二次函數(shù)九種類型

中考考點·講練類型一利用二次函數(shù)表達式求面積最大值的問題（三角形，四邊形）在解答面積最值存在性問題時，具體方法如下：

1根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)關(guān)系式設(shè)出所求點的坐標(biāo)，用其表示出所求圖形的線段長；

2觀察所求圖形的面積能不能直接利用面積公式求出，若能，根據(jù)幾何圖形面積公式得到點的坐標(biāo)或線段長關(guān)于面積的二次函數(shù)關(guān)系式，若所求圖形的面積不能直接利用面積公式求出時，則需將所求圖形分割成幾個可直接利用面積公式計算的圖形，進行求解；

3結(jié)合已知條件和函數(shù)圖象性質(zhì)求出面積取最大值時的點坐標(biāo)或字母范圍。如何求圖中陰影部分的面積？ExyOABC圖一xyOABD圖二PxyOAB圖四xyODC圖三【自主探究】如何求圖中陰影部分的面積？xyOMENA圖五xyODCEB圖六【自主探究】——發(fā)散思維，一題多解方法把它轉(zhuǎn)化成易于求出面積的圖形.（2）三邊均不在坐標(biāo)軸上的三角形及不規(guī)則多邊形需把圖形

。即采用割或補的【反思歸納】這里蘊含著……的數(shù)學(xué)思想？（1）一般取在

上的線段為底邊.坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)化——學(xué)而不思則罔(3)在拋物線上（除點C外），

是否存在點N，使得

S△NAB=S△ABC，若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。.N2.N3已知二次函數(shù)與軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C，頂點為P?！緡L試應(yīng)用】.N1面積問題；(1)請根據(jù)所給條件，提出幾個(2)請求出A、B、C、P的坐標(biāo)，求出一個你提出的面積；參考圖PABOC·【變式一】在對稱軸上是否存在一點N,使得？【變式一】ABOCy··【變式二】在雙曲線點N,使？上是否存在思考這些點N有什么共性？xyOABC··【反思歸納】——萬變不離其宗同底

高的三角形面積相等，平行線間的距離處處

；該類問題最終可轉(zhuǎn)化為方程組是否有解的問題.同相等ABOCyABOCyxyOABCCh···ABh是否存在點N方程組是否有解與底邊平行且和底邊的距離為h的直線與所給圖形是否有交點【建立模型】——多題歸一理論依據(jù)……1.

某拱橋橫截面為拋物線形，將拋物線放置在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且拋物線的解析式為y=-x2+2x+3．

（1）求△ABC的面積；

（2）若動點D在第一象限的拋物線上，求△BDC面積最大時D點的坐標(biāo)，并求出△BDC的最大面積。針對練習(xí)針對練習(xí)1.

如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，且A點坐標(biāo)為（-3，0），經(jīng)過B點的直線交拋物線于點D（-2，-3）．

（1）求拋物線的解析式

（2）過x軸上點E（a，0）（E點在B點的右側(cè)）作直線EF∥BD，交拋物線于點F，是否存在實數(shù)a使四邊形BDFE是平行四邊形？如果存在，求出滿足條件的a；如果不存在，請說明理由．

（3）在二次函數(shù)上有一動點P，過點P作PM⊥x軸交線段BD于點M，判斷PM有最大值還是有最小值，如有，求出線段PM長度的最大值或最小值．例1已知二次函數(shù)的圖象如圖，（1）求二次函數(shù)的解析式；

【解】（１）由圖象看出A（-1，0），B（2，0）C（O，-2）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-2）（ｘ＋１）Ｃ在拋物線上，∴ａ＝１∴拋物線解析式為：ｙ＝ｘ２－ｘ－２

-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ解（2）設(shè)過B（2，0）M（，－）的解析式為：ｙ＝ｋｘ＋ｂ

則ｋ＝ｂ＝－３∴直線ＢＭ的解析式為：

ｙ＝ｘ－３∵QＮ=t∴把ｙ＝ｔ代入直線ＭＢ的解析式，得ｘ＝２－ｔ∴S＝×２×１＋（２＋ｔ）（2－t）

即S＝-t2

＋t＋3其中0＜t＜

（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為Q，當(dāng)點N在線段BM上運動時（不與點B、點M重合）設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與ｔ間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；例1已知二次函數(shù)的圖象如圖，（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P使△PAC為Rt△？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ解：設(shè)P（m，n）則ｎ＝ｍ２－ｍ－２１）當(dāng)Ｒｔ△ＰＡＣ是以ＰＣ為斜邊時有ＰＣ２＝ＰＡ２＋ＡＣ２

