2024屆高考數(shù)學二輪專題復習與測試第一部分專題四概率與統(tǒng)計01真題賞析類型五統(tǒng)計案例

類型五統(tǒng)計案例1．(2022·新高考Ⅰ卷)一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，eq\f(P（B|A）,P（B|A）)與eq\f(P（B|A）,P（B|A）)的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.(ⅰ)證明：R＝eq\f(P（A|B）,P（eq\o(A,\s\up6(－))|B）)·eq\f(P（eq\o(A,\s\up6(－))|eq\o(B,\s\up6(－))）,P（A|eq\o(B,\s\up6(－))）)；(ⅱ)利用該調查數(shù)據，給出P(A|B)，P(A|EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(—),B))的估計值，并利用(ⅰ)的結果給出R的估計值．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：(1)補充列聯(lián)表為：不夠良好良好合計病例組4060100對照組1090100合計50150200計算K2＝eq\f(200×（40×90－10×60）2,100×100×50×150)＝24>6.635，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異．(2)(ⅰ)證明：R＝eq\f(P（B|A）,P（eq\o(B,\s\up6(－))|A）)∶eq\f(P（B|eq\o(A,\s\up6(－))）,P（eq\o(B,\s\up6(－))|eq\o(A,\s\up6(－))）)＝eq\f(P（B|A）,P（eq\o(B,\s\up6(－))|A）)·eq\f(P（eq\o(B,\s\up6(－))|eq\o(A,\s\up6(－))）,P（B|eq\o(A,\s\up6(－))）)＝eq\f(\f(P（AB）,P（A）),\f(P（Aeq\o(B,\s\up6(－))）,P（A）))·eq\f(\f(P（eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))）,P（eq\o(A,\s\up6(－))）),\f(P（eq\o(A,\s\up6(－))B）,P（eq\o(A,\s\up6(－))）))＝eq\f(P（AB）·P（Aeq\o(B,\s\up6(－))）,P（eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))）·P（eq\o(A,\s\up6(－))B）)＝eq\f(\f(P（AB）,P（B）),\f(P（eq\o(A,\s\up6(－))B）,P（B）))·eq\f(\f(P（eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))）,P（eq\o(B,\s\up6(－))）),\f(P（Aeq\o(B,\s\up6(－))）,P（eq\o(B,\s\up6(－))）))＝eq\f(P（A|B）,P（eq\o(A,\s\up6(－))|B）)·eq\f(P（eq\o(A,\s\up6(－))|eq\o(B,\s\up6(－))）,P（A|eq\o(B,\s\up6(－))）).(ⅱ)利用調查數(shù)據，P(A|B)＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，P(A|B)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10)，P(EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(—),A)|EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(—),B))＝1－P(A|B)＝eq\f(3,5)，P(EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(—),A)||EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(—),B))＝1－P(A|EQ\*jc2\*hps10\o\ad(\s\up9(—),B))＝eq\f(9,10)，所以R＝eq\f(\f(2,5),\f(3,5))×eq\f(\f(9,10),\f(1,10))＝6.2．(2022·全國乙卷)某地經過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據：樣本號i123456根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.05材積量yi0.250.400.220.540.510.34樣本號i78910總和—根部橫截面積xi0.050.070.070.060.6—材積量yi0.360.460.420.403.9—并計算得eq\i\su(i＝1,10,)xeq\o\al(2,i)＝0.038，eq\i\su(i＝1,10,)yeq\o\al(2,i)＝1.6158，eq\i\su(i＝1,10,)xiyi＝0.2474.(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)(精確到0.01)；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關系數(shù)r＝eq\f(eq\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(eq\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）eq\i\su(i＝1,n,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(1.896)≈1.377.解：(1)設這種樹木平均一棵的根部橫截面積為eq\o(x,\s\up6(－))，平均一棵的材積量為eq\o(y,\s\up6(－))，則根據題中數(shù)據得：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(0.6,10)＝0.06(m2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(3.9,10)＝0.39(m3)．(2)由題可知，r＝eq\f(eq\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(eq\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2eq\i\su(i＝1,10,)（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,10,)xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(（xi－\o(x,\s\up6(－))）2（eq\i\su(i＝1,10,)yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(0.0134,\r(0.00