線性代數(shù) 課件

第一章

習(xí)題課個不同的元素排成一列，叫做這 個元全排列 排列個不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，．１

全排列中，若數(shù)，逆序一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．２

逆序數(shù)定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，稱為一次對換．將相鄰兩個元素對調(diào)，定理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改推論

奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)．４對

換５

n階行列式的定義６

n階行列式的性質(zhì)７

行列式按行（列）展開１）余子式與代數(shù)余子式８

克拉默法則定理定理一、計算排列的逆序數(shù)二、計算（證明）行列式三、克拉默法則典

型

例

題分別算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)．解一、計算排列的逆序數(shù)為偶數(shù)時，排列為偶排列，當 為奇數(shù)時，排列為奇排列．解評注本例是從一般項入手，將行標按標準順序排列，討論列標的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般注意證明評注本題證明兩個行列式相等，即證明兩點，一是兩個行列式有完全相同的項，二是每一項所帶的符號相同．這也是用定義證明兩個行列式相等的常用方法．解階范德蒙行列式，由評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行解評注

“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有１，則可適當選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應(yīng)充分利用這些特點，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達到化為三角形行列式之目的．４

用降階法計算解評注

本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．５ 用拆成行列式之和（積）計算證６

用遞推法計算解評注７

用數(shù)學(xué)歸納法證評注小結(jié)計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計算時，首先要仔細考察行列式在構(gòu)造上的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．當線性方程組方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時，可用克萊姆法則．為了避免在計算中出現(xiàn)分數(shù)，可對有的方程乘以適當整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項都是整數(shù)的線性方程組后再求解．三、克拉默法則解于是，所求的多項式為證克；乙種化肥每千克含克；丙種化肥每千克含氮克．若把此三種化肥混合，要