2023年廣東省深圳市中考適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023年廣東省深圳市中考適應(yīng)性數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí):考號(hào)：

一、單選題

1.下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（）

【答案】D

【分析】利用“在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)陽(yáng)光下的影子的方向應(yīng)該一致，人與影子的比相等”

對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：小明和小穎在同一盞路燈下影子與身高比例相等且影子方向相反.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查中心投影的特點(diǎn)是：①等高的物體垂直地面放置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)

光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).②等長(zhǎng)的物體平行于地面放

置時(shí)，在燈光下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體

本身的長(zhǎng)度還短.

2.反比例函數(shù)）'=9的圖像可能是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，女＞0時(shí)，圖象在一、三象限，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)y=￡,k=6>o,

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象.熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

3.樺卯是我國(guó)古代建筑、家具的一種結(jié)構(gòu)方式，它通過兩個(gè)構(gòu)件上凹凸部位相結(jié)合來

將不同構(gòu)件組合在一起，如圖是其中一種樺，其主視圖是（）

E。?巳

【答案】B

【分析】根據(jù)主視圖是從物體的正面看得到的圖形，可得答案.

【詳解】解：該幾何體的主視圖是：

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提.

4.如圖，在矩形ABCO中，對(duì)角線AC與BO相交于點(diǎn)。，已知NACB=25。，則

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：???矩形ABC。的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)0,

OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,AC=BD,

22

：.OB=OC,

試卷第2頁(yè)，共25頁(yè)

，NOBC=ZACB=25。,

：.ZAOB=ZOBC+ZACB=250+25°=50°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練

掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.關(guān)于一元二次方程x2+4x+3=0根的情況，下列說法中正確的是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】直接利用一元二次方程根的判別式即可得.

【詳解】解：f+4x+3=0

其中a=l,b=4,c=3,

AA=42-4xlx3=4>0,

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解

題關(guān)鍵.

6.人類的性別是由一對(duì)性染色體（X,Y）決定，當(dāng)染色體為XX時(shí)，是女性；當(dāng)染色

體為XY時(shí)，是男性.如圖為一對(duì)夫妻的性染色體遺傳圖譜，如果這位女士懷上了一個(gè)

小孩，該小孩為女孩的概率是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，可得共有4種等可能的結(jié)果，其中該小孩為女孩的結(jié)果

有2種，再由概率公式計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：畫樹狀圖如下：

丈夫A\

AA

妻子XXXX

共有4種等可能的結(jié)果，其中該小孩為女孩的結(jié)果有2種，

該小孩為女孩的概率為：2=；1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用樹狀圖或列表法求概率，明確題意，準(zhǔn)確畫出樹狀圖或列

出表格是解題的關(guān)鍵.

7.某品牌20寸的行李箱拉桿拉開后放置如圖所示，經(jīng)測(cè)量該行李箱從輪子底部到箱子

上沿的高度48與從輪子底部到拉桿頂部的高度CD之比是黃金比（約等于0.618）.已

知C￡>=80cm,則AB約是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意列出比例式即可解答.

【詳解】解：由題意可得，

ABAB

----=-----?0.618,

CD80

解得AB=49,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出比例式.

8.如圖，九年級(jí)（1）班課外活動(dòng)小組利用平面鏡測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，在觀測(cè)員與旗

桿AB之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記E,當(dāng)觀測(cè)到旗桿頂端在鏡子

中的像與鏡子上的標(biāo)記重合時(shí)，測(cè)得觀測(cè)員的眼睛到地面的高度為L(zhǎng)6m,觀測(cè)員到

標(biāo)記E的距離CE為2m,旗桿底部到標(biāo)記E的距離AE為16m,則旗桿AB的高度約是

()

試卷第4頁(yè)，共25頁(yè)

B

D：/

金、/------------------L

CEA

A.22.5mB.20mC.14.4mD.12.8m

【答案】D

【分析】先根據(jù)相似三角形的判定證出，1四E,DCE,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解

即可得.

【詳解】解：??,鏡子垂直于地面，

.,?入射角等于反射角，

:./DEC=/BEA,

,:DCLAC.BALAC,

：.NDCE=NBAE=90°,

:.一BAEDCE,

.ABAEAB16

??=，Knn|J=,

CDCE1.62

解得43=12.8（m）,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確找出兩個(gè)相似三角形是解題關(guān)鍵.

