自主招生材料學生版 - 集合

自主招生沖刺培訓第一講集合集合是高中數(shù)學的基礎內容,但其影響深遠,是各個數(shù)學分支的基礎，因此，以集合為背景的題目多被競賽題，高考壓軸題采用。1、求集合中元素充分利用集合中元素的性質和集合之間的基本關系，往往能解決某些以集合為背景的高中數(shù)學競賽題.請看下述幾例.例1：求點集中元素的個數(shù).【評述】此題解方程中，應用了不等式取等號的充要條件，是一種重要解題方法，應注意掌握之.例2：已知集合若是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則a的值為.【評述】上述兩題均為1987年全國高中聯(lián)賽試題，題目并不難，讀者應從解題過程中體會此類題目的解法.2、集合之間關系充分應用集合之間的基本關系（即子、交、并、補），往往能形成一些頗具技巧的集合綜合題.請看下述幾例.例3：設集合則在下列關系中，成立的是 （） A． B． C． D．【評述】解法1是直接法，解法2運用轉化思想把已知的四個集合的元素轉化為我們熟悉的的角的集合，研究角的終邊，思路清晰易懂，實屬巧思妙解.練習：1、已知集合M={f(x)|f(-x)=f(x),x∈R},N={f(x)|f(-x)=-f(x),x∈R},P={f(x)|f(1-x)=f(1+x),x∈R},Q={f(x)|f(1-x)=-f(1+x),x∈R},若f(x)=(x-1)3,x∈R,則（）（A）f(x)∈M（B）f(x)∈N（C）f(x)∈P（D)f(x)∈Q2、設有集合（其中[x]表示不超過實數(shù)x之值的最大整數(shù)）.3、設M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且滿足條件:當x∈A時,15xA，則A中元素的個數(shù)最多是_______________.【評述】集合問題關鍵是搞清集合中元素的特征。例4：（83全國）已知成立時，a需滿足的充要條件.練習：1.已知集合，，則有（）A．B．C．D．2設A、B是坐標平面上的兩個點集，若對任何都有，則必有.此命題是否正確？例5、集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，當且僅當A≠B時，(A,B)與(B,A)視為不同的對，則這樣的(A,B)對的個數(shù)有_________________.練習：設I={1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B={1,3}，則稱（A,B)為一個“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”的個數(shù)是（規(guī)定（A,B)與（B,A)是不同的“理想配集”）___9___.用反證法解決集合問題例6、設且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，，且={1，2，3，…，}。證明：或者中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。映射法研究集合問題應用映射知識往往能巧妙地解決有關集合的一些問題.例7：設X={1，2，…，100}，對X的任一非空子集M，M中的最大數(shù)與最小數(shù)的和稱為M的特征，記為求X的所有非空子集的特征的平均數(shù).例8：把△ABC的各邊n等分，過各分點分別作各邊的平行線，得到一些由三角形的邊和這些平行線所組成的平行四邊形，試計算這些平行四邊形的個數(shù).練習：1、求證：對任意正整數(shù)n,都能找到n個正整數(shù)x1,x2,…,xn,使得其中任意r(r<n)個數(shù)均不互素,而r+1個數(shù)均互素.抽屜原理研究集合問題例9．一個集合含有10個互不相同的兩位數(shù)。試證，這個集合必有2個無公共元素的子集合，此兩子集的各數(shù)之和相等。例10．從1-100的自然數(shù)中，任意取出51個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍。說明：（1）從上面的證明中可以看出，本題能夠推廣到一般情形：從1-2n的自然數(shù)中，任意取出n+1個數(shù)，則其中必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍。想一想，為什么？因為1-2n中共含1，3，…，2n-1這n個奇數(shù)，因此可以制造n個抽屜，而n+1＞n，由抽屜原則，結論就是必然的了。給n以具體值，就可以構造出不同的題目。例2中的n取值是50，還可以編制相反的題目，如：“從前30個自然數(shù)中最少要（不看這些數(shù)而以任意方式地）取出幾個數(shù)，才能保證取出的數(shù)中能找到兩個數(shù)，其中較大的數(shù)是較小的數(shù)的倍數(shù)？”(2）如下兩個問題的結論都是否定的（n均為正整數(shù)）想一想，為什么？①從2，3，4，…，2n+1中任取n+1個數(shù)，是否必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍？②從1，2，3，…，2n+1中任取n+1個數(shù)，是否必有兩個數(shù)，它們中的一個是另一個的整數(shù)倍？（3）如果將（2）中兩個問題中任取的n+1個數(shù)增加1個，都改成任取n+2個數(shù)，則它們的結論是肯定的還是否定的？你能判斷證明嗎？例11．在任意給出的100個整數(shù)中，都可以找出若干個數(shù)來（可以是一個數(shù)），它們的和可被100整除。練習：1.對于若是3的整數(shù)倍，則被6除所得余數(shù)構成的集合是。2、設集合A={1,2,3,…,10},求集合Ａ的所有非空子集元素和的和．3、對于集合N={1,2,3,…,n}的每一個非空子集，定義一個“交替和”如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)．例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和為5．當集合N中的n=2時，集合N={1,2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1,2}，則它的“交替和”的總和=1+2+(2–1)=4，請你嘗試對n=3、n=4的情況，計算它的“交替和”的總和、，并根據(jù)其結果猜測集合N={1,2,3,…,n}的每一個非空子集的“交替和”的總和=__________.4、考慮由10個元素組成的集合Ｍ＝｛19，99，-1,0,25,-36,-97,1,-3,11｝.記Ｍ的所有非空子集為Ｍi,i=1,2,…,1023.每一個Mi中所有元素的乘積為mi,i=1,2,…,1023.求m1+m2+…+m1023的值．5、集合A,B,C(不必相異)的并集Ａ∪Ｂ∪Ｃ＝｛1,2,…