「LMHB、之后所得的幾何體，

4Q

8k-----------

該幾何體的表面積和原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積相比少2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，

其表面積為：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lxl)=30.

故選：D.

4.已知是偶函數(shù)，貝!|。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)?（x）=—J為偶函數(shù)，則片x[一￥__（-小_________J=0，

eax-17v77v7eav-le~ax-1-1

又因?yàn)閤不恒為0,可得e*—e?3=0,即?八=匕（。"，

則x=（〃—l）x，即l=a—1,解得a=2.

故選：D.

5.設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛（羽田|1?/+,244｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A,則直線

兀

04的傾斜角不大于一的概率為（）

4

1111

A.—B.-C.—D.-

8642

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閰^(qū)域｛a，y）|ivf+y2J｝表示以。（（）,（））圓心，外圓半徑R=2,內(nèi)圓半徑廠=1的圓環(huán),

TT7T

則直線。4的傾斜角不大于一的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角NMON=—,

44

9工

結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率02X41?

r=------=—

2兀4

6.已知函數(shù)"x）=sin（3°）在區(qū)間信引單調(diào)遞增，直線x]和x=g為函數(shù)y=/（x）的圖像

I--B.--C.1D.迫

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入》=一名57即1可得到答案.

12

【詳解】因?yàn)?(X)=sin(w+0)在區(qū)間7J單調(diào)遞增，

T27rJrIT27t

所以一=‘一生=",且。＞0,則7=兀，卬=,=2,

2362T

當(dāng)》=二時(shí)，/(x)取得最小值，則23+e=2E—四，keZ,

662

則0=2%t----,kwZ,不妨?。?0,則/(x)=sin|2x---

故選：D.

7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種1,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有

()

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況,

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種,

根據(jù)分步乘法公式則共有=12()種,

故選：C.

8.已知圓錐尸O的底面半徑為退，。為底面圓心，總為圓錐的母線，ZAOB=120°,若△的的面

積等于上叵，則該圓錐的體積為()

4

A.兀B.&C.3萬(wàn)D.3扁

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.

【詳解】在J^OB中，4408=120°，而OA=OB=C,取AC中點(diǎn)C,連接OC,PC,有

OCLAB,PCLAB,如圖,

ZABO=30.OC=B,AB=2BC=3,由‘尸池的面積為唯，得，x3xPC=唯,

2424

解得PC=苧，于是尸0=ylPC2-OC2=｛（乎）2—（爭(zhēng)2=76，

所以圓錐的體積丫=3兀、。42、尸0=；兀'（6）2、#=遍兀.

故選：B

9.已知.ABC為等腰直角三角形，A8為斜邊，△A3。為等邊三角形，若二面角C—AB—。為150°,

則直線CO與平面ABC所成角的正切值為（）

1B亞

A06D￡

5555

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取AB的中點(diǎn)E，連接CE,DE，因?yàn)椤狝BC是等腰直角三角形，且為斜邊，則有CE1AB,

又△ABO是等邊三角形，則。E1A5,從而NCED為二面角C-AB-O的平面角，即NCE￡>=150,

D,

顯然CEcDE=E,CE,DEu平面CDE,于是ABI平面CDE,又ABu平面ABC,

因此平面COE，平面ABC,顯然平面CD￡c平面ABC=CE,

直線CDu平面CDE,則直線CO在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而NDCE為直線8與平面ABC所成的角，令A(yù)3=2,則CE=1,OE=J^,在&CDE中，由余弦

定理得:

CD=yJCE2+DE2-2CE-DEcosZCED=]l+3—2xlx百x（一爭(zhēng)=近，

DECD73sinl50_A/3

由正弦定理得二-----------,即sin/DCE

sinNDCEsinZCED幣=后'

顯然20CE是銳角，cosNDCE=-si/NDCE

所以直線CO與平面ABC所成的角的正切為且

5

故選：C

10.已知等差數(shù)列｛凡｝公差為整，集合S^cosa/neN*｝,若5=｛。,。｝,貝以。=()

A.-1B.--C.0D.工

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作

答.

