2022年中考數(shù)學壓軸大題押題附答案解析

2022年中考數(shù)學壓軸題

1.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=/+法+。(。之0)的圖象與x軸的交點為A(-3,0),

B(1,0)兩點，與y軸交于點C(0,-3),頂點為。，其對稱軸與x軸交于點E.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)連接AC,AD,CD,試判斷△AOC的形狀，并說明理由；

(3)點P為第三象限內拋物線上一點，△力PC的面積記為S,求S的最大值及此時點P

的坐標；

(4)在線段4c上，是否存在點F,使△AEF為等腰三角形？若存在，直接寫出點F的

坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)二次函數(shù)表達式為：y=a(x+3)(x-1)=a(J?+2X-3),

則-3a=-3,解得：a=1,

函數(shù)的表達式為：y=7+2x-3；

(2)由(1)知，點。(-1,-4),

AC=3V2,CD=V2,">=J(-1+3=+(一鏟=例,

：.AD2^AC2+CD2,

故△AOC為直角三角形;

(3)過點P作PH〃y軸交AC于點”,

圖2

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將點A、C的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線AC的表達式為：y=-x-3,

設點P(x,7+2%-3),則點H(x,-%-3),

S=^1PHXOA=^3(-x-3-?-12x+3)=-35(x+/312+^2-7

ZZZZo

當戶一|時，S最大值為日,此時點尸(一I，一泵；

(4)：OA=OC=3,：./OAC=/OCA=45°,

①當AE=E尸時，如下圖，

圖3

△AEF為等腰直角三角形，AE=2=EF,

.?.點尸(-1,-2)；

②當月E=AF時，

同理可得：點尸(-3+V2,-V2)；

③當AF=EF時，

同理可得：點F(-2,-1)；

故點尸的坐標為：(-1,-2)或(-3+夜，一或)或(-2,-1).

2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線Ci：y=(v?+bx-1經過點A(-2,1)和點8(-1,

-1),拋物線Ci：y=2?+x+l,點M為C2上一點，MN//y軸交C\于點N.

(1)求拋物線Ci的解析式；

(2)①求MN的最小值；

②當△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求M的坐標；

(3)請直接寫出當aABN為銳角三角形時，點N橫坐標x的取值范圍.

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解：（1）：拋物線Cl：丫=/+次-1經過點A（-2,1）和點B（-1,-1）,

?弋上￥二卻，解得｛M；，

拋物線Ci的解析式為y=/+x-1；

（2）①設M（n2戶+什1）,則NG,?+/-1）,

：.MN=t2+2,

VI>0,

...當?=0時，MN有最小值為2；

②當/ANM=90°,AN=NM時，AN=t-（-2）=f+2,MN=F+2,

：.t+2=t2+2,解得fi=0（舍）,ti=\,此時點M坐標為（1,4）,

當NAMN=90。，AM=MN時，有什2=d+2,解得n=0,f2=l（舍），此時點M坐標

為（0,1）,

綜上所述，當△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，M的坐標為（0,1）或（1,

4)；

(3)如圖，過點A作ANi_LAB交拋物線于Ni,過點8作交拋物線于M，

過A作AQ〃x軸，過M作NiQ〃y軸，過8作8S_LAQ于S,過M作MTLBS于T,

:A(-2,1),B(-1,-1),

."5=1,BS=2,

設M(m,m2+m-I),Ni(〃，i?+n-1),則

AQ=m+2,N\Q=nr+m-2,NiT=n+\,BT=n2+n,

'：/AQNi-/ASB=NBT5NBAN\-NABN2=90°

ZQANi+ZBAS^ZBAS+ZABS^乙鉆S+/N28T=90°

，ZQANi=NABS,ZN2BT=NBAS

：.AANiQsABASsANzBT

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.N、QBTAS?m24-m-2n2+n1

f

**AQ~N2T~BS即m+2―n+1-2

Q1

^?m\=-2（舍去），ni2=2；=-1（舍去），〃2=21

1Q

故△ABN為銳角三角形時，點N橫坐標x的范圍為：-

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=o?+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)

兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線ynaf+Zr+c的解析式；

(2)點。為拋物線上對稱軸右側、x軸上方一點，軸于點E,。f〃AC交拋物線

對稱軸于點F,求DE+DF的最大值；

(3)①在拋物線上是否存在點P,使以點4,P,C為頂點，AC為直角邊的三角形是直

角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；②點。在

拋物線對稱軸上，其縱坐標為f,請直接寫出aAC。為銳角三角形時，的取值范圍.

解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）,B|Jy-ax1-lax-3a,

-2a=2,解得a=-1,

.?.拋物線解析式為y=-/+2r+3；

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(2)當x=0時，y=-7+2x+3=3,則C(0,3),

設直線AC的解析式為產px+q,把A(-1,0),C(0,3)代入得.匕苧二°,解得仁二

直線AC的解析式為y=3x+3,

如圖1,過。作OG垂直拋物線對稱軸于點G,設。(x,-/+2%+3),

,JDF//AC,

：.NDFG=NACO,易知拋物線對稱軸為x=1,

：.DG=x-1,DF=V10(x-1),

：.DE+DF=-?+2x+3+V10(x-1)=-7+(2+g)x+3-VTU=-(x-均雪2+竽,

-l<0,

.?.當》=二警，OE+。F有最大值為T；

(3)①存在；

如圖2,過點C作AC的垂線交拋物線于點為，：直線AC的解析式為y=3x+3,

,直線PC的解析式可設為y=-3+小把C(0,3)代入得機=3,

1(y=-%2+2%+3解得或［IK，

???直線P\C的解析式為)，=一基+3,解方程組1.

