新高考數學一輪復習考點精講講練學案 平面向量的線性運算（含解析）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第第頁參考答案1．D【解析】【分析】根據平面向量的線性運算結合圖象即可得解.【詳解】解：∵點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，∴．故選：D．2．A【解析】【分析】由向量的加法運算結合三角形的性質求解即可.【詳解】，顯然當為斜邊中點時，，此時最小為，即的最小值為.故選：A.3．C【解析】【分析】由向量加減法運算法則，得到所求向量為，再由向量減法的三角形法則，以及向量數乘運算，計算答案.【詳解】由題意得，故選：C.4．D【解析】【分析】根據向量的加減法的三角形法則及平行四邊形的性質即可求解.【詳解】由向量減法的運算可得，又因為四邊形為平行四邊形，所以.故選：D.5．C【解析】【分析】根據已知條件，結合向量的相反向量、加減法法則，即可求解．【詳解】解：由題意可得，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，所以．故選：C．6．B【解析】【分析】依題意可得，，根據平面向量的加減運算可得.【詳解】由已知可得，，所以．故選：B．7．B【解析】【分析】利用向量的線性運算求解即可.【詳解】依題意得：，故選：B.8．C【解析】【分析】利用圖形進行向量的加減、數乘運算，求出答案【詳解】連接AC，BD相交于點O，則故選：C9．D【解析】【分析】利用平面向量共線定理進行求解【詳解】不妨設，則，因為點在線段上，則，故選：D10．C【解析】【分析】根據平面向量的線性運算即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，故選：C.11．A【解析】【分析】依題意可得，再根據平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以.故選：A12．D【解析】【分析】根據已知有是的重心，由重心的性質及向量加法、數乘的幾何意義，用、表示，即可得結果.【詳解】由題意，是的重心，=，，故.故選：D13．C【解析】把，代入中化簡即可.【詳解】解：．故選：C14．A【解析】【分析】利用平面向量的加法和減法以及平面向量的基本定理求解.【詳解】，，，，故選：A.15．A【解析】【分析】由向量的加減運算法則即可求解.【詳解】解：，故選：A.16．B【解析】【分析】根據向量加法法則即可計算.【詳解】.故選：B.17．D【解析】【分析】取的中點，由，得，從而可得與共線，得直線與直線重合，進而得結論【詳解】解：取的中點，則，因為，所以，所以與共線，即直線與直線重合，所以直線一定過的重心，故選：D18．C【解析】【分析】根據平面向量加減運算法則計算可得.【詳解】解：.故選：C.19．B【解析】【分析】直接由求解即可.【詳解】由已知必有，則所求的取值范圍是．故選：B.20．D【解析】【分析】利用向量的加、減以及數乘運算即可求解.【詳解】.故選：D21．C【解析】【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，，即.故選：C.22．A【解析】【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.【詳解】根據向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.23．A【解析】先用向量，表示向量，再轉化為用，表示即可得答案.【詳解】解：根據題意做出圖形，如圖，所以，所以.故選：A.【點睛】關鍵點睛：解題關鍵在于利用向量的線性運算進行求解，屬于基礎題24．C【解析】由非零向量，滿足，推導出“”“”，從而得到“”是“”的充分必要條件．【詳解】非零向量，滿足，“”，“”，“”，，，，“”是“”的充分必要條件．故選：C.．【點睛】該題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，考查向量的性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題目．25．C【解析】由平面向量的線性運算可得，再由平面向量數量積的運算法則計算即可得解.【詳解】由題意作出圖形，如下圖，所以.故選：C.26．