6.3.1離散型隨機(jī)變量的均值（課件）-高二數(shù)學(xué)（北師大版2019選擇性）

離散型隨機(jī)變量的均值溫故知新1、離散型隨機(jī)變量的分布列

X············2、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．樣本均值：樣本方差：

已知一組樣本數(shù)據(jù)：x1，x2，…，xn

反映這組數(shù)據(jù)相對于平均值的集中程度的量

例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的總體水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績的方差。

什么是一組數(shù)據(jù)的均值和方差？溫故知新思考已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品.從這10件產(chǎn)品中任取3件，用X表示取得產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù).我們可求得X的分布列如下表：012現(xiàn)在我們關(guān)心，取3件該產(chǎn)品時(shí)，平均會取到幾件不合格品？那么，怎樣的一個(gè)數(shù)能夠“代表”這個(gè)隨機(jī)變量取值的平均水平呢？問題提出

引入新課1、某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）設(shè)他所得環(huán)數(shù)為X,求X的分布列(2)求他所得的平均環(huán)數(shù)是多少？（1）環(huán)數(shù)為X的可能所取的值為什么，1，2，3，4，其分布列X1234P權(quán)數(shù)加權(quán)平均問題：某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；（1）設(shè)他所得環(huán)數(shù)為X,求X的分布列(2)求他所得的平均環(huán)數(shù)是多少？均值(數(shù)學(xué)期望)定義一般地，若離散型隨機(jī)變量X

的概率分布為X

(1)均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”,這是隨機(jī)變量X的一個(gè)重要特征,它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平.由定義可知離散型隨機(jī)變量的均值與它的本身有相同的單位.

(2)隨機(jī)變量的均值與樣本平均值的關(guān)系:

隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本的平均值是一個(gè)隨機(jī)變量,它隨樣本的抽取的不同而變化.對于簡單隨機(jī)抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來越接近于總體的均值.隨機(jī)變量X的均值反映了離散型隨機(jī)變量的平均水平.1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)隨機(jī)變量X的均值EX是一個(gè)變量，它隨樣本的改變而改變．(

)(2)隨機(jī)變量的均值相同，則兩個(gè)分布也一定相同．(

)(3)常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個(gè)常數(shù)本身．(

)(4)若X服從兩點(diǎn)分布，則EX＝np.(

)××√×鞏固提升：2．已知隨機(jī)變量ξ滿足P(ξ＝1)＝，P(ξ＝0)＝，則Eξ＝(

)A．0.3B．C．0.7D．1解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從兩點(diǎn)分布，且P(ξ＝1)＝，所以Eξ＝0.3.故選A.答案：A3．隨機(jī)拋擲一枚骰子，則所得骰子點(diǎn)數(shù)ξ的均值是(

)A．0.6B．1C．3.5D．2解析：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的分布列為ξ123456P

答案：C4．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下表：且EX＝6，則a＝________，b＝________．X3b8P0.20.5a解析：由＋＋a＝1，得a＝0.3.又由EX＝3×＋b×＋8×a＝6，得b＝6.答案：

6例1

在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為，那么他罰球1次的得分X的均值是多少?解：由題意得，X的分布列為即該運(yùn)動(dòng)員罰球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)=？若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p.X01P1－

pp深入探究方法歸納求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟(1)確定取值：根據(jù)隨機(jī)變量X的意義,寫出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每個(gè)值的概率；(3)寫分布列：寫出X的分布列；(4)求均值：由均值的定義求出E(X).求隨機(jī)變量的分布列例2

拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，求X的均值.由題意得，X的所有取值為：1，2，3，4，5，6則：解：即點(diǎn)數(shù)X的均值是.所以X的分布列為：X123456P

觀察

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X的均值為3.5.隨機(jī)模擬這個(gè)試驗(yàn)，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并計(jì)算平均數(shù).根據(jù)觀測值的平均數(shù)(樣本均值)繪制統(tǒng)計(jì)圖，分別如圖(1)和(2)所示.觀察圖形，在兩組試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別?①區(qū)別:隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本的平均值是一個(gè)隨機(jī)變量,它隨樣本的不同而變化；②聯(lián)系:對于簡單隨機(jī)樣本,隨著樣本容量的增加樣本的平均值越來越接近于總體的均值.因此我們常用樣本的平均值估計(jì)總體的均值.新知探究：樣本平均值和隨機(jī)變量均值的區(qū)別與聯(lián)系例3一個(gè)袋子里裝有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則取出的紅球個(gè)數(shù)的均值是多少？012

例4根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期暴發(fā)小洪水的概率為0.25，暴發(fā)大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元.方案2：建一保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水.方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水.此時(shí)遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元.你會選擇哪一種方案呢？