27r27r27r

【詳解】依題意,等差數(shù)列依,J中,??=n|+(n-l)-y=yn+(?1-y),

27c2兀

顯然函數(shù)y=cos[7〃+(卬一7)]的周期為3,而〃eN*,即cosa“最多3個(gè)不同取值，又

{cosa〃|〃wN*}={〃,/?},

則在COSQ^COSGCOS/中，cosax=cosa2cosa3cosaxcosa2=cosa3,

27rZ7TTT

于是有cos^=cos(^+—),即有。+(。+7)=2kit,kGZ,解得6=kTt--^,kwZ,

所以ZeZ,ab=cos(/cn-])cos[(E-])+手]=-cos(左兀-5)coslai=-cos2kncos]=-g,

故選：B

11.設(shè)A,B為雙曲線f-卷=1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（）

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1T)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得&3認(rèn)=9,對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)

于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè)A（x，x）,8（w，%），則AB的中點(diǎn)加然”，21/

X+%

X2_X+%

可得“A8

%—%+"2%,+%2

2

X”

O

因?yàn)锳,8在雙曲線上，則〈

所以心8心=上二4=9.

大一々

對(duì)于選項(xiàng)A：可得左=1,須8=9，則AB:y=9x—8,

y=9x-8

聯(lián)立方程(2/消去y得72f—2x72x+73=0,

I9

此時(shí)A=(-2X72)2-4X72X73=-288<0,

所以直線A3與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

995

對(duì)于選項(xiàng)B：可得左=一2,女AB=一萬(wàn)，則48:丁=一5%一萬(wàn)

95

V=——X——

,22

聯(lián)立方程V2,消去y得45f+2x45x+61=0，

/卜.1

I9

此時(shí)△=（2x45『-4x45x61=-4x45x16<0,

所以直線A8與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得左=3,心8=3,則=

由雙曲線方程可得。=1,人=3,則AB:y=3x為雙曲線的漸近線，

所以直線AB與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

997

對(duì)于選項(xiàng)D：k=4,kAB=—,則=

97

y=-x——

44

聯(lián)立方程｛2,消去>得63/+126%-193=0，

j丁-1

19

此時(shí)4=126?+4x63xl93>0,故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

12.已知（O的半徑為1,直線以與《。相切于點(diǎn)A,直線PB與0。交于8,C兩點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn)，

若|PO|=JL則PA-PD的最大值為（）

A1+6R1+20

22

C.1+0D.2+0

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得PA.p。

7T

2a——2a+-然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定P4PD

4

的最大值.

【詳解】如圖所示，|Q4|=1,|OP|=J2,則由題意可知:NAPO=45,

7T

當(dāng)點(diǎn)A。位于直線PO異側(cè)時(shí)，設(shè)NOPC^a,O<a<~,

則：PA-PD=\pA\'\pD\cos\a+~^

=1x72cosacos［。?

cosa——cosa------sma

22

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.仁

=----------------sin2。

22

_7C_.TC,7C7C

一,則—W2a----W—

4444

兀7T

???當(dāng)2a-T=一二時(shí)，，24.。。有最大值1.

則:PAPD=|PA|，|PO|COS

=1xV2cosacosa--

\4

V2cosa—cosad-----sina

\22/

=cos2a+s?inacosa

1+cos2a1.

=-------------b—sin2a

22

1V2.r乃］

22I4J

八71_7C7C

0<cz<—,則一W2a+—W—

4442

.?.當(dāng)2。+工=工時(shí)，1PA.p￡）有最大值比亞?.

422

綜上可得，pA.po的最大值為匕也.

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，考查了

學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.

二、填空題

13.已知點(diǎn)A（l,石）在拋物線C：V=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.

9

【答案】一

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為X=-*,最后利

4

用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

【詳解】由題意可得：（&y=2pxl,則2〃=5,拋物線的方程為y2=5_r,

準(zhǔn)線方程為x=—2,點(diǎn)A到c的準(zhǔn)線的距離為1—

4I4J4

9

故答案為：一.

4

無(wú)一3y<-1

14.若x,y滿足約束條件<x+2y<9,則z=2x—y的最大值為.

3>x+y>7

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.

【詳解】作出可行域如下圖所示：

z-2x-y,移項(xiàng)得y=2x-z,

x-3y=-1fx=5

聯(lián)立有《二c,解得〈C，

x+2y=9[y=2

設(shè)A（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,此時(shí)截距-z最小，貝壯最大,

代入得z=8,

故答案為：8.

15.已知｛。“｝為等比數(shù)列，a2a4%=%。6，%％0=-8,則%=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)化簡(jiǎn)得44=1，聯(lián)立。94（）=-8求出d=-2,最后得

%=a、q-q5=q5=—2.

