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文檔簡介
2023-2024學年云南省丘北縣第二中學高三數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在中,角所對的邊分別為,已知,.當變化時,若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.2.復數(shù),若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱,則等于()A. B. C. D.3.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.4.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.5.“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中.“階幻方”是由前個正整數(shù)組成的—個階方陣,其各行各列及兩條對角線所含的個數(shù)之和(簡稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15(如圖所示).則“5階幻方”的幻和為()A.75 B.65 C.55 D.456.命題“”的否定是()A. B.C. D.7.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線的中點,已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于()A. B.1 C. D.8.已知雙曲線C:()的左、右焦點分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.9.已知的內(nèi)角的對邊分別是且,若為最大邊,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.關(guān)于函數(shù),有下述三個結(jié)論:①函數(shù)的一個周期為;②函數(shù)在上單調(diào)遞增;③函數(shù)的值域為.其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①② B.② C.②③ D.③11.如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的結(jié)果是()A. B. C. D.12.正方體,是棱的中點,在任意兩個中點的連線中,與平面平行的直線有幾條()A.36 B.21 C.12 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則__________.14.某中學高一年級有學生1200人,高二年級有學生900人,高三年級有學生1500人,現(xiàn)按年級用分層抽樣的方法從這三個年級的學生中抽取一個容量為720的樣本進行某項研究,則應從高三年級學生中抽取_____人.15.為了了解一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進行檢測,如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標準,單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為__________.16.已知變量(m>0),且,若恒成立,則m的最大值________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù),().(1)若曲線在點處的切線方程為,求實數(shù)a、m的值;(2)若對任意恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;(3)關(guān)于x的方程能否有三個不同的實根?證明你的結(jié)論.18.(12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查,其中女性有55名,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖:將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)?非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63519.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.20.(12分)某商店舉行促銷反饋活動,顧客購物每滿200元,有一次抽獎機會(即滿200元可以抽獎一次,滿400元可以抽獎兩次,依次類推).抽獎的規(guī)則如下:在一個不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎,獎金40元;若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?,3,1),則獲得二等獎,獎金20元;其余情況獲得三等獎,獎金10元.(1)某人抽獎一次,求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設他不放棄每次抽獎機會,求他獲得的獎金恰好為60元的概率.21.(12分)已知是遞增的等比數(shù)列,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設,,求數(shù)列的前項和.22.(10分)定義:若數(shù)列滿足所有的項均由構(gòu)成且其中有個,有個,則稱為“﹣數(shù)列”.(1)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有多少種?(2)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
因為,,所以根據(jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因為存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正數(shù)的取值范圍為,故選C.2、A【解析】
先通過復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱,得到,再利用復數(shù)的除法求解.【詳解】因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點關(guān)于虛軸對稱,且復數(shù),所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算和幾何意義,屬于基礎題.3、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎題.4、D【解析】
由得,分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系,由圖可知,.5、B【解析】
計算的和,然后除以,得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為,故選B.【點睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理,考查等差數(shù)列前項和公式,屬于基礎題.6、D【解析】
根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題“,”的否定是:,.故選D.【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.7、D【解析】
建立平面直角坐標系,求得拋物線的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標系,如圖所示,∵,,,∴,設拋物線,代入點,可得∴焦點為,即焦點為中點,設焦點為,,,∴.故選:D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念,拋物線的性質(zhì),兩點間的距離等基礎知識;考查運算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應用意識.8、D【解析】
設,利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設,由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用,考查了余弦定理的應用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學運算能力.9、C【解析】
由,化簡得到的值,根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求解.【詳解】由,可得,可得,通分得,整理得,所以,因為為三角形的最大角,所以,又由余弦定理,當且僅當時,等號成立,所以,即,又由,所以的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡,余弦定理,以及基本不等式的綜合應用,試題難度較大,屬于中檔試題,著重考查了推理與運算能力.10、C【解析】
①用周期函數(shù)的定義驗證.②當時,,,再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,而,當時,再求值域.【詳解】因為,故①錯誤;當時,,所以,所以在上單調(diào)遞增,故②正確;函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,易知,故當時,,故③正確.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.11、B【解析】
列舉出循環(huán)的每一步,可得出輸出結(jié)果.【詳解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,輸出的值為.故選:B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果,一般要將算法的每一步列舉出來,考查計算能力,屬于基礎題.12、B【解析】
先找到與平面平行的平面,利用面面平行的定義即可得到.【詳解】考慮與平面平行的平面,平面,平面,共有,故選:B.【點睛】本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義,涉及到了簡單的組合問題,是一中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接根據(jù)集合和集合求交集即可.【詳解】解:,,所以.故答案為:【點睛】本題考查集合的交集運算,是基礎題.14、1.【解析】
先求得高三學生占的比例,再利用分層抽樣的定義和方法,即可求解.【詳解】由題意,高三學生占的比例為,所以應從高三年級學生中抽取的人數(shù)為.【點睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法,其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.15、100.【解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點睛:頻率分布直方圖的縱坐標為,因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤.16、【解析】
在不等式兩邊同時取對數(shù),然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的導數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】不等式兩邊同時取對數(shù)得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,設f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,m)上為增函數(shù),函數(shù)的導數(shù),由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函數(shù)f(x)的最大增區(qū)間為(0,e),則m的最大值為e故答案為:e【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)之間的應用,根據(jù)條件利用取對數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù),是解決本題的關(guān)鍵三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2);(3)不能,證明見解析【解析】
(1)求出,結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求解;(2)構(gòu)造,則原題等價于對任意恒成立,即時,,利用導數(shù)求最值即可,值得注意的是,可以通過代特殊值,由求出的范圍,再研究該范圍下單調(diào)性;(3)構(gòu)造并進行求導,研究單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)零點存在性定理證明即可.【詳解】(1),,曲線在點處的切線方程為,,解得.(2)記,整理得,由題知,對任意恒成立,對任意恒成立,即時,,,解得,當時,對任意,,,,,即在單調(diào)遞增,此時,實數(shù)的取值范圍為.(3)關(guān)于的方程不可能有三個不同的實根,以下給出證明:記,,則關(guān)于的方程有三個不同的實根,等價于函數(shù)有三個零點,,當時,,記,則,在單調(diào)遞增,,即,,在單調(diào)遞增,至多有一個零點;當時,記,則,在單調(diào)遞增,即在單調(diào)遞增,至多有一個零點,則至多有兩個單調(diào)區(qū)間,至多有兩個零點.因此,不可能有三個零點.關(guān)于的方程不可能有三個不同的實根.【點睛】本題考查了導數(shù)幾何意義的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的零點存在性定理,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想,屬于難題.18、(1)無關(guān);(2),.【解析】
(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而可得列聯(lián)表如下:非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100將22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算,得.因為3.030<3.841,所以我們沒有充分理由認為“體育迷”與性別有關(guān).(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率.由題意知X~B(3,),從而X的分布列為X0123PE(X)=np==.D(X)=np(1-p)=19、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角及最大邊;(2)根據(jù)的長度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因為在中,,所以,因為(當且僅當時取等),所以長的最小值為;(2)在三角形中,因為為中線,所以,,所以,因為,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因為為角平分線,,,或2,所以,或,所以.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應用,屬于中檔題.20、(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】
(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎金恰好為60元,可能是三次二等獎,也可能是一次一等獎,兩次三等獎,然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎機會,設恰好獲得60元為事件A,因為60=20×3=40+10+10,所以.【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學期望,明確隨機變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應的概率,側(cè)重考查數(shù)學建模的核心素養(yǎng).21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)設等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題
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