9.如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐課程試驗(yàn)園地是長(zhǎng)為20m,寬為18m的矩形，為方便活動(dòng)，需

要在園地中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道.如果園地余下的面積為306m"則小道

的寬為多少？設(shè)小道的寬為,，根據(jù)題意，可列方程為（）

A.(20-2x)(18-x)=306

B.(20-x)(18-2x)=306

C.20X18-2X18X-20X+X2=306

D.20xl8-2x20x-18x+x2=306

【答案】A

【分析】由小道的寬為x米，可得出種植部分可合成長(zhǎng)為（20-2x）米，寬為（18-x）米

的矩形，根據(jù)種植面積為306平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解：???小道的寬為x米，

???種植部分可合成長(zhǎng)為（20-2x）米，寬為（18-x）米的矩形.

依題意得：（20-2x）（18-x）=306.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,E是A8邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=2,尸是AB

邊上一點(diǎn)，將ACE尸沿C尸翻折，使點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在AO邊上，連接EG交折痕CF

于點(diǎn)H,則FH的長(zhǎng)是（）

A.-B.—C.1D.立

333

【答案】B

【分析】由翻折得CG=CE,GF=EF,CF垂直平分EG,可根據(jù)直角三角形全等的

判定定理“私”證明7?2/加絲/?力_鹿，得DG=BE=2,則AG=2,則

AE=AB+BE=6,即可根據(jù)勾股定理求出EG=2何，再由AG?+AF?=，且

m=6—所得+（6-EF￥=EF2,則所=g,由

[x2而FH=1x^x2=SJFG,求得加=我，即可得出答案.

2233

【詳解】解：???四邊形43。是邊長(zhǎng)為4的正方形，

:.AB=AD=CD=CB=4,4=/A=NABC,

ZD=/CBEK。，

由翻折得CG=CE,GF=EF,C/垂直平分EG,

在HCDG^Rt.CBE^p,

試卷第6頁(yè)，共25頁(yè)

CG=CE

CD=CB

:.RtKDG"RtJJBElHD,

DG=BE=2,

:?AG=AD-DG==2,

VAE=AB+BE=4+2=6,

???EG=VAG2+AE2=722+62=2V10?

VAG2+/4F2=FG2,且正=6—4，

???22+(6-EFY=EF2,

解得所=?，

?：-EG-FH=-EF-AG=S,

22?FFr

:.-x2而FH=1x—x2,

223

解得/7/=叵,

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，

根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)和方法，正確求出EG和E尸的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.已知x=l是關(guān)x的方程爐+g+3=0的一個(gè)根，則機(jī)=.

【答案】-4

【分析】把x=l代入原方程可得答案.

【詳解】解：把x=l代入原方程：1+機(jī)+3=0,

zn=-4,

故答案為：m=Y.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含義是解題的關(guān)鍵.

12.五線譜是一種記譜法，通過在五根等距離的平行橫線上標(biāo)以不同時(shí)值的音符及其他

AD

記號(hào)來記載音樂.如圖，A,B,C為直線/與五線譜的橫線相交的三個(gè)點(diǎn)，則券的值

是.

【答案】2

【分析】過點(diǎn)A作4。_La于。，交b于E,根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式,

計(jì)算即可.

【詳解】過點(diǎn)A作于。，交b于E,

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

13.一個(gè)不透明的袋子里裝有紅、白兩種顏色的球共20個(gè)，每個(gè)球除顏色外都相同，

每次摸球前先把球搖勻，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回袋子里，不斷重

復(fù)這一過程，將實(shí)驗(yàn)后的數(shù)據(jù)整理成如表：

摸球次數(shù)501002005008001000

摸到紅球的頻數(shù)112750124201249

摸到紅球的頻率0.2200.2700.2500.2480.2510.249

估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)是.

【答案】5

【分析】根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定值即為概率值求出紅球的概率，進(jìn)而求出紅球

的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，摸到紅球的頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.25附近，

“摸到紅球”的概率的估計(jì)值是0.25.

,估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)是20x0.25=5個(gè).

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了用頻率估計(jì)概率，已知概率求數(shù)量，熟知大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率

試卷第8頁(yè)，共25頁(yè)

的穩(wěn)定值即為概率值是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，已知A是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=§x>0）的圖像上，AB交

x軸于點(diǎn)C,OA=OB,N4Q8=120。，AOC的面積為26,則g.

【答案】3也

【分析】過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D,根據(jù)題意結(jié)合圖形及含30度角的直角三角形的性

質(zhì)得出再由三角形面積求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)。，如圖所示.