【詳解】設(shè)｛4｝的公比為q（q，O），則a2a4a5=44=44,，顯然4,力。，

貝!|。4=/，即q/=/,則64=1,因?yàn)椤?即）=-8,貝IJq/?q，'=-8,

則45=（q5）=一8=（_2）3,貝!j/=—2,則%=qq?/=/=_2,

故答案為：—2-

16.設(shè)ae(O,l),若函數(shù)〃力=優(yōu)+(1+4在(0,+。)上單調(diào)遞增，則”的取值范圍是.

【解析】

【分析】原問(wèn)題等價(jià)于/'(x)=a'lna+(l+a)'ln(l+a)NO恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形,

可得(蜉”一辭了由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)〃的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得了'(X)=優(yōu)Ina+(1+a)'In(1+a)20在區(qū)間(0,+巧上恒成立,

1+a

則(l+a)*ln(l+a)2—a'lna,即>-在區(qū)間(°，+8)上恒成立，

a

故=]N_&)，而a+lw(l,2),故ln(l+a)>0,

ln(a+l)2-Inaa(a+l)>1

1/-1

故即《故------Wa<1，

0<a<l0<a<l2

結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

故答案為:

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)

相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的

伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為七，》(i=1,2,…,10).試驗(yàn)結(jié)果如下:

試驗(yàn)序號(hào)i12345678910

伸縮率七545533551522575544541568596548

伸縮率力536527543530560533522550576536

記Z,.=X,.-y(i=1,2,…,10),記4,Z2,40的樣本平均數(shù)為z,樣本方差為?.

⑴求Z，s'

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

z>2J—，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，

Vio

否則不認(rèn)為有顯著提高)

【答案】(1)2=11，./=61；

(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出工斤，再得到所有的z,.值，最后計(jì)算出方差即可；

(2)根據(jù)公式計(jì)算出2、三的值，和I比較大小即可.

V10

【小問(wèn)1詳解】

釬545+533+551+522+575+544+541+568+596+548=552.3,

10

536+527+543+530+560+533+522+550+576+536°

y-------------------------------------------------=541.3,

10

z=x-y=552.3-541.3=11,

4=百一。的值分別為：9,6,8,—8,15,11,19,18,20,12,

故/_(9-41)'+(6—]]了+(8_]Ip+(—8—]If+(15-[1)2+0+(19—]I)'+(18—]])2+(20-]I)'+(12-]])2

”10

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知:彳=11,2^=2y[6A=V244)故有彳22年,

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

18.在中，已知NB4C=120°,AB=2,AC=l.

(1)求sin/ABC；

(2)若。為8c上一點(diǎn)，且N8AD=90°,求△ADC的面積.

V21

【答案】（1）

14

⑵W

【解析】

【分析】（1）首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)8C的值為BC=J7,然后由余弦定理可得COSB=￡^，最后由同

14

角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB=—

14

51

（2）由題意可得瞪迺=4,則S&ACD=TS&AKC，據(jù)此即可求得AADC的面積.

'△ACD5

【小問(wèn)1詳解】

由余弦定理可得：

BC2=cr=lr+C1-2Z?ccosA

=4+l-2x2xlxcos120=7，

a2+c2-b27+4-15幣

則BC=J7，COSB

2ac2x2xV714

\25_?

sinB=Vl-cos2B

-28

小問(wèn)2詳解】

S—xABxA￡>xsin90

由三角形面積公式可得吃儂■=j-----------------------=4,

,△ACD一xACxA。xsin30

2

則ZACD=gS“Bc=『(5x2xlxsin12°)=

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，ABJ.BC,AB=2,BC=2垃,PB=PC=瓜,BP,AP,BC

的中點(diǎn)分別為。，E,O,4。=石。0，點(diǎn)廠在AC上，BFLAO.

p

(1)證明：所//平面AOO；

(2)證明：平面400_L平面BEE

(3)求二面角?！狝O—C的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；(3)包.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形戶為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小問(wèn)1詳解】

■一一一一--1

連接OE,。尸，設(shè)=WJBF=BA-^-AF=(l-t)BA+tBC,AO=-BA^-BC,BFA.AO,

2

則BFAO=[(1一f)5A+tBC]-{-BA+-BC)=(Z-1)B/+-tBC=4Q—1)+4r=0,

22

解得f=L則F為AC的中點(diǎn)，由。,E,0,廠分別為心,PA,BC,AC的中點(diǎn)，

2

于是DEIIAB,DE=-AB,OFHAB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,則四邊形ODEF為平行四

