專題12.3 乘法公式【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（原卷版）

專題12.3乘法公式【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷運用乘法公式計算的正誤】 1【題型2利用完全平方式確定系數】 2【題型3乘法公式的計算】 2【題型4利用乘法公式求值】 2【題型5利用面積法驗證乘法公式】 3【題型6乘法公式的應用】 4【題型7平方差公式的幾何背景】 6【題型8完全平方公式的幾何背景】 8【題型9乘法公式中的新定義問題】 10【題型10乘法公式的規(guī)律探究】 11【知識點乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差。這個公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個數的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式。【題型1判斷運用乘法公式計算的正誤】【例1】（2023春·貴州畢節(jié)·八年級統(tǒng)考期末）計算x-y+3x+y-3時，下列變形正確的是（

）A．x-y+3x+y-3C．x-y+3x+y-3【變式1-2】（2023春·天津濱海新·八年級統(tǒng)考期末）在下列多項式的乘法中，不可以用平方差公式計算的是（

）A．(x+y)(x-y) B．(-x+y)(x+y)C．(-x-y)(-x+y) D．(x-y)(-x+y)【變式1-3】（2023春·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期中）下列多項式不是完全平方式的是(

)．A．x2-4x-4 B．14+m2【題型2利用完全平方式確定系數】【例2】（2023春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）若將多項式4a2-2a+1【變式2-1】（2023春·四川達州·八年級?？计谥校┤魓2+2(m-3)x+1是完全平方式，x+n與x+2的乘積中不含x的一次項，則nm【變式2-2】（2023春·八年級課時練習）若9x2-k-1xy+25y【變式2-3】（2023春·福建泉州·八年級晉江市季延中學校考期中）已知B是含字母x的單項式，要使x2+B+14【題型3乘法公式的計算】【例3】（2023春·云南昭通·八年級?？计谀┯嬎悖?1)(2m-n+3p)(2m+3p+n)；(2)化簡求值：(x-3)(x+3)-(x2-2x+1)【變式3-1】（2023春·山東東營·六年級統(tǒng)考期末）利用整式乘法公式計算．(1)1002(2)a+b+3a+b-3(3)-2m+3-2m-3(4)12【變式3-2】（2023春·湖南永州·八年級校聯考期中）1-12【變式3-3】（2023春·江西撫州·八年級校聯考期中）運用乘法公式計算：(1)2m-3n(2)1002【題型4利用乘法公式求值】【例4】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）設a=x-2022，b=x-2024，c=x-2023．若a2+b2=16，則A．5 B．6 C．7 D．8【變式4-1】（2023春·廣西貴港·八年級?？计谀┤魓-y-7=0，則代數式x2-y【變式4-2】（2023春·湖南永州·八年級校考期中）（1）已知a+1a=3（2）已知a-b2=9，ab=18，求【變式4-3】（2023春·陜西西安·八年級?？计谥校┮阎猰滿足3m-20152(1)求2015-3m2014-3m(2)求6m-4029的值．【題型5利用面積法驗證乘法公式】【例5】（2023春·八年級課時練習）如圖，陰影部分是在邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形．給出下列2種割拼方法，其中能夠驗證平方差公式的是（

）

A．① B．② C．①② D．①②都不能【變式5-1】（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）在下面的正方形分割方案中，可以驗證a+b2=a-bA．

B．

C．

D．

【變式5-2】（2023春·福建寧德·八年級校聯考期中）下列等式不能用如圖所示的方形網格驗證的是（

）

A．a+bB．a+bC．a+b+cD．a+b【變式5-3】（2023春·江西撫州·八年級統(tǒng)考期末）（1）課本再現：如圖1，2是“數形結合”的典型實例，應用“等積法”驗證乘法公式．圖1驗證的是______，圖2驗證的是______；（2）應用公式計算：①已知x+y=5，xy=-1，求②求20222

【題型6乘法公式的應用】【例6】（2023春·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，為了美化校園，某校要在面積為30平方米長方形空地ABCD中劃出長方形EBKR和長方形QFSD，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個邊長為3米的正方形，現將圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長方形空地ABCD的長和寬分別為m和n，m>n，花圃區(qū)域AEGQ和HKCS總周長為14米，則m-n的值為（

）A．4米 B．7米 C．5米 D．3.5米【變式6-1】（2023春·陜西西安·八年級?？计谥校┪覀冎溃瑢⑼耆椒焦絘±b2

(1)若m+n=9，mn=10，求m2(2)如圖，一農家樂準備在原有長方形用地（即長方形ABCD）上進行裝修和擴建，先用長為120m的裝飾性籬笆圍起該長方形院子，再以AD、CD為邊分別向外擴建正方形ADGH、正方形DCEF的空地，并在兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能性花園面積和為2000m【變式6-2】（2023春·湖南邵陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，某校一塊邊長為2am的正方形空地是八年級四個班的清潔區(qū)，其中分給八年級（1）班的清潔區(qū)是一塊邊長為a-2bm