B【解析】由題意分析可知，四邊形為菱形且，然后求解.【詳解】，則平分，則四邊形為菱形.且，由，則,故選：B.【點睛】關鍵點睛：本題考查向量的綜合運用，解題的關鍵是要注意為上的單位向量，考查學生的邏輯推理能力與運算能力，屬于基礎題.27．A【解析】【分析】利用向量知識可得，兩邊平方可得，再利用不等式知識可求得結果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，整理得，所以，因為，所以，所以，解得.所以的最大值為故選：A【點睛】關鍵點點睛：將向量條件化為，利用向量數量積的運算律運算得到是解題關鍵.28．A【解析】利用平面向量的線性運算和平面向量基本定理即可求解.【詳解】.故選：A29．D【解析】【分析】根據相反向量的定義，即可判斷選項.【詳解】向量，互為相反向量，則，模相等、方向相反，所以，故A錯誤；，故B錯誤；與方向相反，故C錯誤；，故D正確.故選：D.30．B【解析】根據向量的數量積運算，以及向量模的計算公式，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】已知非零平面向量，，，（1）若，則，所以或，即（1）錯；（2）若，則與同向，所以，即（2）正確；（3）若，則，所以，則；即（3）正確；（4）若，則，所以，不能得出向量共線，故（4）錯；故選：B.【點睛】本題主要考查向量數量積的運算，考查向量有關的判定，屬于基礎題型.31．B【解析】【分析】根據給定圖形，利用平面向量的加法法則列式求解作答.【詳解】因“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，且，，，則，解得，所以.故選：B32．B【解析】【分析】根據三點共線有，使、，由平面向量基本定理列方程組求參數，即可確定答案.【詳解】，，由，P，M共線，存在，使①，由N，P，B共線，存在，使得②，由①②，故.故選：B.33．D【解析】【分析】由平面向量的加減法法則進行計算.【詳解】由題意得，，所以.故選：D.34．B【解析】【分析】根據向量的加減運算法則計算，逐一判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】對于①：，對于②：，對于③：，對于④：，所以結果為的個數是，故選：B35．B【解析】【分析】先根據向量等式推導出甲中P為△ABC的重心，乙中△ABC為直角三角形，丙中P為△ABC的外心，丁中P為△ABC的垂心，故得到當△ABC為等邊三角形時，三心重合，此時甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【詳解】甲：，則，故P為△ABC的重心；乙：，則，故，即△ABC為直角三角形；丙：點P到三角形三個頂點距離相等，故P為△ABC的外心；?。海瑒t，同理可得：，即P為△ABC的垂心，當△ABC為等邊三角形時，三心重合，此時甲丙丁均成立，乙不成立，滿足要求，當乙成立時，其他三個均不一定成立.故選：B．36．B【解析】由，是邊，的中點，得，由可得答案.【詳解】連接，如下圖所示.因為，是邊，的中點，所以，且，所以，所以，解得.又因為，所以.則向量與的夾角大小為120°，故選：B.【點睛】本題考查向量的線性運算，數量積.37．C【解析】【分析】利用向量加法和減法的三角形法則計算即可.【詳解】故選：C.38．BCD【解析】【分析】依次代入四個選項的坐標，求出每種情況下四邊的長度，結合對邊是否平行即可選出正確答案.【詳解】解：設第四個頂點為．對于A選項，當點的坐標為時，，，，．∵，，∴四邊形不是平行四邊形．A不正確；對于B選項，當點坐標為時，因為，即且，故是平行四邊形，B正確；對于C選項，當點坐標為時，因為，即且，故是平行四邊形，C正確；對于D選項，當點坐標為時，因為，即且，故是平行四邊形，D正確；故選：BCD．39．BD【解析】【分析】根據向量的加法和減法運算，對四個選項逐一計算，即可得正確答案.【詳解】對于選項：，選項不正確；對于選項：，選項正確；對于選項：，選項不正確；對于選項：選項正確.故選：BD【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，屬于基礎題.40．