人教A版高中數學(選擇性必修一)同步培優(yōu)講義綜合測試卷：選擇性必修一全冊（基礎篇）（教師版）

選擇性必修一全冊綜合測試卷-基礎篇參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022·黑龍江·高二階段練習）已知a=1,0,1，b=?2,?1,1，c=A．?9,?3,0 B．0,2,?1 C．9,3,0 D．9,0,0【解題思路】直接由向量的坐標運算即可得出答案.【解答過程】a?故選：C.2．（5分）（2022·北京市高二階段練習）下列命題正確的個數是（

）①經過定點Px0，②直線l過點Px0，y③在坐標軸上截距相等的直線都可以用方程xa④直線y=ax?3a+2a∈RA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據直線斜率是否存在可判斷①②，根據截距可以為0可判斷③，由直線恒過定點可判斷④.【解答過程】當直線過點Px0，y0且與x直線l過點Px0，y0，傾斜角為90°在坐標軸上截距相等的直線可能過原點，所以不一定能用xa+y直線y=ax?3a+2a∈R可化為y=a(x?3)+2，故恒過定點(3,2)，故故選：B.3．（5分）（2023·全國·高三專題練習）若直線l的方向向量為a=1,0,2，平面α的法向量為A．l∥α B．l⊥αC．l?α或l∥α D．l與α斜交【解題思路】利用直線的方向向量和平面的法向量垂直來判斷直線和平面的位置關系.【解答過程】∵a=1,0,2，∴a?n=0∴l(xiāng)∥α或l?α.故選：C.4．（5分）（2022·湖南·高二階段練習）空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在OA上，OM=23A．12aC．12a【解題思路】利用向量的加減法，將MN分解用a,【解答過程】由圖可知：MN=即MN=?故選：B.5．（5分）（2022·湖南·高二階段練習）已知圓C:x?22+y2=4，直線過點A1,1交圓C于A．2,2 B．2,4 C．2,2【解題思路】首先得到圓心坐標與半徑，即可判斷點A在圓內，即可求出弦長最大、最小值，即可得解.【解答過程】解：圓C:x?22+y2=4的圓心所以點A1,1當直線過圓心C時，弦長PQ取最大值4，當直線l⊥AC時，圓心C到直線的距離最大，最大值為AC=2?12+0?12故選：D.6．（5分）（2022·全國·高三專題練習）過拋物線y2=4x的焦點F的直線與其交于A，B兩點，AF>BF，如果AF=5A．352 B．54 C．【解題思路】設Ax,y，根據AF=5，利用拋物線定義求得點A的坐標，進而得到直線AF的方程，求得點【解答過程】解：拋物線的焦點F1,0，準線方程為x=?1設Ax,y，則AF=x+1=5，故x=4，此時即A4,4，則直線AF的方程為y?04?0=代入y2=4x得4x2?17x+4=0則BF=故選：B．7．（5分）（2022·全國·高三專題練習）設e1，e2分別為具有公共焦點F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點，且滿足PFA．3 B．92 C．4 D．【解題思路】對橢圓和雙曲線的離心率分別求出，首先根據橢圓及雙曲線的定義求出PF12+PF，就得到了a,m,c的關系，最后利用基本不等式求得最小值.【解答過程】解：由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義PF1?由橢圓的定義PF1+PF2=2a②①2+②2得PF12+P∴4e故選：B．8．（5分）（2021·四川·高二階段練習（理））已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0與直線y=kx交于A,B兩點，點P為C上一動點，記直線PA,PB的斜率分別為kPA,A．a=4B．曲線C的離心率為6C．若PF1⊥PFD．若△PF1F2的面積為【解題思路】由題意可求得雙曲線的離心率以及求得a,b的值，故可判斷A,B;根據PF1⊥PF2，求得焦半徑|PF1|，|PF【解答過程】設點A(x1，y1)，B(?x1，則x12a2?y1因為kPA?kPB=(y故雙曲線C的漸近線方程為y=±1因為焦點(c,0)到漸近線y=12x的距離為1，所以c即有a2+b2=5，所以a=2對于C，不妨設P在C的右支上，記|PF2|=t，則|PF1解得t=6?2或所以△PF1F2的面積為對于D，設P(x0，y0)，因為將|y0|=2代入C:x2由對稱性，不妨取P的坐標為(25,2)，則|P因為cos所以∠PF2F1為鈍角，所以故選：D．