ZBOD=ZAOB-ZAOC=120°-90°=30°,Z（MC=30°,

:.BD=；OB.OA=+OC,

???AOC的面積為26，

：.-OAOC=2y/3,BP-XV3OC-OC=2A/3,

22

解得OC=2,

?"OA=OB=2>/3,

:.BD=6OD=3,即B點(diǎn)坐標(biāo)為（3,6）

??k=35/5.

故答案為：3省.

【點(diǎn)睛】題目主要考查反比例函數(shù)與三角形面積及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟

練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

15.如圖，已知RtaABC中，ZACB=90°,E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作交CE

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，若89=4,CD=8,則AC=.

【答案】竿

【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)尸，先根據(jù)題意作出輔助線，利用直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半求出AE=B￡=CE=x,利用勾股定理推出B爐+身>=06,即

222

X+4=（8-X）,解出x的值，可求出AE、BE、CE和DE的長(zhǎng)，根據(jù)=

和NCE尸=N￡>EB推出“CFES.QBE,可求出EF和CF的長(zhǎng)，再求出AF的長(zhǎng)，利用勾

股定理即可求出AC的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作C尸1Afi于點(diǎn)尸，

設(shè)CE=x,則OE=CO-CE=8-x,

?.?在Rt^ABC中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，

/.AE=BE=CE=x,

BDA.AB,

.\ZEBD=90°,

BE2+BD2=DE2>BPX2+42=（8-X）\

解得：x=3,

.\AE=BE=CE=3fDE=8-3=5,

CF1AB,

NCFE=/CFA=900,

/./CFE=/DBE,

試卷第10頁(yè)，共25頁(yè)

又./CEF=/DEB,

.CFEDBE,

CEEFCF3EFCF

——=——=——,即nn一=——=——

DEEBDB534

912

解得：EF=g，CF=-f

96

/.AF=AE-EF=3--=-

55t

ZCFA=90°f

AC=y/AF2+CF2考

故答案為：哈

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔

助線及利用直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.解方程：X2-4X-12=0.

【答案】%=6,馬=—2

【分析】利用因式分解法解方程.

【詳解】解：x2-4x-12=0,

因式分解得：(x-6)(x+2)=0,

x-6=0或x+2=0,

解得：%=6,々=-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)

鍵.

17.為慶祝神舟十五號(hào)教人飛船發(fā)射取得圓滿成功，某校舉辦了航天航空科技體驗(yàn)活動(dòng)，

內(nèi)容有三項(xiàng)：A.聆聽航天科普講座，B.參加航天夢(mèng)想營(yíng)，C.參觀航天科技展.每位

同學(xué)從中隨機(jī)選擇一項(xiàng)參加.

(1)該校小明同學(xué)選擇“參加航天夢(mèng)想營(yíng)''的概率是」

(2)請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求該校小亮同學(xué)和小穎同學(xué)同時(shí)選擇“參觀航天科技展”

的概率.

【答案】(i)5

⑵3

【分析】(1)根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)畫出樹狀圖，求出概率即可.

【詳解】(1)解：小明同學(xué)的選擇共有3種等可能的結(jié)果，其中選擇“參加航天夢(mèng)想營(yíng)”

只有1種結(jié)果，

P=—?,

3

故答案為：

(2)解：畫出樹狀圖，如下：

共有9種等可能的結(jié)果，其中該校小亮同學(xué)和小穎同學(xué)同時(shí)選擇“參觀航天科技展''的結(jié)

果有1種，

，該校小亮同學(xué)和小穎同學(xué)同時(shí)選擇“參觀航天科技展''的概率為.

【點(diǎn)睛】本題考查畫樹狀圖法求概率.熟練掌握樹狀圖的畫法，概率公式，是解題的關(guān)

鍵.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是44,8),8(4,4),C(10,4),

△A4G與ABC關(guān)于原點(diǎn)。位似，AB,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，穌G，其中用的坐標(biāo)是

(□△A與G和JU3C的相似比是「

試卷第12頁(yè)，共25頁(yè)

(2)請(qǐng)畫出△44G；

(3)8c邊上有一點(diǎn)M(a,b),在8c邊上與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是」

(4)/\AgG的面積是

【答案】⑴2

(2)見解析

(3)(g4,gb)

(4)3

【分析】(I)直接利用8點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出相似比;

(2)利用相似比即可得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而確定答案；

(3)直接利用位似圖形的性質(zhì)得出M點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(4)利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】(1)解：△ABC和.43。的相似比是!；

故答案為：g;

(2)如圖所示，△AAG即為所求；

yk

-2

(3)BC邊上有一點(diǎn)在8c邊上與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(ga.gb)；

故答案為：(2a,±6);

22

(4)的面積是：gqC「A4=；x3x2=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似變換以及三角形面積求法，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)

鍵.

