2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題一三角函數(shù)與平面向量微專題3平面向量小題考法2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

小題考法2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(1)(2023·廣州二模)已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a|＝3|b|，(a＋b)⊥b，則cos〈a，b〉＝()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)(2)(2023·深圳模擬)已知向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝2eq\r(3)，且a⊥(a＋b)，則b在a方向上的投影向量為()A．3B．－3C．－3aD．－a(3)(多選題)(2023·揭陽模擬)在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，P為邊AF上的動(dòng)點(diǎn)，Q為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))的值可以為()A．－eq\f(\r(3),2)B．1C．eq\f(\r(3),2)D．2解析：(1)設(shè)〈a，b〉為θ，(a＋b)⊥b，則(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，因?yàn)閨a|＝3|b|，所以|a||b|cosθ＋|b|2＝0，即3|b|2cosθ＋|b|2＝0，解得cosθ＝－eq\f(1,3).故選D.(2)因?yàn)閍⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝0，因?yàn)閨a|＝3，所以a·b＝－9，則b在a方向上的投影向量為：|b|cos〈a，b〉·eq\f(a,|a|)＝|b|·eq\f(a·b,|a|·|b|)·eq\f(a,|a|)＝eq\f(a·b,|a|2)·a＝－a.故選D.(3)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)锳B＝1，所以AE＝eq\r(3)，A(0，0)，B(1，0)，C(eq\f(3,2)，eq\f(\r(3),2))，F(xiàn)(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，E(0，eq\r(3))，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1，y2∈[0，eq\f(\r(3),2)]，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\r(3)(y2－y1)，因?yàn)閥1，y2∈[0，eq\f(\r(3),2)]，所以y2－y1∈[－eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2)]，所以eq\r(3)(y2－y1)∈[－eq\f(3,2)，eq\f(3,2)]，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))的取值范圍是[－eq\f(3,2)，eq\f(3,2)]．故選ABC.答案：(1)D(2)D(3)ABC以平面幾何為載體的向量問題有兩種基本解法：(1)基向量法：恰當(dāng)選擇基底，結(jié)合共線定理、平面向量的基本定理進(jìn)行向量運(yùn)算．(2)坐標(biāo)法：如果圖形比較規(guī)則，可建立平面坐標(biāo)系，把有關(guān)點(diǎn)與向量用坐標(biāo)表示，從而使問題得到解決．1．(2023·高州一模)已知向量a＝(－3，1)，b＝(m，m＋2)，若a⊥b，則|a＋b|＝()A．2B．3C．4D．2eq\r(5)解析：已知向量a＝(－3，1)，b＝(m，m＋2)，因?yàn)閍⊥b，所以(－3)×m＋1×(m＋2)＝0，所以m＝1，則a＋b＝(－2，4)，則|a＋b|＝eq\r(（－2）2＋42)＝2eq\r(5)，故選D.答案：D2．(2023·清遠(yuǎn)清新區(qū)模擬)已知單位向量a，b，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|xa＋b|≥eq\f(\r(3),2)恒成立，則向量a，b的夾角的取值范圍為()A．[eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]B．[eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]C．[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]D．[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]解析：依題意，(xa＋b)2≥eq\f(3,4)，所以x2a2＋2xa·b＋b2≥eq\f(3,4)，即x2＋2xcosθ＋eq\f(1,4)≥0恒成立，則Δ＝4cos2θ－1≤0，解得－eq\f(1,2)≤cosθ≤eq\f(1,2)，故a，b的夾角的取值范圍是[eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)]．故選B.答案：B3．(2023·廣東二模)已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若A＝eq\f(π,4)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))的最大值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．1D.eq\r(2)解析：由圓O是△ABC的外接圓，且A＝eq\f(π,4)，故OB⊥OC，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝－cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉，故eq\o(OA,\s\up6(→))，e