2024屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試第一部分專題二數(shù)列微專題2數(shù)列求和及簡單應用大題考法1公式求和與分組求和

大題考法1公式求和與分組求和(2023·廣東模擬)已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且8Sn＝(an＋2)2(n∈N*)．(1)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(2)已知an＝logeq\r(3)bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.(1)證明：因為8Sn＝(an＋2)2，所以8Sn＋1＝(an＋1＋2)2，相減得，8Sn＋1－8Sn＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2，所以8an＋1＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋4(an＋1－an)，所以aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)－4(an＋1＋an)＝0，所以(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0.因為an＋1＋an>0，所以?n∈N*，an＋1－an＝4，又n＝1時，8S1＝8a1＝(a1＋2)2＝aeq\o\al(2,1)＋4a1＋4，得a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列．(2)解：由(1)得an＝a1＋(n－1)d＝2＋4(n－1)＝4n－2，因為an＝logeq\r(3)bn，所以bn＝(eq\r(3))an＝32n－1，即數(shù)列{bn}是以3為首項，9為公比的等比數(shù)列，所以Tn＝eq\f(3（1－9n）,1－9)＝eq\f(3（9n－1）,8).(2023·惠州模擬)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.(1)求證：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列；(2)若bn＝an＋n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.(1)證明：因為an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2(an－1)，因為a1＝2，則a2＝2a1－1＝3，a3＝2a2－1＝5，…，以此類推可知，對任意的n∈N*，an≥2，eq\f(an＋1－1,an－1)＝2，又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－1}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．(2)解：由(1)可知an－1＝2n－1，n∈N*，所以bn＝an＋n＝2n－1＋n＋1，又由題知Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(20＋2)＋(21＋3)＋(22＋4)＋…＋(2n－1＋n＋1)＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋[2＋3＋4＋…＋(n＋1)]＝eq\f(1－2n,1－2)＋eq\f(n（2＋n＋1）,2)＝2n＋eq\f(n2＋3n,2)－1.1．如果數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，在求和時用公式求和即可，(1)等差數(shù)列：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比數(shù)列：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))2．如果數(shù)列通項公式是兩類不同式子的和，一般采用分組求和．1．(2023·汕頭潮陽區(qū)三模)等差數(shù)列{an}和各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}滿足：a1＝b1＝2，a3＝b3＝8.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)數(shù)列{cn}是由數(shù)列{an}和{bn}中不同的項按照從小到大的順序排列得到的新數(shù)列，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求S100.解：(1)由題意得an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)d，bn＝b1qn－1＝2qn－1，又2＋2d＝2q2＝8(q>0)，解得d＝3，q＝2，故an＝3n－1，bn＝2n(n∈N*)．(2)當n＝100時，a100＝299，由2n<299，得n≤8，n∈N*，又b1＝a1，b3＝a3，b5＝a11，b7＝a43，故在數(shù)列{an}的前100項中含有數(shù)列{bn}中的4項，所以S100＝a1＋a2＋…＋a100－(b1＋b3＋b5＋b7)＋(b2＋b4＋b6＋b8)，所以S100＝eq\f(100×（2＋299）,2)－(2＋8＋32＋128)＋(4＋16＋64＋256)＝15220.2．(2023·惠州模擬)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知Sn，2n的等差中項為an.(1)求證{an＋2}為等比數(shù)列；(2)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋3)))的前n項和為Tn，是否存在整數(shù)k滿足Tn∈(k，k＋1)？若存在求k，否則說明理由．(1)證明：因為Sn，2n的等差中項為an，所以2an＝Sn＋2n，所以2an－1＝Sn－1＋2(n－1)，n≥2，兩式相減可得：2an－2an－1＝an＋2，n≥2，所以an＋2＝2(an－1＋2)，n≥2，又2a1＝S1＋2＝a1＋2，所以a1＝2，所以a1＋2＝4，所以{an＋2}是以首項為4，公比為2的等比數(shù)列．(2)解：由(1)可知an＋2＝4·2n－1，所以an＝2n＋1－2，所以eq\f(1,an＋3)＝eq\f(1,2n＋1＋1)，又0<eq\f(1,2n＋1＋1)<eq\f(1,2n＋1)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋3)))的前n項Tn>0，所以Tn＝eq\f(1,22＋1)＋eq\f(