浙江省紹興市2024屆高三上學(xué)期11月選考科目診斷性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省紹興市2024屆高三上學(xué)期11月選考科目診斷性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，而，所以.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意由可得，所以.故選：A.3.已知向量，滿足，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，則，，則.，故.故選：B.4.已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正六棱柱的所有棱長均為2，故正六棱柱的外接球球心為上下底面中心連線的中點，故，表面積為.故選：D.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，故，即，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.已知為拋物線上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，圓心，，如圖所示：連接，，，則，故當(dāng)最小時的最小，設(shè)，，當(dāng)時，最小為，此時.故選：C.7.已知數(shù)列滿足，且，則下列說法中錯誤的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，則是等差數(shù)列C.若，則是等比數(shù)列D.若，則是等比數(shù)列【答案】B【解析】對選項A：，，，故，正確；對選項B：，，故，，不滿足等差數(shù)列，錯誤；對選項C：，，則，故，數(shù)列為等比數(shù)列，正確；對選項D：，，，故，即，正確；故選：B.8.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則對所有這樣的函數(shù)，由下列條件一定能得到的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對選項A：取，滿足函數(shù)為奇函數(shù)，且，，錯誤；對選項B：取，滿足函數(shù)為奇函數(shù)，且，，錯誤；對選項C：若，為奇函數(shù)，且，取得到；取得到；故，正確.對選項D：取，滿足函數(shù)為奇函數(shù)，且，，錯誤；故選：C.二、選擇題9.已知圓：和圓：，則（）A.圓的半徑為4B.軸為圓與的公切線C.圓與公共弦所在的直線方程為D.圓與上共有6個點到直線的距離為1【答案】BD【解析】圓：，圓心，半徑；圓：，圓心，半徑；對選項A：圓半徑為，錯誤；對選項B：軸到圓心的距離為，即軸與圓相切；軸到圓心的距離為，即軸與圓相切，正確；對選項C：圓心距，，故兩圓相交，圓與公共弦所在的直線方程為，整理得到，錯誤；對選項D：過直線，故到直線距離為的點有個；過直線，故到直線距離為的點有個，故共有個點滿足條件，正確；故選：BD.10.由變量和變量組成的10個成對樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗回歸方程為，設(shè)過點，的直線方程為，記，，則（）A.變量，正相關(guān)B.若，則C.經(jīng)驗回歸直線至少經(jīng)過中的一個點D.【答案】ABD【解析】對選項A：回歸方程為，故變量，正相關(guān)，正確；對選項B：若，則，正確；對選項C：經(jīng)驗回歸直線不一定會經(jīng)過中的點，錯誤；對選項D：根據(jù)最小二乘法，回歸直線是所有直線中使殘差平方和最小的直線，正確；故選：ABD.11.已知函數(shù)，則（）A. B.恰有5個零點C.必有極值點 D.在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】對選項A：，錯誤；對選項B：，故，畫出函數(shù)和圖象，如圖所示：根據(jù)圖象知，函數(shù)有五個交點，故恰有5個零點，正確；對選項C：，，，故存在，使且是變號零點，必有極值點，正確；對選項D：，設(shè)，，則，因為，故，，在上單調(diào)遞增，，，故存在，使，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故，即恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞減，正確；故選：BCD12.已知橢圓的左項點為，上、下頂點分別為，，動點，在橢圓上（點在第一象限，點在第四象限），是坐標(biāo)原點，若的面積為1，則（）A.為定值 B.C.與的面積相等 D.與的面積和為定值【答案】ABC【解析】依題意，，則的面積，即有，由，得，即，因此，令，即，則，由，得，而，從而，即，A正確；，由，得，而點不在直線上，因此，B正確；顯然，，，因此與的面積相等，C正確；由選項C知，，而，，由于，函數(shù)的值不是定值，D錯誤.故選：ABC.三、填空題13.的展開式中的系數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，展開式中含有項的為，所以展開式中的系數(shù)為；故答案為：14.人類已進入大數(shù)據(jù)時代.目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從（）級別躍升到（），（）乃至（）級別.