19.某商店銷售一款工藝品，每件成本為100元，為了合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷.據(jù)

市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)是160元時(shí)，每月的銷售量是200件，而銷售單價(jià)每降價(jià)1元，每月

可多銷售10件.設(shè)這種工藝品每件降價(jià)x元.

(1)每件工藝品的實(shí)際利潤(rùn)為一元(用含有*的式子表示)；

(2)為達(dá)到每月銷售這種工藝品的利潤(rùn)為15000元，且要求降價(jià)不超過20元，那么每件

工藝品應(yīng)降價(jià)多少元？

【答案】(1)(60-x)

⑵10元

【分析】(1)用銷售單價(jià)減去成本即可得答案.

(2)設(shè)每件工藝品應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)每月的銷售利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)x每月的銷售量，即

可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)每件工藝品的實(shí)際利潤(rùn)為：160—X-100=(60-x)元，

故答案為:(60-x).

(2)設(shè)每件工藝品應(yīng)降價(jià)x元，依題意得：

(160-100-x)x(2(X)+10x)=15000,

解得：%=10,A=30(不符題意，舍去).

答：每件工藝品應(yīng)降價(jià)10元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

20.如圖，已知中，。是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作龐〃/。交AB于點(diǎn)E,作

DFA8交AC于點(diǎn)凡連接AO.

⑴下列條件：

①。是BC邊的中點(diǎn)；

②AD是二A8c的角平分線;

試卷第14頁(yè)，共25頁(yè)

③點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于直線對(duì)稱.

請(qǐng)從中選擇一個(gè)能證明四邊形AEDF是菱形的條件，并寫出證明過程;

(2)若四邊形AEDF是菱形，且A￡=2,CF=\,求BE的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

(2)4

【分析】(1)選擇條件②：先由角平分線的定義得到NA仞=NFAD,再由應(yīng)'〃/C,

DFAB,可得四邊形AEDE是平行四邊形，ZEAD=ZFDA,進(jìn)一步證明

ZFDA=ZFAD,得到所即可證明平行四邊形AFDE是菱形；選擇條件③：同

理可證四邊形AEDE是平行四邊形，再由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到。￡即可證明平行

四邊形A/T應(yīng)是菱形；

(2)由菱形的性質(zhì)得到AE=AF=Z)E=2,則AC=3,證明BDE^.BCA,得到

【詳解】(1)證明：選擇條件②：

???AD是_ABC的角平分線，

/LEAD=NE4D,

,/DE//AC,DFAB,

，四邊形"DE是平行四邊形，ZEAD=ZFDA,

：.ZFDA=ZFAD,

：.AF=DF,

平行四邊形AFDE是菱形;

選擇條件③：

,/DE//AC,DFAB,

???四邊形AEDE是平行四邊形，

??,點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線AO對(duì)稱,

:.DE=DF,

，平行四邊形AFOE是菱形;

(2)解：：四邊形是菱形，AE=2,

：.AE=AF=DE=2,

：.AC=AF+CF=3,

*/DE//AC,

BDEs&BCA,

.BEDEBE2

..=,即an------=—,

ABACBE+23

，BE=4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的

性質(zhì)與判定，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等等，熟知菱形的性質(zhì)與

判定條件是解題的關(guān)鍵.

21.【定義】在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)與另一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)之間的距離的

最小值，稱為這兩個(gè)圖形之間的距離，即48分別是圖形M和圖形N上任意一點(diǎn)，當(dāng)

A8的長(zhǎng)最小時(shí)，稱這個(gè)最小值為圖形M與圖形N之間的距離.

例如，如圖1,線段AB的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)A與直線&之間的距離，當(dāng)時(shí)，線

段AB的長(zhǎng)度也是4與A之間的距離.

