高級宏觀經(jīng)濟學(xué)-第五講 無限期期動態(tài)模型

《中級宏觀經(jīng)濟學(xué)》2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型2

第五講

無限期動態(tài)模型

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型3

第一節(jié)基本決策環(huán)境

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型4

基本環(huán)境

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型5偏好

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型6技術(shù)

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型7稟賦

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型8資源約束

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型9在介紹了基本決策環(huán)境以后，按照我們以前的分析思路，接下去我們應(yīng)該分析行為人的最優(yōu)化行為，然后進行均衡分析，最終得到每期均衡的數(shù)量解和價格解或者分析計劃最優(yōu)的情形，求出每期的均衡數(shù)量解。但是，現(xiàn)在，我們面臨的是一個無限期模型，用處理兩期模型的方法來求解均衡解幾近不可能，所以，在這里，我們首先插入一部分，介紹一下動態(tài)規(guī)劃的基本知識，然后，直接利用動態(tài)規(guī)劃的知識去處理無限期的問題。2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型10第二節(jié)動態(tài)規(guī)劃簡介

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型11因為我們在前面已經(jīng)證明了競爭均衡解也是帕雷托最優(yōu)解。因此，我們可以通過求解社會計劃者問題來獲得競爭均衡的有關(guān)數(shù)量解，這樣，上面這個無限期模型中的社會計劃者最優(yōu)化問題可以正規(guī)地描述如下：2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型122023/12/23第五講無限期動態(tài)模型132023/12/23第五講無限期動態(tài)模型142023/12/23第五講無限期動態(tài)模型152023/12/23第五講無限期動態(tài)模型162023/12/23第五講無限期動態(tài)模型172023/12/23第五講無限期動態(tài)模型18為了實現(xiàn)這一目標，現(xiàn)在，讓我們首先來仔細觀察社會計劃者面臨的這個最優(yōu)化問題，實際上，這個最優(yōu)化問題具有一個非常特殊的結(jié)構(gòu)——遞歸結(jié)構(gòu)（recursivestructure）。這一點非常重要，它是我們能運用動態(tài)規(guī)劃方法來求解這個最優(yōu)化問題的關(guān)鍵所在。2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型19貝爾曼方程（Bellman’sequation）

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型202023/12/23第五講無限期動態(tài)模型212023/12/23第五講無限期動態(tài)模型222023/12/23第五講無限期動態(tài)模型232023/12/23第五講無限期動態(tài)模型242023/12/23第五講無限期動態(tài)模型252023/12/23第五講無限期動態(tài)模型262023/12/23第五講無限期動態(tài)模型272023/12/23第五講無限期動態(tài)模型282023/12/23第五講無限期動態(tài)模型292023/12/23第五講無限期動態(tài)模型302023/12/23第五講無限期動態(tài)模型312023/12/23第五講無限期動態(tài)模型32應(yīng)用猜測法求解貝爾曼方程

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型332023/12/23第五講無限期動態(tài)模型342023/12/23第五講無限期動態(tài)模型352023/12/23第五講無限期動態(tài)模型362023/12/23第五講無限期動態(tài)模型372023/12/23第五講無限期動態(tài)模型382023/12/23第五講無限期動態(tài)模型392023/12/23第五講無限期動態(tài)模型402023/12/23第五講無限期動態(tài)模型412023/12/23第五講無限期動態(tài)模型422023/12/23第五講無限期動態(tài)模型432023/12/23第五講無限期動態(tài)模型44一個例子：無限期吃蛋糕問題

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型452023/12/23第五講無限期動態(tài)模型462023/12/23第五講無限期動態(tài)模型472023/12/23第五講無限期動態(tài)模型482023/12/23第五講無限期動態(tài)模型492023/12/23第五講無限期動態(tài)模型502023/12/23第五講無限期動態(tài)模型51第三節(jié)計劃經(jīng)濟下的最優(yōu)

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型522023/12/23第五講無限期動態(tài)模型532023/12/23第五講無限期動態(tài)模型54借助貝爾曼方程方法求解穩(wěn)定均衡解

如果在動態(tài)最優(yōu)化問題中的值函數(shù)是可微的、凹的，也就是說，假如（5.47）式中的值函數(shù)是可微的、凹的，我們能用一階條件來表述社會計劃者的最優(yōu)化問題。

歐拉方程的推導(dǎo)

