學(xué)習(xí)報告(數(shù)學(xué))

新絳中學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)報告班級：0916班 姓名：柴海豪 科目：數(shù)學(xué)數(shù)列通項公式求法集錦求取數(shù)列通項公式的題目繁多，但解題原理貫穿于始終，故而方法便成了解題之關(guān)鍵！[典例直擊]A、“規(guī)律型”（已知數(shù)列的前n頂，求該數(shù)列的通項公式）1、寫出下列數(shù)列的通項公式（1）（2）1，3，3，5，5，7，7，9，9，…（3）3，5，9，17，33，…（4）（5）7，77，777，…（6）（7）0，（8）[點(diǎn)撥]觀察數(shù)列特點(diǎn)或?qū)⑵湎茸冃?，找出各項與序號n之間的關(guān)系[解]（1）原數(shù)列可改寫為1+1，2+，3+，4+，5+，…即故原數(shù)列的一個通項公式為an=n+（2）數(shù)列的奇數(shù)項與頂數(shù)相等，偶數(shù)項比項數(shù)大1。故此數(shù)列可改寫為1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，…故此數(shù)列可看成數(shù)列{bn}：0，1，0，1，0，1，…與數(shù)列{cn}：1，2，3，4，5，6，…對應(yīng)項之和。又bn=，cn=n，所以原數(shù)列的一個通項公式為an=n+（3）數(shù)列的前n項可記為21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，…，∴an=2n+1（4）數(shù)列的整數(shù)部分1，2，3，4…恰好是序號n分?jǐn)?shù)部分與序號的關(guān)系為∴數(shù)列的通項公式an=n+=（5）將原數(shù)列改寫為易知數(shù)列9，99，999，9999，…的一個通項公式為an=10n—1，∴所求數(shù)列an=（6）數(shù)列偶數(shù)項為負(fù)，奇數(shù)項為正，故而通項公式中必含因式(—1)n+1等2項—1改寫成后，數(shù)列各項分母依次為3，5，7，9，11，…，與序號n的關(guān)系可記為2n+1。而各項分子為2，5，10，17，26，…，與序號n的關(guān)系可記為n2+1∴數(shù)列的一個通項公式為an=(—1)n+1（7）∵5=22+110=32+117=42+1∴an=（8）原數(shù)列可寫成∴an=(—1)n+1[方法提取]（1）負(fù)號的調(diào)解用—1n/(—1)n+1[一個數(shù)列偶負(fù)奇正，則通項公式的含因式(—1)n+1]（2）在解決有關(guān)分式的數(shù)列時，分子、分母分開求通項。（3）記憶一些常見的通項公式。①正數(shù)數(shù)列1，2，3，4，…，an=n②1，3，5，7，…，an=2n—1③2，4，6，8，…，an=2n④—1，1，—1，1，…，an=(—1)n⑤1，—1，1，—1，…，an=(—1)n+1⑥1，2，4，8，…，an=2n—1⑦1，4，9，16，…，an=n2⑧1，…，an=⑨9，99，999，…，an=10n—1⑩7，77，777，…，an=(10n—1)B、“已知Sn，求an”2、已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意正整數(shù)n有2an=Sn+。則求數(shù)列{an}的通項公式。解：∵2an=Sn+∴Sn=2an—當(dāng)n≥2時，an=Sn—Sn—1=2an——2an—1+=2an—2an—1∵ ∴{an}為一等比數(shù)列當(dāng)n=1時，an=S1=2an—∵a1=∴an=·2n—1=2n—2[方法提取]已知Sn求an的方法：（1）當(dāng)n≥2時，an=Sn—Sn—1（2）當(dāng)n=1時，a1=S1（3）檢驗，若滿足，則an即為通項公式，若不滿足則分段表示。C、“累加法”3、一個數(shù)列{an}，a1=1，an+1=an+2n，則數(shù)列{an}的通項公式。解：∵an+1=an+2nan+1—an=2n∴a2—a1=2×1a3—a2=2×2a4—a3=2×3a5—a4=2×4……an=an—1=2(n—1)以上各式兩邊均相加，可得：an—a1=2(1+2+3+…+n—1)=2×=n2—n∴an=n2—n+1[方法提取]若一數(shù)列滿足“an+1—an=f(n)”的形式，則用累加法。D、“累乘法”4、已知一個數(shù)列{an}，且a1=1，an+1=an·上述兩邊同時相乘，則∴∴[方法提取]若一數(shù)列滿足=f(n)，則適和“累乘法”。E、“柯造數(shù)列法”5、已知一個數(shù)列{an}，且滿足a1=2，an=2an—1—1，則求該數(shù)列的通項公式。