【應(yīng)用】

(1)如圖2,在等腰Rt84c中，ZA=90°,=AC,點(diǎn)。為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)。

作￡>E〃BC交AC于點(diǎn)E.若AB=6,4)=4,則DE與BC之間的距離是_；

(2)如圖3,已知直線4：y=-x+4與雙曲線G：y=A(x>0)交于與B兩點(diǎn)，

點(diǎn)A與點(diǎn)8之間的距離是_，點(diǎn)。與雙曲線G之間的距離是」

【拓展】

(3)按規(guī)定，住宅小區(qū)的外延到高速路的距離不超過80m時(shí)，需要在高速路旁修建與

高速路相同走向的隔音屏障(如圖4).有一條“東南-西北”走向的筆直高速路，路旁某

住宅小區(qū)建筑外延呈雙曲線的形狀，它們之間的距離小于80m.現(xiàn)以高速路上某一合適

位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系，此時(shí)高速路所在直線乙的函數(shù)表達(dá)式

為〉=-X,小區(qū)外延所在雙曲線C?的函數(shù)表達(dá)式為卜=平(》>0),那么需要在高速

路旁修建隔音屏障的長(zhǎng)度是多少？

試卷第16頁(yè)，共25頁(yè)

【答案】（1）0;（2）2立，瓜（3）80米

【分析】（1）過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,得出△3?！笆堑妊苯侨切危鶕?jù)等腰直

角三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；

（2）先根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A（l,3）,然后再求出反比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)

5（3,1）,根據(jù)兩點(diǎn)點(diǎn)距離公式求出A8的值即可；作尸G〃A3,且FG與雙曲線丫=三只

有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線叩的解析式為y=r+b,求出一次函數(shù)解析式，再求出交點(diǎn)坐標(biāo)，

最后求出OK的值即可；

（3）作直線AB〃/「設(shè)A8的解析式為尸T+"與雙曲線丫=羿（》＞0）交于點(diǎn)人

B,過點(diǎn)。作OP1AB于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作P"_Lx軸于點(diǎn)4,過點(diǎn)A、8分別作直線的垂

線AE、BF,垂足為E、F,先求出直線A3的解析式，然后求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)

兩點(diǎn)之間距離公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而即可得出答案.

【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)力作于點(diǎn)兒

VZA=90°,AB=AC,

AZB=45°,

,:DHtBC,

???△比歸是等腰直角三角形，

，DH=—BD

29

VAB=6?AD=4,

:.BD=AB—AD=6—4=2,

???DH=—x2=^;

2

故答案為：yjl：

(2)把A(l,m)代入y=-x+4中，得：帆=T+4=3,

把A(l,3)代入y=￡得：3=y,

X1

.*?k=3f

???雙曲線G的解析式為y=±,

X

3

聯(lián)立，得：-x+4=二，

x

BPX2-4X+3=0，

解得：玉=1,々=3,

3(3,1),

AB=J(l-3『+(3-1)2=2V2;

如圖，作尸G〃43,且FG與雙曲線y=士只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線FG的解析式為y=-x+b,

X

3

則-x+Z?=一,

整理得：x2-bx+3=0,

.?.△=(-b)2-4xlx3=〃-12=0,

試卷第18頁(yè)，共25頁(yè)

???6=26或方=—20(彳;符合題意，舍去),

二直線FG的解析式為y=-x+2y/3,

3

由-x+=一,

X

解得：玉=W,

???K("@,

?*-OK=+(6)=y/6;

故答案為：2亞;V6.

(3)如圖，作直線AB〃/4,設(shè)A8的解析式為y=-x+b,與雙曲線y=T^(x>0)交

于點(diǎn)A、B,過點(diǎn)。作0尸1口于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作尸”JLx軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)A、B分別作

則OP=80m,

?.?直線y=-x平分第二、四象限角，

N"W=45°,

APOH=90°-45°=45°,

.POH是等腰直角三角形，

/?PH=OH=—OP=40A/2,

2

P(40x/2,405/2),

代入y=-x+6,得40人=-40&+人

解得：匕=80&，

y=-x+80&,

聯(lián)立得：-x+8O0=理，

X

解得：x=20&或60夜，

A(2O0,6O閭，B(60夜,20a),

/?AB=,(600-26耳+(20及-60用=80,

VAB//EF,AE//BF,

：.四邊形A3硬是平行四邊形，

,/AELEF,

二四邊形ABRE是矩形，

所=48=80m,

答：需要在高速路旁修建隔音屏障的長(zhǎng)度是80米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，兩點(diǎn)之間距離公式，矩形

的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握兩點(diǎn)之間距離公式，準(zhǔn)確計(jì)算.

22.過四邊形ABC。的頂點(diǎn)4作射線A",P為射線A/上一點(diǎn)，連接OP.將AP繞點(diǎn)

A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AQ,記旋轉(zhuǎn)角NPAQ=a,連接8Q.

(1)如圖1,數(shù)學(xué)興趣小組探究發(fā)現(xiàn)，如果四邊形A8C。是正方形，且a=90。.無(wú)論點(diǎn)P

在何處，總有8Q=OP,請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論.