即ｍ２＋（ｎ＋２）２＝（ｍ＋１）２＋ｎ２＋５把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得

或ｍ＝－１（舍）ｎ＝０∴點Ｐ１（，）-1-2-3-1-2-312345123xyAMBQNOＣ２）當(dāng)Ｒｔ△ＰＡＣ以ＰＡ為斜邊時則ＰＡ２＝ＰＣ２＋ＡＣ２

即（ｍ＋１）２＋ｎ２＝ｍ２＋（ｎ＋２）２＋５把ｎ＝ｍ２－ｍ－２代入得或ｍ＝０（舍）ｎ＝－２∴點Ｐ２（，）∴存在符合條件的點Ｐ，坐標(biāo)為

Ｐ２（，）∴點Ｐ１（，）【拓展提高】已知二次函數(shù)與軸交于A、B兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C。在拋物線上是否存在點N，使得若存在，求出點N的坐標(biāo);若不存在，請說明理由。——中考真題改編ABOC【走進考場】ABCxyO（2011，日照）請你說明理由．過點A作直線AC∥軸，交拋物線于另一點C．（1）求雙曲線和拋物線的解析式；（2）計算△ABC的面積；（3）在拋物線上是否存在點D，使△ABD請你寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，如圖，拋物線與雙曲線相交于點A、B。已知點B的坐標(biāo)為，且點A在第一象限內(nèi),的面積等于△ABC的面積．若存在，——鍥而不舍，金石可鏤yPABOC·求求yPABOC·不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)我學(xué)會了……體會到了

數(shù)學(xué)思想【碩果累累】中考考點·講練類型二將軍飲馬問題將軍飲馬問題=軸對稱問題=最短距離問題（軸對稱是工具，最短距離是題眼）。所謂軸對稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會出現(xiàn)線段a+b這樣的條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問題，然后利用軸對稱解題。類型一

將軍飲馬最常見的三大模型1.如圖，在直線異側(cè)兩個點A和B，在直線上求一點P。使得PA+PB最短（題眼）。一般做法：作點A（B）關(guān)于直線的對稱點，連接A’B，A’B與直線交點即為所求點。A’B即為最短距離理由：A’為A的對稱點，所以無論P在直線任何位置都能得到AP=A’P。所以PA+PB=PA’+PB。這樣問題就化成了求A’到B的最短距離，直接相連就可以了類型二

將軍飲馬最常見的三大模型2.如圖，在∠OAB內(nèi)有一點P，在OA和OB各找一個點M、N，使得△PMN周長最短（題眼）。一般做法：作點P關(guān)于OA和OB的對稱點P1、P2。連接P1P2。P1P2與OA、OB的交點即為所求點。P1P2即為最短周長。理由：對稱過后，PM=P1M，PN=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以問題就化成了求P1到P2的最短距離，直接相連就可以了。。類型三

將軍飲馬最常見的三大模型3.如圖，在∠OAB內(nèi)有兩點P、Q，在OA和OB各找一個點M、N，使得四邊形PMNQ周長最短（題眼）。一般做法：題目中PQ距離固定。所以只是求PM+MN+QN的最短距離。最終P’Q’+PQ即為所求最短周長。M、N即為所求的點。理由：作完對稱后，由于P’M=PM，Q’N=QN，所以PM+MN+QN=P’M+MN+Q’N。所以就化成了求P’到Q’的最短距離，所以相連即可。常見問題

怎么對稱，作誰的對稱？

對稱完以后和誰連接？所求點怎么確定？4.將軍飲馬一定是求最短距離嗎？肯定不是?；蛘哒f求最短距離是將軍飲馬中的最簡單一類題目。根據(jù)將軍飲馬的基本模型可以拓展出很多題型。根本原因是因為在作軸對稱過程中不但是作了點的對稱，還作了邊長和角度的對稱！或者說邊長和角度的對稱才是最關(guān)鍵如例題1.∠A=60°AE⊥CE，AB⊥BC，N和M是AB和AE上的動點。問：當(dāng)△CMN周長最短時（題眼），求∠CMN+∠CNM的度數(shù)。5.對稱的點可以隨便選嗎？

理論上來說，只要是定點，可以選擇來對稱。但事實上，為了方便解題，一般對稱點是有所選擇的。選擇原則如下：對稱點方便確定、方便計算長度。如例題2：正方形ABCD，AC為對角線。△ADE是以AD為邊的等邊三角形。求在AC在找一點P，使得BP+EP最短（題眼）。對于這道題，由于定點是B和E，那么理論上來講這兩個點的對稱點都可以做。但是根據(jù)選擇原則，這題中顯然作點B的對稱方便，直接就是點D。其實這樣的題型也比較固定，一般點都是對稱圖形上，如正方形，等邊三角形等等，你們可以自行總結(jié)。比較特殊的題型