解：an+λ=2(an—1+λ)①an+λ=2an—1+2λ∵an=2an—1—1∴λ=1將λ=1代入①式中，得：an—1=2(2an—1—1)∴{an—1}是一等比數(shù)列∴an—1=an·qn—1=1·2n—1=2n—1∴an=2n—1+1[方法提取]①柯造“λ”，使其構(gòu)造成一數(shù)列進(jìn)而求解；②公式法：an=kan—1+d（λ=）新絳中學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)報告班級：0909班 姓名：吳若 科目：數(shù)學(xué)恒成立問題初探恒成立問題中求參數(shù)的范圍各類試題中的熱點(diǎn)題型，多以8分或10分的中等難度題出現(xiàn)，下面看它的求解方法：1、簡單恒成立問題的總結(jié)也可等于例：若關(guān)于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解：當(dāng)a=0時，2x+2>0，解集不為R，故a=0不滿足題意，舍去；當(dāng)a≠0時，要使原不等式解集為R，只需綜上，所求實數(shù)a的取值范圍為（，+∞）2、最值法（或分離參數(shù)法）將含參數(shù)a的關(guān)于x的不等式，通過分離參數(shù)a后，當(dāng)f(x)的最值存在時有以下充要條件：可等于例：已知三個不等式①x2—4x+3≤0，②x2—6x+8≤0，③2x2—9x+m≤0要使同時滿足①②的所有x的值滿足③，求m的取值范圍。解：由①②得2≤x≤3，要使同時滿足①②的所有x的值滿足③，即2x2—9x+m≤0在x∈[2，3]上恒成立，即m≤—2x2+9x在x∈[2，3]上恒成立，又—2x2+9x在x∈[2，3]上最小值為9，由恒成立原理，得m≤9。3、根的分布法對于二次函數(shù)在區(qū)間[α，β]內(nèi)有（1）f(x)=ax2+bx+c>0（a>0）在[α，β]上恒成立（2）f(x)=ax2+bx+c<0（a>0）在[α，β]上恒成立例：已知不等式(1—m)x2+(m—1)x+3>m在x∈[—2，2]上恒成立，求m的取值范圍。解：（1）當(dāng)m>1時，m—1>0，原題即為(m—1)x2+(1—m)x+m—3<0成立，只須(m—1)(—2)2+(1—m)(—2)+m—3<0 (m—1)22+(1—m)2+m—3<0（2）當(dāng)m=1時，不等式在[—2，2]上顯然成立。（3）當(dāng)m<1時，1—m>0，因—＝∈[—2，2]故只須Δ=(m—1)2—4(1—m)(3—m)<0，解得m<1綜合（1）（2）（3），知m的取值范圍為m<4、數(shù)形結(jié)合法若把不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出不等號兩邊函數(shù)的圖象，則可以畫圖直接判斷得出結(jié)果，尤其對于選擇題、填空題，這種方法更顯方便、快捷。例：當(dāng)x∈（0，+∞）時，不等式x2+2ax+a2—a—>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。解：令f(x)=x2+2ax+a2—a—，則對稱軸x=—a，Δ=4a2—4×1×(a2——)=2a+b（1）Δ<0，即a<—3，x∈R,f(x)>0恒成立，a<—3滿足條件；（2）Δ≥0，若x∈（0，+∞）時，恒有f(x)>0；綜（1）（2）知，實數(shù)a的取值范圍：（—∞，—3）∪[，+∞]新絳中學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)報告班級：0909班 姓名：高瑞雪 科目：數(shù)學(xué)數(shù)列通項公式求法集錦公式法若已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列，求出首項，公差或公比，運(yùn)用公式an=a1+(n—1)d，an=a1·qn—1或an=am+(n—m)d，an=am·qn—m例題：在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a6=28，a7=20，求an∵a4+a6=2a5=28 ∴a5=14∵a7=a5+2d=20 ∴d=3∴an=a5+(n—5)×3=14+3n—15=3n—1已知Sn求an三步曲①n≥2時，an=Sn—Sn—1②n=1時，a1=S1③檢驗：將n=1代入an，看是否滿足若滿足an=,若不滿足an=n=1或n≥2例題：數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2—2n+1，則它的通項公式（1）n≥2an=Sn—Sn—1=3n2—2n+1—3(n—1)2+2(n—1)—1=6n—5（2）n=1a1=S1=3×1—2×1+1=2（3）檢驗n=1a1=6×1—5=1（不等合）∴an=2(n=1)6n—5（n≥2）累加法若題干給出an+1—an=f(n)，此形式時采用累加法，變形an+1=an+f(n)例題：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，則an=由題意得an+1—an=2nn=1a2—a1=2n=2a3—a2=4n=3a4—a3=6n=n—1an—an—1=2(n—1)把上面各式相加an—a1=2+4+6+…+2(n—1)an—a1==n2—nan=n2—n+1累乘法若題干給出=f(n)，此形式時采用累乘法，變形an+1=f(n)·an例題：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，=，求ann=1n=2n=n—1n=3把上面各式相乘an=構(gòu)造法a、對于可an+1=kan+m（一次函數(shù)）一般構(gòu)造等比數(shù)列{an+λ}λ=例題：已知數(shù)列{an}a1=1an+1=2an+1（1）求證{an+1}為等比數(shù)列；（2）求an的表達(dá)式；解：（1）證明：q={a}是一個與n無關(guān)的等比數(shù)列。（2）數(shù)列{an+1}是以a1+1=2為首項，q=2為公比的等比數(shù)列an+1=2×2n—1=2nan=2n—1b、對于an=c·an±1+kcn→構(gòu)造等差數(shù)列例題：已知a1=1，an=2，an—1+2n∵an=2an—1+2n兩邊同除以2n∴∴∴{}是以為首項，公差為1的等差數(shù)列∴=+(n—1)=n—∴an=(n—)·2n新絳中學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)報告班級：0909 姓名：陳錦苗 科目：數(shù)學(xué)數(shù)列前n項和求法集錦對于我們數(shù)學(xué)的必修五來說，重點(diǎn)考來考去無非就那么幾個重點(diǎn)。而失分較多的，也總在最后一道大題：數(shù)列問題上。今天，我重點(diǎn)向大家介紹解決數(shù)列前n項和的求法。一共有四大類。公式法大家都知道等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d.等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1.那么，如果知道了通項公式，我們就可以通過等差數(shù)列前n項的求和公式Sn＝或Sn＝na1+d,等比數(shù)列前n項求和公式Sn＝或Sn＝.不過，我們一般采用的都是Sn＝/Sn＝,計算起來比較方便。（對于等差數(shù)列，求其前n項和，我們只需得知首項及末項；對于等比數(shù)列，則需要分類討論：n＝1；n≠1這兩種情況一般不用分，就怕出現(xiàn)特殊情況，所以平常多注意）在這里，我們舉一個等比數(shù)列的例子例：設(shè)f（n）＝2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），則f(n)的值是多少？解析：通過觀察可知，該數(shù)列是以2為首項，8為公比的等比業(yè)數(shù)列，f(n)為其前n項和，那么選用Sn＝便可得出答案。解：∵f(n)是以2為首項，8為公比的等比數(shù)列的前n項和，∴f(n)＝2+24+27+210+…+23n+10＝＝(8n+4－1)錯位相減法若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的相對項乘積組成的新數(shù)列為{an·bn}，當(dāng)求該數(shù)列的前n項的和時常常采用將{an·bn}的各項乘以公比q，并向后錯一項與{an·bn}的同次項對應(yīng)相減即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以我們把這種數(shù)列求和的方法稱為錯位相減法，這種方法也同樣適用于{}所以，錯位相減法，說白了就是適用{等差·等比}或{}數(shù)列，只需要將其前n項和后n項分別列出來，即Tn＝a1·b1+a2·b2+a3·b3+a4·b4+…+an·bn.然后再分別乘以等比數(shù)列的公式q，即qTn＝qa1·b1+qa2·b2+qa3·b3+qa4·b4+…+qan·bn.再（1－q）Tn即可得到。例：求和：Sn＝1×+3×+5×+…+解析：由最后一項an＝可以得知該數(shù)列為?！噙x用錯位相減法。解：∵Sn＝1×+3×+5×+…+(2n-1) =1\*GB3① ∴Sn＝1×+3×+…+(2n-3)×+(2n-1)× =2\*GB3②=1\*GB3①—=2\*GB3②得Sn＝1×+2×+2×+2×—（2n—1）× ＝1×+—(2n－1)× ＝—∴Sn＝3—（n∈N+）分組求和法此方法主要適用于{等差±等比}，只要碰到這類問題，分別求等差和等比的前n項和，最后再加/減一下即可。例：求數(shù)列1,3,5,…[(2n—1）+]的前n項和解析：分析數(shù)列選用分