國際數(shù)據(jù)公司（）的研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為，2010年增長到.若從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量與年份的關(guān)系為，其中，均是正的常數(shù)，則2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的___________倍.【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，解得；2023年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量是2022年的倍.故答案為：.15.過正三棱錐的高的中點作平行于底面的截面，若三棱錐與三棱臺的表面積之比為，則直線與底面所成角的正切值為___________.【答案】【解析】依題意過正三棱錐的高的中點作平行于底面的截面，則為的中點，為的中點，為的中點，設(shè)的邊長為，，則，，，所以，，所以三棱錐的表面積，三棱臺的表面積，依題意，所以，取的中點，則，因為為正三棱錐的高，所以平面且，則直線與底面所成角為，所以，所以，故直線與底面所成角的正切值為.故答案為：16.已知等比數(shù)列滿足且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】，，設(shè)，則，，，故，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，，當(dāng)趨近時，趨近，故有解，滿足條件；當(dāng)時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減；故只需，即，整理得到，解得，故.綜上所述：.故答案為：四、解答題17.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求的大??；（2）若，，求.解：（1），故意，即，所以，，故，所以，所以，又，所以.（2），，所以.故，故.18.已知等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）記為數(shù)列前項的乘積，若，求的最大值.解：（1）設(shè)的公差為，由得；由，，成等比數(shù)列，得，即，整理得.由，解得或，的通項公式為或.（2），所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，.從而，，，，，又因為，，故的最大值為.19.如圖，為正三角形，平面，平面，，，點F，P分別為，的中點，點在線段上，且.（1）證明：直線與直線相交；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：取中點，連接，，，，則，，由平面，平面，得，又，則，，四邊形為平行四邊形，因此，，由點在線段上，且，得是的中點，又點是的中點，于是，，則，，即，共面，且，長度不等，所以直線與直線相交.（2）解：由（1）知，平面即為平面，由平面，且平面，得，而為正三角形，點是的中點，則，又，平面，于是平面，又，則平面，顯然平面，則有，從而為平面與平面所成二面角的平面角，不妨設(shè)，則，，，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若，都有，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，于是，而，所以曲線在處的切線方程是，即.（2）不等式，令函數(shù)，求導(dǎo)得，令，設(shè)，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是，即有，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，由，成立，得，成立，因此，所以的取值范圍是.21.機器人甲、乙分別在，兩個不透明的箱子中取球，甲先從箱子中取2個或3個小球放入箱子，然后乙再從箱子中取2個或3個小球放回箱子，這樣稱為一個回合.已知甲從箱子中取2個小球的概率為，取3個小球的概率為，乙從箱子中取2個小球的概率為，取3個小球的概率為.現(xiàn)，兩個箱子各有除顏色外其它都相同的6個小球，其中箱子中有3個紅球，3個白球；箱子中有2個紅球，4個白球.（1）求第一個回合甲從箱子取出的球中有2個紅球的概率；（2）求第一個回合后箱子和箱子中小球個數(shù)相同的概率；（3）兩個回合后，用表示箱子中小球個數(shù)，用表示箱子中小球個數(shù)，求分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）在第一個回合中，記事件表示“甲從箱子中取出2個球”，事件表示“甲從箱子中取出3個球”，事件C表示“甲從箱子取出的球中有2個紅球”，則（2）第一個回合后，A箱子和B箱子中小球個數(shù)相同，即甲從A箱子中取出小球的個數(shù)與乙從B箱子中取出小球的個數(shù)一樣，所以，.（3）每個回合后A，B兩個箱子小球個數(shù)不變的概率，A箱子比B箱子小球個數(shù)少2個的概率，A箱子比B箱子小球個數(shù)多2個的概率.兩個回合后，的所有可能值為，，0，2，4.，，，，.所以隨機變量的分布列為024所以，.22.已知雙曲線，過點的直線與該雙曲線的左、右兩支