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大題考法1公式求和與分組求和(2023·廣東模擬)已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且8Sn=(an+2)2(n∈N*).(1)證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;(2)已知an=logeq\r(3)bn,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.(1)證明:因為8Sn=(an+2)2,所以8Sn+1=(an+1+2)2,相減得,8Sn+1-8Sn=(an+1+2)2-(an+2)2,所以8an+1=aeq\o\al(2,n+1)-aeq\o\al(2,n)+4(an+1-an),所以aeq\o\al(2,n+1)-aeq\o\al(2,n)-4(an+1+an)=0,所以(an+1+an)(an+1-an-4)=0.因為an+1+an>0,所以?n∈N*,an+1-an=4,又n=1時,8S1=8a1=(a1+2)2=aeq\o\al(2,1)+4a1+4,得a1=2,所以數(shù)列{an}是以2為首項,4為公差的等差數(shù)列.(2)解:由(1)得an=a1+(n-1)d=2+4(n-1)=4n-2,因為an=logeq\r(3)bn,所以bn=(eq\r(3))an=32n-1,即數(shù)列{bn}是以3為首項,9為公比的等比數(shù)列,所以Tn=eq\f(3(1-9n),1-9)=eq\f(3(9n-1),8).(2023·惠州模擬)數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an-1.(1)求證:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列;(2)若bn=an+n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.(1)證明:因為an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),因為a1=2,則a2=2a1-1=3,a3=2a2-1=5,…,以此類推可知,對任意的n∈N*,an≥2,eq\f(an+1-1,an-1)=2,又a1-1=1,所以數(shù)列{an-1}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列.(2)解:由(1)可知an-1=2n-1,n∈N*,所以bn=an+n=2n-1+n+1,又由題知Tn=b1+b2+b3+…+bn=(20+2)+(21+3)+(22+4)+…+(2n-1+n+1)=(20+21+22+…+2n-1)+[2+3+4+…+(n+1)]=eq\f(1-2n,1-2)+eq\f(n(2+n+1),2)=2n+eq\f(n2+3n,2)-1.1.如果數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,在求和時用公式求和即可,(1)等差數(shù)列:Sn=eq\f(n(a1+an),2)=na1+eq\f(n(n-1),2)d.(2)等比數(shù)列:Sn=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1,q=1,,\f(a1(1-qn),1-q)=\f(a1-anq,1-q),q≠1.))2.如果數(shù)列通項公式是兩類不同式子的和,一般采用分組求和.1.(2023·汕頭潮陽區(qū)三模)等差數(shù)列{an}和各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}滿足:a1=b1=2,a3=b3=8.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;(2)數(shù)列{cn}是由數(shù)列{an}和{bn}中不同的項按照從小到大的順序排列得到的新數(shù)列,記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn,求S100.解:(1)由題意得an=a1+(n-1)d=2+(n-1)d,bn=b1qn-1=2qn-1,又2+2d=2q2=8(q>0),解得d=3,q=2,故an=3n-1,bn=2n(n∈N*).(2)當n=100時,a100=299,由2n<299,得n≤8,n∈N*,又b1=a1,b3=a3,b5=a11,b7=a43,故在數(shù)列{an}的前100項中含有數(shù)列{bn}中的4項,所以S100=a1+a2+…+a100-(b1+b3+b5+b7)+(b2+b4+b6+b8),所以S100=eq\f(100×(2+299),2)-(2+8+32+128)+(4+16+64+256)=15220.2.(2023·惠州模擬)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知Sn,2n的等差中項為an.(1)求證{an+2}為等比數(shù)列;(2)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an+3)))的前n項和為Tn,是否存在整數(shù)k滿足Tn∈(k,k+1)?若存在求k,否則說明理由.(1)證明:因為Sn,2n的等差中項為an,所以2an=Sn+2n,所以2an-1=Sn-1+2(n-1),n≥2,兩式相減可得:2an-2an-1=an+2,n≥2,所以an+2=2(an-1+2),n≥2,又2a1=S1+2=a1+2,所以a1=2,所以a1+2=4,所以{an+2}是以首項為4,公比為2的等比數(shù)列.(2)解:由(1)可知an+2=4·2n-1,所以an=2n+1-2,所以eq\f(1,an+3)=eq\f(1,2n+1+1),又0<eq\f(1,2n+1+1)<eq\f(1,2n+1),所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an+3)))的前n項Tn>0,所以Tn=eq\f(1,22+1)+eq\f(
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