22

邊形，

EF//DO,EF=DO,又瓦'.平面AOO,DOu平面ADO,

所以七戶//平面A。。.

p

【小問(wèn)2詳解】

則4。=八,。0=逅，得=畫(huà),

由（1）可知EF//OD,

22

因此0。2+4。2=4。2="則ODLA。，有EF1AO,

2

又AO工BF,BFEF=F,BF,EFu平面,

則有40J?平面成尸，又AOu平面AD0，所以平面4）0,平面BE/L

【小問(wèn)3詳解】

過(guò)點(diǎn)。作O/7//8/交AC于點(diǎn)H,設(shè)AOBE=G,

由AOJ_BF,得〃O_LAO,且FH=』A",

3

又由（2）知，ODA.AO,則NDO”為二面角。一AO—C的平面角，

因?yàn)榱?E分別為P8,PA的中點(diǎn)，因此G為,R46的重心，

1113

即有。G=—AD,GE=—BE,又FH=±AH,即有。H=—GF,

3332

.315

/.g2~14+6-PA2L娓

cosZABD=-2x2x76,,解得%=E，同理得

2x2x—xx

2

2

于是BE?+￡；/2=B/2=3,即有BE，石尸，則G/7?_5

-3

從而GF=叵，。"=，巫=巫，

3232

在△OO”中，0H-BF=—,OD=—,DH=—，

2222

6+3_15

于是cosND。"='［一疊=一號(hào),sinZDOH0

2x——x-^—T

22

所以二面角。一AO—C的正弦值為上.

2

29=l(a>0>0)的離心率是手，點(diǎn)A(—2,0)在。上.

20.已知橢圓C：21+廠

a-

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(一2,3)的直線交。于P,Q兩點(diǎn)，直線AP,A。與y軸的交點(diǎn)分別為M,N,證明：線段MN

的中點(diǎn)為定點(diǎn).

v2x2

【答案】（1）^-+—=1

94

(2)證明見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列式求解a,"c,進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)設(shè)直線PQ的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證人;八為定值即可.

【小問(wèn)1詳解】

b=2a=3

由題意可得＜cr=b2+c2解得卜=2

cV5c=\/5

e=-=——

、a3

所以橢圓方程為匯+工=1.

94

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知：直線PQ的斜率存在，設(shè)。。：丁=%@+2）+3,。（不,）,。（々,必），

y=4（x+2）+3

聯(lián)立方程〈,2元2,消去y得：（4Z~+9）x~+8攵（2Z+3）x+16（攵~+3%）=0,

--I---=1

I94

2

則A=64二（2Z+3『一64（422+9）（fc+3k）=一1728A>0,解得&<0,

可得…一拿小”

因?yàn)?（一2,0）,則直線AP：y=:±（x+2）,

2y，即M0,-^-

令x=o,解得y=一^

X]+2I%+2）

同理可得NO,

IZ+2J

2y2y2

則玉+2馬+2_[攵（%]+2）+3][左（巧+2）+3]

=?

2%+2馬+2

［米］+（2女+3）］（無(wú)2+2）+［優(yōu)+（2&+3）］（再+2）2kxl&+（44+3）（與+電）+4（2攵+3）

（3+2）（々+2）XIX2+2（X1+占）+4

3”+弘）一㈣綠壤"+3）

4左2+94^+9'）108

16（公+3耳16&（2%+3）+4-3?

4公+9止+9+

所以線段尸Q的中點(diǎn)是定點(diǎn)（0,3）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟

（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就定值;

(2)證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)

關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；

(3)得出結(jié)論.

21.已知函數(shù)/(x)=(L+a]ln(l+x).

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(2)是否存在“，b,使得曲線y=關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求“，6的值，若不存在，說(shuō)明

理由.

(3)若/(x)在(0,+⑹存在極值，求a的取值范圍.

【答案】(I)(ln2)x+y-ln2=0；

(2)存在a=',>=一，滿足題意，理由見(jiàn)解析.

