《基本不等式的應(yīng)用-證明與最值問題》導(dǎo)學(xué)案

《基本不等式的應(yīng)用—證明與最值問題》導(dǎo)學(xué)案情景引入情景引入新知導(dǎo)學(xué)基本不等式與最值x＋y＝s定和?__xy≤4__(當(dāng)且僅當(dāng)預(yù)習(xí)自測1．設(shè)a>0，b>0，若a＋b＝4，則a＋b的最小值為(C)A．29C．47B．4D．3范圍是(B)πA．0<B<-4πC．0<B≤-2πB．0<B≤-3π∴cosB==8ac－4≥8ac－4＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，等號成立.πa＋ba＋ba+2a＋ba＋ba+b∴a＝4，b＝4.∴所求最大值為4.H命題方向1不等式的證明技巧—字母輪換不等式的證法abc(a＋b＋c).[分析]本題中的表達(dá)式具有輪換對稱關(guān)系，將表達(dá)式中字母輪換a→b→c→a后表達(dá)獲解.＋b4＋c4)≥2a2b2＋2b2c2＋2c2＋c2)≥2ab2c2b2等式中字母具有輪換對稱關(guān)系，則常常連用幾個形式相同字母不同的不等式迭加獲證.試證下列不等式＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.(2)∵a、b、c∈R+.—因為─≥ab>0，─成立，所以2 2成立，所以2[點評]不能直接應(yīng)用基本不等式證明的不等式和連續(xù)兩次使用基本不等式等號不能用基本不等式的條件.命題方向2求參數(shù)的取值范圍問題，＋b－c的最小值問題．觀察其構(gòu)成規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)a－c＝(a－b)＋(b－不等條件的形式.因此，原不等式等價于a－b＋a－b+a－b++=+=2++——當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即當(dāng)2b＝a＋c或a結(jié)記憶.+____2－1≥x＋y2－1≥1，解得a≥2.故a的最小值是2.易混易錯警示Yihunyicuojingshi忽視等號成立的條件而致誤易混易錯警示例題3求函數(shù)y＝的最小值.[錯解]y[辨析]誤解中忽視了判定等號是否成立.1[正解]y1x2＋4，∵x2＋4≥4，∴t≥2.∴y＝t＋t在[2∞)上為增函數(shù)，∴當(dāng)t＝25時，函數(shù)取最小值2．學(xué)科核心素養(yǎng)均值不等式在實際問題中的應(yīng)用例題4某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個矩形綜合性休閑廣場，其總面積為3000m2，其中場地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2m，中間的三個矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運動場地(其中兩個小場地形狀相同)，塑膠運動場地占地面積為S平方米．xx＝2430.即設(shè)計x＝50m，y＝60m時，運動場地面積最大，最大值為2430m2．課堂達(dá)標(biāo)驗收A．10B．252．小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則(A)222D．v2A．100B．50C．20D．1022ax4．已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>a，a>0)在x＝3時取得最小值，則axa＝4×32＝36.A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題bb-a2b2＋1-a2b|＝|a|＋|a|≥2，等號成立時|a|＝|a=2，12．已知a>0，b>0，且2是2a與b∴ab≥2.故選B.3．某公司租地建倉庫，每月土地費用與倉庫到車站距離成反比，而每月貨物的運輸費用與倉庫到車站距離成正比．如果在距離車站10km處建倉庫，則土地費用和運輸費用分別為2萬元和8萬元，那么要使兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站(A)A．5km處B．4km處C．3km處D．2km處k4．設(shè)x＋3y－2＝0，則3x＋27y＋1的最小值為(3A．7B．39C．1＋22D．5x＋27y＋1≥23x＋3y＋1＝6＋1＝7，1當(dāng)且僅當(dāng)3x＝27y，即x＝1，y＝3時等號成立．故選A.二、填空題45．若x<3，則實數(shù)f(x)＝x－3＋x的最大值為__－1__.4=-[3－x＋(3－x)]＋34≤-24當(dāng)且僅當(dāng)3－x＝3－x，即x＝1時取“＝”號.∴f(x)的最大值為－1.每次都提價2%，若p>q>0，則提價多的方案是__乙__.乙.三、解答題7．(如圖)某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室，溫室內(nèi)沿左右兩側(cè)與后墻內(nèi)側(cè)各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地，當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少[解析]設(shè)矩形的一邊長為xm，則另一邊長為xm，因此種植蔬菜的區(qū)域?qū)挒?x-4)m，長為(x－2)m.l-,得4<x<400，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝x，即x＝40∈(4,400)時等號成立.因此當(dāng)矩形溫室的兩邊長為40m,20m時蔬菜的種植面積最大，最大種植面積是648m2.22[證明]∵a、b、c∈R＋，b，c，a均大于0，22又b＋b≥2b又b＋b≥2ba--2三式相加得b＋b＋c＋c＋a＋a≥2a＋2b＋2c，2一、選擇題最小值為(D)5la＋b＝1lb＝.上述三個式子恒成立的有(B)A．0個B．1個C．2個D．3個2二、填空題3．建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為每平方米120元和80元，那么水池的最低總造價為1760__元.4x[解析]設(shè)水池池底的一邊長為xm，則另一邊長為m，則總造價為：x4≥480＋320×2x×x＝1760.4xx所以水池的最低總造價為1760元.4．若正數(shù)a、b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是__[9，+∞)__.-3≥0，∴ab≥3或ab≤-1(舍去)，∴ab≥9.三、解答題5．某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價45元，頂部每平方米造價+20xy＝40x＋90y＋20xy，倉庫面積S＝xy.∴6S＋S≤160，即(S)2＋6S－160≤0.∴0<S≤10，∴0<S≤100.故S的取值范圍是(0,100].答：倉庫面積S的取值范圍是(0,100]，當(dāng)S取到最大允許值15m.≥4＋2＋2＋2＝10，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝3時取等號．1．(2018－2019學(xué)年度山東莒縣二中高二月考)某公司生產(chǎn)電飯煲，每年需投入固定成本40萬元，每生產(chǎn)1萬件還需另投入16萬元的變動成本，設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)電飯煲x萬件并全部銷售完，每一萬件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝x－x100)，該公司在電飯煲的生產(chǎn)中所獲年利潤為W(萬元)，(注：利潤＝銷售收入－成本)(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式，并求年利潤的最大值；(2)為了讓年利潤W不低于2360萬元，求年產(chǎn)量x的取值范(40000＋16x)＋4360(10＜∴W≤－1600＋4360＝2760，即年利潤的最大值為2760萬元．x(2)W16x＋4360≥2x整理得x2－125x＋2500≤0．故為了讓年利潤W不低于2360萬元，年產(chǎn)量x的范圍是[25,100)．2．某單位在國家科研部門的支持下，能夠把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，已知該單位每月的二氧化碳處理量最少為400t，最多為600t，月處理成本y(元)與月處2理量x(t)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝x2－200x＋80000，且每2得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補[解析](1)由題意可