用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 省賽獲獎(jiǎng)

22.1.4二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式建陽(yáng)區(qū)徐市中學(xué)沈永玲我們知道，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過(guò)程中，已知同一直線上的不同兩點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以求出這條直線的解析式.

例如：已知直線y=ax+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（-1，-3），

求出這條直線的解析式？

解：設(shè)這條直線的解析式為y=kx+b,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（-1，-3），

1=k+b

----(1)－3=－k+b----(2)解得k=2b=-1則直線的解析式為y=2x-1溫故而知新我們知道，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的過(guò)程中，已知同一直線上的不同兩點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以求出這條直線的解析式.探究下面問(wèn)題（1）由幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定二次函數(shù)？這幾個(gè)點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？（2）如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（-1,10），（1,4），（2,7）三個(gè)點(diǎn)，能求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？如果能，求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.分析（1）確定一次函數(shù).用待定系數(shù)法，求出k,b的值，從而確定一次函數(shù)解析式.類似的，我們可以寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，求出a,b,c的值.由不共線三點(diǎn)（三點(diǎn)不在同一直線上）的坐標(biāo)，列出關(guān)于a,b,c的三元一次方程組就可以求出a,b,c的值.（2）設(shè)所求二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由已知，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（-1,10），（1,4），（2,7）三點(diǎn)，得關(guān)于a,b,c的三元一次方程組所求二次函數(shù)是y=2x2-3x+5解這個(gè)方程組，得a=2,b=-3,c=5用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式的基本方法分四步完成：一設(shè)、二代、三解、四還原一設(shè):指先設(shè)出二次函數(shù)的解析式二代:指根據(jù)題中所給條件，代入二次函數(shù)的解析式，得到關(guān)于a、b、c的方程組三解:指解此方程或方程組四還原:指將求出的a、b、c還原回原解析式中方法小結(jié)小題練練某二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（0,-3），（1,-4），（3,0）三點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式？已知二次函數(shù)的解析式，能很快的求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，現(xiàn)在反過(guò)來(lái)，知道頂點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)該就能寫出它的頂點(diǎn)式例如（1）y＝a(x＋1)2+4頂點(diǎn)

。（2）y＝a(x-1)2+2頂點(diǎn)

。（3）y＝a(x-3)2-4頂點(diǎn)

。（4）y＝a(x＋3)2-1頂點(diǎn)

。逆向思維例如（1）頂點(diǎn)（3，1）y＝a(x

)2

。（2）頂點(diǎn)（-3，2）y＝a(x

)2

。（3）頂點(diǎn)（2，-4）y＝a(x

)2

。（4）頂點(diǎn)（-5，-3）y＝a(x

)2

。解：根據(jù)題意得頂點(diǎn)為(－1,4)由條件得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)(2,0)；(-4,0）已知當(dāng)x＝－1時(shí)，拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，且與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為6，求此函數(shù)解析式y(tǒng)ox所以設(shè)二次函數(shù)解析式：y＝a(x＋1)2+4有0＝a(2＋1)2+4，得a＝故所求的拋物線解析式為y=

(x＋1)2＋4新課例題解：根據(jù)題意得頂點(diǎn)為(2,6)由條件得與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)(-1,0)；(5,0）已知當(dāng)x＝2時(shí)，拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，且與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為6，求此函數(shù)解析式y(tǒng)ox所以設(shè)二次函數(shù)解析式：y＝a(x-2)2+6有0＝a(5-2)2+6，得a＝故所求的拋物線解析式為y=

(x-2)2＋6小筆練練1、若拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸為x＝2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,4)和點(diǎn)(5,0)，求此拋物線解析式?

提升思維，思考后做一做

回顧與反思已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)的對(duì)應(yīng)值，通常選擇一般式已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（對(duì)稱軸和最值）通常選擇頂點(diǎn)式已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，通常選擇交點(diǎn)式（下節(jié)課內(nèi)容）yxo確定二次函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式，已知四點(diǎn)A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12）試問(wèn)是否存在一個(gè)二次函數(shù)，使它的圖像同時(shí)經(jīng)過(guò)

這四個(gè)點(diǎn)？如果存在，請(qǐng)求出關(guān)系式；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.我思考，我進(jìn)步1.一個(gè)二次函數(shù)，當(dāng)自變量x=0時(shí)，函數(shù)值y=-1，當(dāng)x=-2與0.5時(shí)，y=0.求這個(gè)二次函數(shù)的