2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題五解析幾何微專題4圓錐曲線中的定點(diǎn)定值存在性問題大題考法3存在性問題

大題考法3存在性問題(2023·惠州模擬)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(－2，0)在橢圓上且|AF|＝3.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)P、Q分別在橢圓C和直線x＝4上，OQ∥AP，M為AP的中點(diǎn)，若T為直線OM與直線QF的交點(diǎn)．是否存在一個(gè)確定的曲線，使得T始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請說明理由．解：(1)因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)A(－2，0)，所以a＝2.因?yàn)閨AF|＝3，所以a＋c＝3，得c＝1.故b2＝a2－c2＝3，從而橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)設(shè)P(x0，y0)(x0≠±2)，則直線AP的斜率為eq\f(y0,x0＋2).因?yàn)镺Q∥AP，所以直線OQ的方程為y＝eq\f(y0,x0＋2)x.令x＝4可得y＝eq\f(4y0,x0＋2)，所以Q(4，eq\f(4y0,x0＋2))，又M是AP的中點(diǎn)，所以M(eq\f(x0－2,2)，eq\f(y0,2))．從而eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\f(x0－2,2)，eq\f(y0,2))，eq\o(FQ,\s\up6(→))＝(3，eq\f(4y0,x0＋2))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))＝eq\f(3（x0－2）,2)＋eq\f(2yeq\o\al(2,0),x0＋2)＝eq\f(3（xeq\o\al(2,0)－4）＋4yeq\o\al(2,0),2（x0＋2）)，①因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，故3xeq\o\al(2,0)＝12－4yeq\o\al(2,0)，代入式①可得eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(FQ,\s\up6(→))＝0，從而OM⊥FQ，所以點(diǎn)T始終在以O(shè)F為直徑的圓上，且該圓方程為(x－eq\f(1,2))2＋y2＝eq\f(1,4).1．解決探索性問題的注意事項(xiàng)．探索性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在．(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論．(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件．(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要開放思維，采取另外合適的方法．2．存在性問題的求解方法．(1)存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．其步驟為：假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為F，A，B(0，b)，|AF|＝1，點(diǎn)M在線段AB上，且滿足|BM|＝eq\r(3)|MA|，直線OM的斜率為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在與F不同的定點(diǎn)E，使得|EP|·|FQ|＝|EQ|·|FP|恒成立？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：(1)因?yàn)閨AF|＝1，所以c－a＝1，因?yàn)辄c(diǎn)M在線段AB上，且滿足|BM|＝eq\r(3)|MA|，所以M(eq\f(\r(3)a,\r(3)＋1)，eq\f(b,\r(3)＋1))，因?yàn)橹本€OM的斜率為1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以eq\f(b,\r(3)a)＝1，即b＝eq\r(3)a，結(jié)合c2＝a2＋b2，解得c＝2，a＝1，b＝eq\r(3)，所以雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)因?yàn)閨EP|·|FQ|＝|EQ|·|FP|恒成立，即eq\f(FP,FQ)＝eq\f(EP,EQ)恒成立，可知EF為∠PEQ的角平分線，即kEP＋kEQ＝0，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，P在x軸上任意非F點(diǎn)都成立，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，且斜率不為0，設(shè)直線PQ的方程為x＝my＋2，m≠0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，假設(shè)存在E(s，0)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,3x2－y2＝3，))整理可得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，3m2－1≠0，y1＋y2＝－eq\f(12m,3m2－1)，y1y2＝eq\f(9,3m2－1)，因?yàn)閗EP＋kEQ＝0，所以eq\f(y1,x1－s)＋eq\f(y2,x2－s)＝0，整理可得y1(my2＋2－s)＋y2(my1＋2－s)＝0，即2my1y2＋(2－s)(y1＋y2)＝0，即2m·e