隨機(jī)變量均值的線性性質(zhì)已知隨機(jī)變量X，其均值為E(X).若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量．并且隨機(jī)變量Y的均值為：E(Y)=E(aX＋b)＝aE(X)＋b．

P654321X

P13119753Y例如隨機(jī)拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)X的均值.定義隨機(jī)變量Y=2X+1，求E(Y).pnxn……pkxk……p2x2p1x1PXpnaxn+b……pkaxk+b……p2ax2+bp1ax1+bPX隨機(jī)變量X的分布列為：隨機(jī)變量Y=aX+b的分布列為：隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望是：例1

甲、乙兩名射手射擊的環(huán)數(shù)為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y，且X，Y的分布列為：問：甲、乙兩名射手誰的射擊水平高?X123P0.30.10.6Y123P0.30.40.3所以，甲射手比乙射手的射擊水平高.解：例題講解1、隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)則Eξ=.

2、隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,則a=

b=

.則

P(Y)=P(aX+b)=P(X=xi)=pi,i=1,2,3,…

……

pn

……

p2

p1

P

……

axn+b

……

ax2+b

ax1+b

Y(2)E(Y)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn若Y=aX+b，其中a,b為常數(shù)，X為隨機(jī)變量;(1)寫出隨機(jī)變量Y的分布列；(2)求Y的均值。解:(1)由題意,知Y也為隨機(jī)變量,所以，Y的分布列為：=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn)=aE(X)+b即E(aX+b)=aE(X)+b

(1)當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b.(2)當(dāng)a=1時(shí),E(X+b)=E(X)+b(3)當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X)概念生成離散型隨機(jī)變量的均值的性質(zhì)：鞏固提升解：1.已知隨機(jī)變量X的分布列為X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2).

答案：A課堂練習(xí)2．已知隨機(jī)變量X的分布如表所示，則EX等于(

)A.0B．－C．－1D．－X－101P0.50.2p解析：由題可得＋＋p＝1，解得p＝，則由離散型隨機(jī)變量的均值公式得EX＝－1×＋0×＋＝－0.2.答案：B

X01P

答案：C4．同學(xué)用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是，同學(xué)乙猜對成語的概率是，且規(guī)定猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X(單位：分)的數(shù)學(xué)期望為________．解析：依題意得，得分之和X的可能取值分別是0，1，2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝，P(X＝1)＝×(1－0.5)＋(1－0.4)×＝，P(X＝2)＝×＝，所以得分之和X的分布列為X012P0.30.50.2所以EX＝0×＋1×＋2×＝0.9.答案：6：甲、乙兩名射手在同一條件下射擊，所得環(huán)數(shù)X1，X2分布列如下：從以數(shù)據(jù)你能否說明誰的射擊水平高？X18910P0.20.60.2X28910P0.40.20.4解表明甲、乙射擊的平均水平?jīng)]有差別，在多次射擊中平均得分差別不會很大，7.有場賭博，規(guī)則如下：如擲一個(gè)骰子，出現(xiàn)1，你贏10元；出現(xiàn)2或3或4，你輸3元；出現(xiàn)5或6，不輸不贏．這場賭博對你是否有利?對你不利!勸君莫參加賭博.X10-30P8、某商場要將單價(jià)分別為18元/kg，24元/kg，36元/kg的3種糖果按3：2：1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價(jià)才合理？X182436P解：把3種糖果的價(jià)格看成隨機(jī)變量的概率分布列：不一定,其含義是在多次類似的測試中,他的平均成績大約是90分9.一次單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確,每題選對得5分,不選或選錯(cuò)不得分,滿分100分.學(xué)生甲選對任一題的概率為0.9,學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對每題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè).求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗(yàn)中的成績的均值.解:設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗(yàn)中選擇正確的選擇題個(gè)數(shù)分別是ξ和η,則ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以Eξ＝＝18，Eη＝＝5．由于答對每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次測驗(yàn)中的成績分別是5ξ和5η.這樣，他們在測驗(yàn)中的成績的期望分別是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:學(xué)生甲在這次測試中的成績一定會是90分嗎?他的均值為90分的含義是什么?10

一年中一輛車受損的概率為0.03.現(xiàn)保險(xiǎn)公司擬開設(shè)一年期租車保險(xiǎn)，假定一輛車一年的保費(fèi)為1000元，若在一年內(nèi)該車受損，則保險(xiǎn)公司需賠償3000元.一年內(nèi)，一輛車保險(xiǎn)公司平均收益多少？分析：設(shè)保險(xiǎn)公司平均收益為X.則X的分布列為：X-20001000P0.030.97答：一輛車保險(xiǎn)公司平均收益910元.課堂小結(jié)1.離散型隨機(jī)變量的均值：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，X