(1)分別求出八年級（2）班、八年級（3）班的清潔區(qū)的面積．(2)八年級（4）班的清潔區(qū)的面積比八年級（1）班的清潔區(qū)的面積多多少？【變式6-3】（2023春·浙江溫州·八年級期中）學校為迎接藝術節(jié)，準備在一個正方形空地ABCD上搭建一個表演舞臺，如圖所示，正中間是“紅五月”三個正方形平臺．其中“五”字正方形和“月”字正方形邊長均為a米，“紅”字正方形邊長為b米．Ⅰ號區(qū)域布置造型背景，Ⅱ號區(qū)域設置為樂隊演奏席．(1)用含a，b的代數式表示陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）并化簡；(2)若陰影部分的面積（即Ⅰ和Ⅱ面積之和）為288平方米，且a+b=20米，求“紅”字正方形邊長b的值．【題型7平方差公式的幾何背景】【例7】（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）將邊長為a的正方形的左上角剪掉一個邊長為b的正方形(如圖1)，將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個長方形(如圖2)，解答下列問題：(1)設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，請用含a，b的式子表示：S1=______，S2(2)由（1）中的結果可以驗證的乘法公式是______；(3)利用（2）中得到的公式，計算：20232【變式7-1】（2023春·全國·八年級期末）如圖1的兩個長方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個圖形．(1)在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為；（寫成多項式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為；（寫成兩數平方差的形式）；(2)比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2(3)請利用所得等式解決下面的問題：①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，則2m﹣n＝；②計算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接寫出該值的個位數字是多少．【變式7-2】（2023春·陜西咸陽·八年級咸陽市秦都中學?？茧A段練習）【知識生成】（1）我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式，例如：從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖2．圖1中剩余部分的面積為______，圖2的面積為______，請寫出這個代數恒等式；【知識應用】（2）應用（1）中的公式，完成下面任務：若m是不為0的有理數，已知P=a+2ma-2m，Q=a+ma-m，比較【知識遷移】（3）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數恒等式，圖3表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據圖3中圖形的變化關系，通過計算寫出一個代數恒等式．

【變式7-3】（2023春·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）【實踐操作】（1）如圖①，在邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形(a>b)，把圖①中L形的紙片按圖②剪拼，改造成了一個大長方形如圖③，請求出圖③中大長方形的面積；

（2）請寫出圖①、圖②、圖③驗證的乘法公式為：．【應用探究】（3）利用（2）中驗證的公式簡便計算：499×501+1；（4）計算：1-1【知識遷移】（5）類似地，我們還可以通過對立體圖形進行變換得到代數恒等式如圖④，將一個棱長為a的正方體中去掉一個棱長為b的正方體，再把剩余立體圖形切割分成三部分如圖⑤，利用立體圖形的體積，可得恒等式為：a3-

【題型8完全平方公式的幾何背景】【例8】（2023春·浙江溫州·八年級校聯考期中）圖1，是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)圖2中的陰影部分的面積為；(2)觀察圖2，三個代數式m+n2，(m-n)2，mn之間的等量關系是(3)若x+y=-6，xy=114，則x-y=【變式8-1】（2023春·八年級課時練習）完全平方公式：a±b2例如：若a+b=3，ab=1，求a2解：因為a+b=3，所以a+b2=9，即：又因ab=1，所以a根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若x+y=8，x2+y2=40(2)拓展：若4-xx=3，則4-x2(3)應用：如圖，在長方形ABCD中，AB=20，BC=12，點E、F是BC、CD上的點，且BE=DF=x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側作正方形CFGH和正方形CEMN，若長方形CEPF的面積為160，求圖中陰影部分的面積和．【變式8-2】（2023春·江蘇·八年級期中）【知識生成】通常情況下，通過用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．如圖1，在邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形a>b．把余下的部分沿虛線剪開拼成一個長方形（如圖2）．圖1中陰影部分面積可表示為：a2－b2，圖2中陰影部分面積可表示為(a+b)(a-b)，因為兩個圖中的陰影部分面積是相同的，所以可得到等式：a2－b2=(a+b)(a－b)；【拓展探究】圖3是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖4的形狀拼成一個正方形．（1）用兩種不同方法表示圖4中陰影部分面積：方法1：，方法2：；（2）由(1)可得到一個關于（a+b）2、（a－b）2、ab的的等量關系式是；（3）若a+b＝10，ab＝5，則（a－b）2＝；【知識遷移】（4）如圖5，將左邊的幾何體上下兩部分剖開后正好可拼成如右圖的一個長方體．根據不同方法表示它的體積也可寫出一個代數恒等式：．【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級期中）【知識生成】用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，如圖1，是用長為a，寬為ba>b的四個相同的長方形拼成的一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到(a-b)2、【知識遷移】類似地，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等式，如圖2，觀察大正方體分割，可以得到等式：(a+b)3利用上面所得的結論解答下列問題：（1）已知x+y=6,xy=114，求（2）已知a+b=6,ab=7，求a3【題型9乘法公式中的新定義問題】【例9】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）新定義：如果a，b都是非零整數，且a=4b，那么就稱a是“4倍數”．驗證：嘉嘉說：232-212是“4倍數”，琪琪說：122-6×12+9也是“4倍數”，判斷說得對（填“嘉嘉”、“琪琪【變式9-1】（2023春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）定義：兩個自然數的平方和加上這兩個自然數乘積的兩倍即可得到一個新的自然數，我們把這個新的自然數稱為“完全數”，例如：22+32+2×2×3=25，其中“25”就是一個“完全數”，則任取兩個自然數可得到小于200A．14個 B．15個 C．26個 D．60個【變式9-2】（2023春·廣東揭陽·八年級校聯考期中）現定義一種運算“⊕”，對任意有理數m，n規(guī)定：m⊕n=mnm-n，如：1⊕2=1×21-2=-2，則a+b【變式9-3】（2023春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）對于任意有理數a、b、c、d，定義一種新運算：ac(1)12-1(2)對于有理數x、y，若xkyxy是一個完全平方式，則(3)對于有理數x、y，若x+y=10，xy=22．①求2x-y?②將長方形ABCD和長方形CEFG按照如圖方式進行放置，其中點B、C、G在同一條直線上，點E在邊CD上，連接BD、BF．若AD=x，AB=nx，FG=y，EF=ny，圖中陰影部分的面積為45，求n的值．【題型10乘法公式的規(guī)律探究】【例10】（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）楊輝是我國南宋時著名的數學家，他發(fā)現了著名的