(2)如圖2,如果四邊形ABCD是菱形，ZDAB=a=60°,ZMAD=\50,連接P0.當(dāng)

PQA-BQ,A8=〃+&時(shí)，求4P的長(zhǎng)；

⑶如圖3,如果四邊形A8CO是矩形，AD=6,AB=8,AM平分ND4C,a=90。.在

射線AQ上截取AR,使得AR=三AP.當(dāng)△尸BR是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出AP的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析

試卷第20頁(yè)，共25頁(yè)

(2)AP=2

⑶苧或警

【分析】(1)利用正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換證明ADP^ABQ(SAS),即可證得結(jié)論;

(2)如圖2,過點(diǎn)P作于點(diǎn)兒連接8P,先證明..4)Pg,AfiQ(SAS),可

得BQ=DP,ZAPD=ZAQB,再證明：A"。是等邊三角形，VA/W是等腰直角三

角形，VBPQ是等腰直角三角形，利用解直角三角形即可求得答案；

(3)分三種情況討論：①當(dāng)NBRP=90。時(shí)，②當(dāng)ZP5R=90°時(shí)，③當(dāng)N5/>R=90。時(shí)，

分別求出”的長(zhǎng)即可.

【詳解】(1)證明：如圖1,:四邊形ABC。是正方形，

:.AD=AB,ZBAD=90°,

:.ADAP+ZBAM=90°,

ZPAQ=90°,

^BAQ+ZBAM=90°,

ZDAP=ZBAQ,

???將AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至AQ,

AP=AQ,

ADP^ABQ(SAS),

BQ=DP.

(2)解：如圖2,過點(diǎn)P作于點(diǎn)H,連接BP,

???四邊形ABC。是菱形,

.\AD=AB,

由旋轉(zhuǎn)得：AP=AQ,

ZDAB=a=60°t即NO45=NPAQ=60。，

ZDAP+ZBAM=60°f/84Q+NB4"=60。,

.?.NDAP=/BAQ,

/..ADP^AB（2（SAS）,

/.BQ=DPfZAPD=ZAQB1

AP=AQfZPAQ=60°,

??.△APQ是等邊三角形，

.?.ZAQP=60。，

PQtB。,

/.ZBQP=90°,

/.ZAQB=ZAQP+Z.BQP=60°+90°=l50°,

:.^APD=ZAQB=15O°t

：./DPM=180°-z64PD=180°-l50°=30°,

ZAM￡>=15°,

??.ZAZ>P=NOPM-ZM4D=30。-15。=15。，

:.ZADP=ZMAD,

:.AP=DP,

：,AQ=BQ=PQ=APf

ZABQ=NBAQ=ZMAD=15°,

/PAH=Z.PAQ-ZBAQ=60°-15°=45°,

PHLAB,

??.ZAHP=4BHP=90°,

.二APH是等腰直角三角形，

AH=PH=AP-sin45°=—AP

29

BQ=PQ9NPQB=90。,

??.3PQ是等腰直角三角形，

???NPBQ=45。，

ZPBH=Z.PBQ-ZABQ=45。-15。=30°,

試卷第22頁(yè)，共25頁(yè)

&APr

2—=&P'

BH=———

tanNPBHtan3002

；.AB=AH+BH當(dāng)AP瀉APJ^AP,

AB=#+&,

AP=2;

（3）解：①當(dāng)NBRP=90。時(shí)，如圖3,連接。P,PQ,過點(diǎn)B作AQ于點(diǎn)￡

設(shè)AM交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作尸6八AC于點(diǎn)G,

???四邊形ABC。是矩形,

ZBAM+ZDAP=90°fZADC=90。，

ZBAM+ZBAR=90°f

:.ZDAP=ZBAR，

AD=6,AB=8,

AD63

-----=————

AB84

4

AR=-AP

3f

.AP_3

A^-4

ADAP

法一赤

.;ADPsABR,

DPAD634

-=即3R=—OP,

843

AM平分ND4C,FD1AD,FGAAC,

:.FD=FG,

在RtAACD中，AC=y/AD2+CD2=762+82=10，

/.sinZACD=—=—=-

AC105

FG,“八3

.?=smZ.ACD=—,

CF5

DF3

z.——=:

CF5

DF+CF=CD=8,

:.DF=3,CF=5,

在RtADF中，AFUJAD,+DF：=招+32=3亞，

ZBAR=/DAP,