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022·湖南·高二階段練習）已知向量a=1,1,0，則與a共線的單位向量e=A．?22C．?22【解題思路】根據a=1,1,0與【解答過程】由a=1,1,0，得所以當e與a同向時，e=當e與a反向時，e=?故選：AD.10．（5分）（2022·山西·高二階段練習）過點P-3,-1的直線l與圓xA．0° B．30° C．45° D．60°【解題思路】設出直線方程，根據直線與圓的位置關系求出斜率，即可得解．【解答過程】設過點P的直線方程為y=k(x+3)-1，則由直線與圓相切知3k-1故選：AD．11．（5分）（2022·全國·模擬預測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H，I分別為AD，AB，A．直線D1E與直線B．點D與點B到平面D1C．直線EF與平面HIG平行D．D1F與GH【解題思路】根據給定的正方體，建立空間直角坐標系，再借助空間向量逐項分析求解作答.【解答過程】在正方體ABCD?A1B1C則D(0,0,0),D對于A，D1E=(1,0,?2),GD=(?2,?2,?1)對于B，EF=(1,1,0),DB=(2,2,0)=2EF，即EF//而EF?平面D1EF，DB?平面D1EF，因此DB//平面D1EF，所以點對于C，IH=(1,1,0)=EF，即IH//EF，而又IH?平面HIG，EF?平面HIG，因此EF//平面HIG，C正確；對于D，D1F=(2,1,?2),GH=(?1,0,1)，令D則cosθ=|cos?故選：ABC.12．（5分）（2022·湖南永州·一模）拋物線C:y2=2px(p>0)，點M(?3,0)在其準線l上，過焦點F的直線m與拋物線C交于A,B兩點（點AA．p=6B．∠AMB有可能是鈍角C．當直線m的斜率為3時，△AFM與△BFM面積之比為3D．當直線AM與拋物線C只有一個公共點時，|AB|=12【解題思路】對于A，利用拋物線的準線方程即可求解；對于B,對直線m的斜率存在和不存在時進行分類討論，得到MA,MB，計算MA?MB即可判斷；對于C，可得到S△AFMS△BFM=?y1y2，通過計算出【解答過程】解：對于A，由拋物線C:y2=2px(p>0)又點M(?3,0)在其準線l上，所以?p2=?3對于B，由A選項可得y2=12x，且焦點當直線m的斜率存在時，設直線m:y=kx?3，A則y=kx?3y2所以x1+x因為MA所以MA=x所以cos∠AMB=MA?MBMA當直線m的斜率不存在時，直線m:x=3，所以將x=3代入拋物線可得y=±6，則A3,6則MA=6,6,MB=對于C，S△AFM=1所以S△AFM所以當k=3時，y1+y2所以S△AFM對于D，易得直線AM的斜率存在，設直線AM的方程為y=mx+3所以由y=mx+3y2=12x因為直線AM與拋物線C只有一個公共點，所以Δ=6m又因為點A在第一象限，所以m>0，則m=1，①可變成x2?6x+9=0，解得x由B選項可得此時B3,?6，所以AB故選：ACD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022·天津市高二階段練習）過點Am,3,??B?1,m兩點的直線與直線l平行，直線l的傾斜角為【解題思路】根據題意,求出直線AB的斜率和直線l的斜率，由AB//【解答過程】因為直線l的傾斜角為45°，所以直線l的斜率k=過Am,3,??由直線AB與直線l平行，所以3?mm+1=1解得故答案為：1.14．（5分）（2022·江蘇·高二階段練習）在平面直角坐標系中，過點A(3，5)作圓O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切線，則切線的方程為5x－12y＋45＝0或x－3＝0.【解題思路】首先判斷點與圓的位置關系，然后設出直線的方程，進而根據圓心到直線的距離等于半徑即可求出結果.【解答過程】因為32+5且x2+y若切線斜率不存在，即x=3，圓心1,2到直線x=3的距離為2，故直線x=3是圓的切線，若切線的斜率存在，設切線方程為y?5=kx?3，即kx?y?3k+5=0則k?2?3k+5k2+1=2，則3?2kk所以y?5=512x?3綜上：切線的方程為5x?12y+45=0或x=3.故答案為：5x?12y+45=0或x=3.15．