例題3.∠OAB中有一點P，求在OA、OB上分別找一個點M，N，使得PM+MN最短（題眼）。根據(jù)前面總結(jié)的，首先肯定是作點P的對稱點，那么就面臨第一個問題，點P關(guān)于OA和OB的對稱都要作嗎？這個時候就要明白，作對稱的本質(zhì)并不是對稱點，而是對稱邊。換句話說關(guān)于OA對稱式在對稱線段PM，關(guān)于OB對稱實際上是在對稱線段PN。那么對于這道題目，顯然PN顯然是無用的，所以這道題目就應(yīng)該關(guān)于OA對稱。接下里會面臨第二個問題，對稱完連接誰？根據(jù)前面的理論，應(yīng)該找一個定點相連，這道題目里面顯然沒有第二個定點可用。切記不能直接與N相連，因為N點是個動點。但是從另一個側(cè)面可以知道這條線段其實有無數(shù)條。但是最終要達到一個要求連線最短。最后就會想到過P’作OB垂線。則交點即為所求。1．（2014?吉林市一模）拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交與A（1，0），B（﹣3，0）兩點，（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與y軸交于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點A、點B的坐標(biāo)代入可求出b、c的值，繼而可得出該拋物線的解析式；（2）連接BC，則BC與對稱軸的交點，即是點Q的位置，求出直線BC的解析式后，可得出點Q的坐標(biāo)．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，涉及了頂點坐標(biāo)的求解、三角形的面積及軸對稱求最短路徑的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練各個知識點，注意培養(yǎng)自己解綜合題的能力．

2．（2015?吉林市一模）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點．（1）求b、c的值；（2）P為拋物線上的點，且滿足S△PAB=8，求P點的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），求得b，c值；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），求得y值，分別代入從而求得點P的坐標(biāo)；（3）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．又能求得由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點，再求得BC的直線，從而求得點Q的坐標(biāo)．【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，（1）拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（﹣1，0），B（3，0），很容易得到b，c值；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），求得y值，分別代入從而求得點P的坐標(biāo)；（3）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．又能求得由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點，再求得BC的直線，從而求得點Q的坐標(biāo)．本題有一定難度，需要考慮仔細，否則漏解．3．（2012?吉林市模擬）如圖，已知拋物線經(jīng)過點B（﹣2，3），原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸與x軸交于點C（2，0）．（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）連接CB，在拋物線的對稱軸上找一點E，使得CB=CE，求點E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接BE，設(shè)BE的中點為G，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PBG的周長最??？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸可得出A點坐標(biāo)，然后根據(jù)O、A、B三點坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式．（2）可根據(jù)B、C的坐標(biāo)，求出BC的長，然后根據(jù)CB=CE，將C點坐標(biāo)向上或向下平移BC個單位即可得出E點坐標(biāo)．（3）本題的關(guān)鍵是確定P點的位置，可取B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點D，連接DG，直線DG與拋物線對稱軸的交點即為所求P點的位置．可先求出直線DG的解析式，然后聯(lián)立拋物線對稱軸方程即可求出P點坐標(biāo)．【點評】本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形的判定、軸對稱圖形的性質(zhì)等知識，（3）中能正確找出P點位置是解題的關(guān)鍵．4．（2014下學(xué)期?吉林市期末）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PAOC的周長最?。咳舸嬖?，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由．（2）存在【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了最短路徑問題．將軍飲馬模型及其變形

【分析】（1）令x=0，求出與y軸的坐標(biāo)；令y=0，求出與x軸的坐標(biāo)；（2）分三種情況討論：①當(dāng)AB為底時，若點D在AB上方；若點D在AB下方；②當(dāng)AB為腰時，A為頂點時，③當(dāng)AB為腰時，A為頂點時；仔細解答即可．（3）當(dāng)AP+BQ最小時，四邊形ABQP的周長最小，根據(jù)軸對稱最短路徑問題解答．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)與x軸的交點、與y軸的交點、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容，存在性問題的出現(xiàn)使得難度增大．2．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合．當(dāng)AF等于多少時，△MEF的周長最?。浚?）若點G，Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時，求最小周長值．（計算結(jié)果保留根號）（3）如圖2，由（2）知點M′是點M關(guān)于AB的對稱點，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此時MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，【點評】本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；會利用軸對稱解決最短路徑問題；會運用相似比和勾股定理計算線段的長．類型三直角三角形分類1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-4，0）、B（-l，0）兩點，與y軸交于點C，點D是第三象限的拋物線上一動點．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，△ACD的面積為S求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，并確定m為何值時S有最大值，最大值是多少？（3）若點P是拋物線對稱軸上一點，是否存在點P使得∠APC=90°？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．類型四等腰三角形分類討論1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．（1）求這條拋物線的解析式；（2）經(jīng)過點D（2