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型552023/12/23第五講無限期動態(tài)模型562023/12/23第五講無限期動態(tài)模型572023/12/23第五講無限期動態(tài)模型58方程（5.54）式實際就是我們熟悉的歐拉方程。該式的第一部分表示的是消費者在時期t少消費一單位商品而引起的效用損失；第二部分表示的是消費者因為在時期t減少了一單位消費，這一單位消費品在時期（t+1）成為了資本品，因而可以導(dǎo)致時期（t+1）的消費增加，從而效用增加，當然，為了具有可比性，我們必須把時期（t+1）增加的效用貼現(xiàn)到時期t去。在最優(yōu)時，顯然凈效用的變化應(yīng)該為零。2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型59模型的動態(tài)學(xué)

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型602023/12/23第五講無限期動態(tài)模型612023/12/23第五講無限期動態(tài)模型622023/12/23第五講無限期動態(tài)模型632023/12/23第五講無限期動態(tài)模型642023/12/23第五講無限期動態(tài)模型652023/12/23第五講無限期動態(tài)模型662023/12/23第五講無限期動態(tài)模型672023/12/23第五講無限期動態(tài)模型682023/12/23第五講無限期動態(tài)模型692023/12/23第五講無限期動態(tài)模型702023/12/23第五講無限期動態(tài)模型712023/12/23第五講無限期動態(tài)模型722023/12/23第五講無限期動態(tài)模型732023/12/23第五講無限期動態(tài)模型74穩(wěn)定均衡解

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型752023/12/23第五講無限期動態(tài)模型76資本的運動方程我們很容易就能獲得，因為它是由預(yù)算約束條件給出的。而消費的運動方程的獲取就不那么容易了，因為它就是歐拉方程。在上面的分析中，我們是借助動態(tài)規(guī)劃的知識來正規(guī)地推導(dǎo)歐拉方程的。但就推導(dǎo)歐拉方程而言，除了借助動態(tài)規(guī)劃方法來得到外，我們?nèi)耘f是可以借助我們熟悉的拉格朗日方法來得到的！下面就讓我們看看如何借助拉格朗日方法來推導(dǎo)無限期模型中的歐拉方程。2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型77借助拉格朗日方法求解穩(wěn)定均衡解

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型782023/12/23第五講無限期動態(tài)模型792023/12/23第五講無限期動態(tài)模型802023/12/23第五講無限期動態(tài)模型812023/12/23第五講無限期動態(tài)模型82方程（5.54）就是我們熟悉的歐拉方程，其表達式與我們借助貝爾曼方程推導(dǎo)出來的歐拉方程是完全一樣的。這說明非常重要的一點：重要的是要理解經(jīng)濟分析的思路，一旦明白了經(jīng)濟分析的脈絡(luò)，你會發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學(xué)只是一種工具，一種能使我們的分析更具效率、更簡潔的工具，而不致于迷失在數(shù)學(xué)的海洋中！2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型83第四節(jié)分散經(jīng)濟下的最優(yōu)

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型84雖然我們借助計劃者最優(yōu)問題可以求得最優(yōu)的均衡資本數(shù)量，但是，為了決定競爭均衡的價格，我們還是需要通過分別分析消費者和企業(yè)的最優(yōu)化問題，從而得到一些求解的有用信息。2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型854.1消費者的問題

消費者儲存資本并進行投資（也即，他們的財富是以資本的形式表示的），在每一時期里，消費者都會把資本租給企業(yè)并向企業(yè)出售自己的勞動。因為勞動并不會給消費者帶來任何負效用，因此，不論工資率為多少，勞動供給始終是1單位。消費者實際上就相當于在求解如下一個跨期最優(yōu)化問題：2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型862023/12/23第五講無限期動態(tài)模型872023/12/23第五講無限期動態(tài)模型882023/12/23第五講無限期動態(tài)模型892023/12/23第五講無限期動態(tài)模型902023/12/23第五講無限期動態(tài)模型912023/12/23第五講無限期動態(tài)模型924.2企業(yè)的問題

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型934.3競爭均衡價格

2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型942023/12/23第五講無限期動態(tài)模型95

數(shù)學(xué)附錄：

包洛定理（Theenvelopetheorem）2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型962023/12/23第五講無限期動態(tài)模型97該定理意味著在計算值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，我們只需要考慮參數(shù)a對原函數(shù)的直接影響就夠了，而不用考慮它對原函數(shù)的間接影響，因為在最優(yōu)時間接影響為零。2023/12/23第五講無限期動態(tài)模型98進一步閱讀的文獻Benveniste,L.andScheinkman,J.1979.“OntheDifferentiabilityoftheValueFunctioninDynamicModelsofEconomics.”Econometrica47,727-732.Cass,D.1965.“OptimumGrowthinanAggregativeModelofCapitalAccumulation.”