（5分）（2022·湖北·高一期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB,AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點，則直線BM與AP所成角的余弦值為63【解題思路】記AB=a,AD=b,【解答過程】記AB=因為AB=AD=1,PA=2，所以|a又因為AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°，所以a?易得BM=所以|=1所以BM=又BM?故答案為：6316．（5分）（2022·全國·高二課時練習）已知點P在雙曲線C：x216?y29=1上，F1、F2①點P到x軸的距離為203；②PF1+PF2【解題思路】根據雙曲線的方程、定義與性質，結合三角形的面積求出P的坐標，結合兩點的距離公式、斜率公式以及余弦定理，對選項逐一判斷即可.【解答過程】由已知a=4,b=3,c=5因為點P在雙曲線上，F1、F2是雙曲線C的左、右焦點，所以12yP?2c=5y對于①，點P到x軸的距離為4，故①錯誤.對于②，由對稱性，不妨設P203,4.因為F所以PF1+對于③，由對稱性，不妨設P203,4結合PF1+PF所以在△PF1F所以∠F1F對于④，由對稱性，不妨設P203,4，由③的判斷過程知，P則S△P所以sin∠F1PF故答案為：②③.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022·新疆·高二期末（文））求適合下列條件的圓錐曲線方程：(1)焦點坐標為(2,0)，短軸長為2的橢圓方程.(2)焦點在x軸上，a=25經過點A(?5,2)【解題思路】（1）由已知得c=2,b=1，根據橢圓中a、b、c三量關系求出a值即可得到橢圓方程；（2）已知a和雙曲線上一點，設雙曲線方程，通過待定系數法求解即可.【解答過程】（1）根據題意可得，橢圓長軸在x軸上，且c=2,b=2所以a2所以橢圓方程為x2（2）根據題意可得，雙曲線實軸在x軸上，設雙曲線方程為x2則2520?4所以雙曲線方程為x218．（12分）（2022·湖南·高二階段練習）已知空間中三點A(?2,0,2)，B(?1,1,2)，C(?3,0,4)，設AB=a，(1)求向量a與向量b的坐標；(2)若ka+b與k【解題思路】（1）根據空間向量坐標表示公式進行求解即可；（2）根據空間向量垂直的坐標表示公式進行求解即可.【解答過程】（1）a=(1,1,0)，b（2）∵ka+b且ka+b∴(k?1,k,2)?(k+2,k,?4)=2k解得k=2或k=?519．（12分）（2022·北京市高二階段練習）已知△ABC頂點A(1)求BC邊上中線所在的直線方程(2)求BC邊上高線所在的直線方程．【解題思路】（1）求出線段BC的中點坐標，用兩點式求出直線方程，化為一般方程；（2）求出直線BC的斜率，得到BC邊上高線所在直線的斜率，利用點斜式求出直線方程，化為一般方程.【解答過程】（1）線段BC的中點坐標為?1+12,?3+1所以BC邊上中線所在的直線方程為：y+1x?0整理得：x?3y?3=0；（2）直線BC的斜率為1+31+1所以BC邊上高線所在直線的斜率為?1所以BC邊上高線所在直線的方程為y=?1整理得：x+2y?3=0.20．（12分）（2022·江蘇·高二階段練習）在平面直角坐標系xOy中，設C是直線x－y－6＝0上的點，且點A（4，0），B（6，2）在以C為圓心的圓上．(1)求圓C的方程；(2)若直線x＝ay＋4被圓C截得的弦長為2，求a的值．【解題思路】（1）根據題意設圓心坐標，結合圓的定義運算求解；（2）根據垂徑定理d2+(【解答過程】（1）由題意設C(c,c?6)，由圓的性質得|CA|=|CB|，即(c?4)2+所以圓心C(6,0)，半徑r為2，則圓C的方程為：(x?6)（2）設弦長為L，圓心C到直線的距離為d，則由垂徑定理得d由已知得d=2a2所以有4a2+121．（12分）（2022·河北·高二期末）如圖，四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E為PC中點．(1)求證：DE⊥平面PCB；(2)求二面角E?BD?P的余弦值．【解題思路】（1）根據條件先證BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DE⊥PC，即可證明DE⊥平面PCB.（2）以點D為坐標原點，分別以直線DA，DC，DP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.【解答過程】（1）證明:∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，又∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，∵PD＝CD，E是PC的中