22

⑶RR

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后求

解切線方程即可；

(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)〃的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法可

得關(guān)于實(shí)數(shù)”的方程，解方程可得實(shí)數(shù)a的值，最后檢驗(yàn)所得的。力是否正確即可；

(3)原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)g(x)=G；2+x-(x+l)ln(x+l),然后對(duì)函數(shù)求

導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論aWO,a和0<a〈,三中情況即可求得實(shí)數(shù)a的取值

22

范圍.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=—1時(shí)，=(—

則r(x)=_!x]n(x+l)+[』_l]x-lp

XkXJXI1

據(jù)此可得/(1)=0,/'(1)=-ln2,

函數(shù)在處的切線方程為y-0=—ln2(x—l),

即(ln2)x+y-ln2=0.

【小問(wèn)2詳解】

由函數(shù)的解析式可得J)=(x+a)In(J+1

1v-_|_1

函數(shù)的定義域滿足一+1=二一＞0,即函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-1)。(0,+8),

XX

定義域關(guān)于直線*=一！對(duì)稱，由題意可得力=一4，

22

由對(duì)稱性可知/(一(+加

3

取加=5可得=

即(a+l)ln2=(a-2)ln；,則a+l=2—a,解得a=g,

經(jīng)檢驗(yàn)a=',〃=一』滿足題意，故。=！,6=-'.

2222

即存在a=L,O=-,滿足題意.

22

【小問(wèn)3詳解】

由函數(shù)的解析式可得/'(尤)=(一-y|ln(x+l)+|-+?

由/(x)區(qū)間(0,+8)存在極值點(diǎn)，則/"(X)在區(qū)間(0,+8)上存在變號(hào)零點(diǎn)；

令［一!)3+1)+6+4舄=0,

則-(1+1)111(1+1)+(%+加)=0,

令且⑴二加4-x-(x+l)ln(x+l),

/(X)在區(qū)間(0,+。)存在極值點(diǎn)，等價(jià)于g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號(hào)零點(diǎn),

g'(x)=2ax-ln(x+l),g"(x)=2a...—

當(dāng)“WO時(shí)，g'(x)<0，g(x)在區(qū)間(0,+a)上單調(diào)遞減，

此時(shí)g(x)<g(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+功上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;

當(dāng)說(shuō)；,2a之1時(shí)，由于士<1,所以g，(x)>O,g'(x)在區(qū)間(0,+與上單調(diào)遞增,

所以g'(x)>g'(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)>g⑼=0,

所以g(尤)在區(qū)間(0,+8)上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)0<a<，時(shí)，由g"(x)=2a——匚=0可得彳=1--1,

2x+12a

當(dāng)—1)時(shí)，g"(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，g"(x)>0,g'(x)單調(diào)遞增，

故g'(x)的最小值為g'(￡-1)=1一2a+In2a,

_r11

令〃z(x)=1—x+Inx(0<x<1),則相'(x)=-...>0,

函數(shù)”(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根(x)<〃，⑴=0,

據(jù)此可得1-%+111%<0恒成立，

則g'[^—I=1-2。+In2a<0,

令=lnx-x2+x(x>0),則"(x)=-2x+"+1,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/2‘(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)X€(l,+8)時(shí)，"(X)<O,〃(X)單調(diào)遞減,

故6(x)4"1)=0,即1!1%</一了(取等條件為了=1)，

所以g'(x)=2ax-ln(x+l)>2ax-[(x+lj+=2ax-^x2+x),

g12a—l)>2a(2a—l)—[(2a-1)2+(2”-1)卜0,且注意到g'(O)=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:g'(x)在區(qū)間(0,+a)上存在唯一零點(diǎn)吃.

當(dāng)》€(wěn)(0,天)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)減，

當(dāng)工€小,+8)時(shí)，g'(X)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(%)<g(o)=o.

令=則=一。)]W0,

I，)x2(xj

則〃(x)單調(diào)遞減，注意到〃⑴=0,

故當(dāng)工￡(1,+°0)時(shí)，加<0,從而有l(wèi)nx<二

2

所以g(x)=+x-(x+l)ln(x+l)

1

-(x+l)Xg(x+l)—

>QX~+X7+7

?-1.21

“+2,

,1

令無(wú)一+5=o得/=—.所以g>o,

l-2a

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.

綜合上面可知:實(shí)數(shù)。得取值范圍是

【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等

函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利

用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理性.本題中第二問(wèn)利用對(duì)稱性求參數(shù)值