AC【解析】【分析】若可判斷A；將已知條件兩邊平方再進行數量積運算可判斷B；求出的坐標，根據且與不共線求出的取值范圍可判斷C；取的中點，根據向量的線性運算可得可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：若滿足，則實數不唯一，故選項A錯誤；對于B：兩個非零向量，，若，則，所以，可得，，因為，所以，所以與共線且反向，故選項B正確；對于C：已知，，所以，若與的夾角為銳角，則，解得：，當時，，此時與的夾角為，不符合題意，所以，所以的取值范圍是，故選項C不正確；對于D：在中，取的中點，由，得，故垂直平分，所以為等腰三角形，故選項D正確．故選：AC．41．AC【解析】【分析】可畫出圖形，根據條件可得出為邊的中點，從而得出選項A正確；由可得出，進而可得出，從而得出選擇B錯誤；可設，進而得出，從而得出，進而得出選項C正確；由即可得出，從而得出選項D錯誤．【詳解】如圖，，為的中點，，A正確；，，，B錯誤；設，且，，三點共線，，解得，，C正確；，D錯誤.故選：AC42．3【解析】【分析】由已知條件可得，令，則可得，從而可得為上靠近的三等分點，由，得∥，從而有，進而可求得答案【詳解】解：因為，所以，令，則，所以，所以為上靠近的三等分點，因為，所以∥,所以，所以，故答案為：343．【解析】【分析】利用向量加減法的幾何意義可得、，再應用向量數量積的運算律及已知條件求即可.【詳解】由題意，.故答案為：44．【解析】【分析】利用平面向量基本定理分別把向量，用基底{，}表示出，結合得到含有系數，的的基底表示，與直接根據向量的線性運算得到的的基底表示比較，利用向量基本定理中的分解唯一性，即可求出，的關系，進而求得結論．【詳解】解：因為，，所以，又因為，且，不共線，所以，兩式相加得，顯然,所以，故答案為：．45．【解析】【分析】先將已知的向量關系式化為，設為中點，為中點，再根據平面向量的平行四邊形法則的加法運算得出，從而可知三點共線，且，進而得出，，最后利用三角形中位線的性質和三角形面積公式，即可確定面積比.【詳解】解：因為，所以，設為中點，為中點，為三角形的中位線，則，因為，可得，所以三點共線，且，則，，分別設，由圖可知，，，則，所以，而，所以，所以，，所以，即的面積之比等于.故答案為：.46．【解析】【分析】設，根據條件找出，，且與的夾角為，與的夾角為，從而根據向量的加法法則和減法的定義寫出，然后表示為關于的二次函數，通過求二次函數的最小值即可解決問題.【詳解】延長交于點，因為，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨設，則，且與的夾角為，與的夾角為，則，所以時，取最小值.故答案為：.47．0【解析】根據向量的線性運算求出，根據對應關系求出的值即可．【詳解】，，，，，.故答案為：0．48．(1)見詳解(2)3(3)【解析】【分析】（1）根據題意，結合向量加減法運算，即可證明；（2）根據題意，用和表示，結合，，三點共線，即可求解；（3）根據題意，結合（1）（2）用和分別表示出和，進而可以表示出，再結合均值不等式與二次函數的最值，即可求解.(1)證明：因，所以，又因為的中點，所以，所以.(2)因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點共線，所以，即.(3)設，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是邊長為的等邊三角形，所以，令，因，即，當且僅當時，等號成立，所以.因此，又因，所以，所以.49．（1）；（2），2.【解析】【分析】（1）由即得解；（2）由即得解.【詳解】（1）；（2）.∴.【點睛】本題主要考查向量的加法法則，考查向量的模的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.50．(1)(2)【解析】【分析】（1）平面向量基本定理，利用向量的加減與數乘運算法則進行求解；（2）建立平面直角坐標系，利用坐標運算進行解答.(1).(2)以A為坐標原點，AE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設，因為矩形與矩形全等，且，所以，則，，，，，所以，，，故.51．（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】（1）延長交于D，則D為BC中點，可得，，即可求出；（2）設，可得，，可得，即可建立關系求得；（3）可得，再根結合的范圍求出.【詳解】（1