$(y=一/+3

720

則此時P1點坐標為(",—);

39

過點A作AC的垂線交拋物線于P2,直線AP2的解析式可設為)=—￡+%

把A(-1,0)代入得〃=-I，

11僅=一/+2x+3(?尤=-1

??.直線PC的解析式為尸一卜凸解方程組，解得｛；=0］或

x=10

13

y=F

則此時P2點坐標為(W，-甘),

7201017

綜上所述，符合條件的點P的坐標為(］,—)或(了，-等);

②如圖3,拋物線產-?+2r+3對稱軸為直線x=1,過點C作CQiJ_4c交對稱軸于Q\,

過點A作AQ2±AC交對稱軸于Q2,

'：A(-1,0),C(0,3),

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?,?直線AC解析式為y=3x+3,

VCQilAC

J直線CQi解析式為y=-3+3,令x=l,得y=-gxl+3=￡

8

(L-)；

VAQ2IAC

?，?直線AQ2解析式為尸一暴一羨，令x=l,得尸一女1一義=一搟

VZAQC=90°時，AQ2+CQ2=AC2

...(-1-1)2+?+(1-0)2+(t-3)2=(V10)2,解得：八=1,12=2,

...當1W/W2時，NAQCN90°,

???△ACQ為銳角三角形，點。(1,r)必須在線段。10上(不含端點Qi、Q)，

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圖1

4.如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,。為AB邊上的一點，以A。為直徑的。。交8c

于點E,交AC于點凡過點C作CGLAB交AB于點G,交AE于點H,過點E的弦EP

交AB于點。(EP不是直徑)，點。為弦EP的中點，連結BP,8P恰好為。。的切線.

(1)求證：8c是。。的切線.

(2)求證：EP=ED.

3

(3)若sin/ABC—AC=15,求四邊形C”QE的面積.

(1)證明：連接OE,OP,

,/AD為直徑，點Q為弦EP的中點,

/.PE_LA8,點。為弦EP的中點，

：.AB垂直平分EP,

：.PB=BE,

'：OE=OP,OB=OB,

:ABEO注/\BPO(SSS),

:.NBEO=NBPO,

為OO的切線，

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AZBPO=90°，

AZBEO=90°,

：.OE±BCf

???8C是OO的切線.

(2)證明：*：ZBEO=ZACB=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZOEA,

t：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEOf

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：???A。為的OO直徑，點。為弦EP的中點,

：.EPA.AB9

?:CG±AB,

J.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEO,

9：OA=OE,

???ZEAQ=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AEf

：.AACE^AAgE(A45),

：.CE=QE,

VZAEC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

:?NCEH=NAHG,

ZAHG=ZCHEf

：.ZCHE=ZCEH,

：.CH=CE,

:?CH=EQ,

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???四邊形是平行四邊形，

,:CH=CE,

???四邊形C7/QE是菱形，

AG3

VsinZABC=sinZACG=="-=一，

AC5

VAC=15,

???AG=9,

JCG=y/AC2-AG2=12,

AACE^AAgE,

：.AQ=AC=15,

：.QG=6,

：HQ2=HG2+QG2,

:.Hd=(12-HQ)2+62,

解得:“。=苧，

15

：.CH=HQ=^-,

ic

四邊形CHQE的面積=C〃?GQ=與x6=45.

5.如圖，△ABC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點￡>.

(I)求證：NBAC=2NABD；

(2)當△BCD是等腰三角形時，求/BCD的大??；

(3)當A￡>=2,C3=3時，求邊BC的長.

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(1)證明：連接0A.

圖1

???A8=AC,

：.AB=AC,

：.OA±BCf

：.ZBAO=ZCAO,

,.?OA=O8,

ZABD=ZBAO9

：?NBAC=2NABD.

(2)解：如圖2中，延長AO交8c于H.

*：AB=AC,

JZABC=ZC,

：.ZDBC=2ZABD,

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VZDBC+ZC+ZBDC=180°,

A8ZABD=180°,

：.ZC=3ZABD=61.5°.

②若CD=CB,則NC8O=NCO8=3NA8O,

，ZC=4ZABDf

VZDBC+ZC+ZCDB=180°,

.,.10ZABD=180°,

：,4BCD=4/ABD=TT.

③若。8=。。，則。與A重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°?

(3)如圖3中，作AE〃BC交的延長線于E.

A。AE4

.**—=—=一，設O8=OA=4a,OH=3a,

OHBH3

*：BH2=AB2-AH2=01^-0序，

???25-49。2=16。2-9。2,

,2_25

??。一茄’

：.BH=挈

4

:.BC=2BH=挈

6.已知，如圖：△ABC是等腰直角三角形，ZABC=90Q,AB=10,。為△ABC外一點,

連接40、BD,過。作DH_L4B,垂足為H,交AC于E.

(1)若△A8D是等邊三角形，求OE的長；

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Q

(2)若BD=AB,J@LtanZHDB=求DE的長.

【解答】解：(1)?.?△AB。是等邊三角形，48=10,

/.ZADB=60Q,AD=AB=10,

"DHA.AB,

：.AH^^AB=5,

：.DH=\/AD2-AH2=V102-52=5V3,

???△ABC是等腰直角三角形，

AZCAB=45°,即NAE”=45°,

/\AEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

(2)'：DH±AB,且tanNHOB=1,

可設8H=3吼則Z)H=4鼠

根據勾股定理得：DB=5k,

'：BD=AB=IO,

.?.5%=10解得：k=2,

：.DH=S,BH=6,A/7=4,

又,；EH=AH=4,

：.DE=DH-EH=4.

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7.如圖，已知。。是△ABC的外接圓，是的直徑，。是AB延長線上的一點，AE

交。C的延長線于E,交。。于點F,且我=詼

（1）試判斷。E與。。的位置關系并加以證明：

（2）若B0=|,A￡=4,求/BC