廣東省佛山市南海區(qū)2023-2024學年高一上學期12月期中學業(yè)水平統(tǒng)考數(shù)學試卷（解析版）

PAGEPAGE1廣東省佛山市南海區(qū)2023-2024學年高一上學期12月期中學業(yè)水平統(tǒng)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，所以．故選：A．2.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，，所以.故選：B.3.下列函數(shù)既是增函數(shù)，圖象又關(guān)于原點對稱的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于選項A：的圖象均在x軸上方，不關(guān)于原點對稱，故A錯誤；對于選項B：在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，符合題意，故B正確；對于選項C：因為，所以不是增函數(shù)，故C錯誤；對于選項D：因為的定義域為，且，可得為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.4.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足.已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.8，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）（）A.1.59 B.1.28 C.0.63 D.0.58【答案】D【解析】因為數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足，當時，可得，即，解得.故選：D.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則，解得.故選：B.6.設，則（）A.6 B.7 C.11 D.12【答案】A【解析】由函數(shù)，可得.故選：A.7.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，對于不等式，且，即，可得，解得，所以的取值范圍是.故選：C.8.已知，（且），若對任意的，都存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知：，因為的圖象開口向上，對稱軸為，且，可知當時，取到最大值，由題意可得：，可知存在，使得成立，當，可知在上單調(diào)遞減，可得，不合題意；當，可知在上單調(diào)遞增，可得的最大值為，則，即又，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.9.已知，，是實數(shù)，則下列命題正確的是（）A.是的充分不必要條件 B.是的既不充分也不必要條件C.是的充分不必要條件 D.是的必要不充分條件【答案】BD【解析】取，，得，但，充分性不成立；取，，得，但，故A錯，B對；當時，則，充分性不成立；若，則，所以，即是的必要不充分條件，故C錯，D對.故選：BD.10.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因為，，且，對于選項A：因為，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于選項B：，當且僅當，即時，等號成立，且，故B錯誤；對于選項C：由題意可知：，則，且在上單調(diào)遞增，可得，故C錯誤；對于選項D：因為，當且僅當時，等號成立，所以，且在上單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)則（）A.B.C.有唯一零點D.若當時，，則最大值是【答案】ACD【解析】對于A，，則，故A對；對于B，由圖知，，故B錯；對于C，由圖知，有唯一零點，故C對；對于D，令，解得；令，解得，由圖象可知：，，所以，故D對.故選：ACD.12.對于任意兩個正數(shù)，，記曲線與直線，，軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數(shù)學家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn).關(guān)于，下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由題意，所以，當時，；當時，；當時，；當或時，也成立；綜上所述：，對于選項A：，，所以，故A正確；對于選項B：，且，所以，故B正確；對于選項C：如圖，因為，所以，即，故C正確；對于選項D：取，則，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知命題：，，則命題的否定為______.【答案】，【解析】根據(jù)全稱命題的否定形式，可知：命題：，的否定為：，.故答案為：，.14.函數(shù)的圖象恒過定點，在冪函數(shù)的圖象上，則______.【答案】【解析】對于函數(shù)，令，解得，此時，所以函數(shù)的圖象恒過定點，設冪函數(shù)，代入可得，解得，則，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，寫出滿足條件的的一個值______.【答案】（答案不唯一，）【解析】令，可得，原題意等價于的圖象與直線有3個交點，作出的圖象，結(jié)合圖象可知：若的圖象與直線有3個交點，所以，例如.故答案為：（答案不唯一，）.16.已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】因為，則有：當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞增，且，所以為上的連續(xù)函數(shù)且在上單調(diào)遞增，又因為，則，可得，即對任意恒成立，注意到的圖象開口向下，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并求解下列問題：已知集合，，若______，求實數(shù)的取值范圍.解：由題意可知：，若選①：因為，則，可知，當時，則，解得，符合題意；當時，則或，解得或無解，可得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍或.若選②：因為，當時，則，解得，符合題意；當時，則或，解得或無解，可得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍或.若選③：因為，則，當時，則，解得，符合題意；當時，則，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍.18.已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值19，最小值5.（1）求，值；（2）設，求最小值.解：（1）由于函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，則，解得，.（2）由于，所以，由于，所以，故，當且僅當，即時取等號，故的最小值為.19.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，.（1）求時，的解析式；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則時，則，所以.（2）當，則，對于，即，整理得，令，可得，原題意等價于存在，使得成立，且的圖象開口向上，對稱軸，可知在上單調(diào)遞增，當時，取到最大值32，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù).（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）若.（i）判斷的單調(diào)性，并用定義加以證明；（ⅱ）解不等式：.解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：由題意可得：，解得，所以函數(shù)的定義域為，又因為，即，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2）因為，則，可得，（i）在內(nèi)單調(diào)遞增，證明如下：對于任意，且，則，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即，則，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（ⅱ）由（1）可知函數(shù)為奇函數(shù)，則，由可得，整理得，又因在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以不等式的解集為.21.物體在常溫下冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：設物體的初始溫度為，經(jīng)過一段時間后的溫度為，則，其中為環(huán)境溫度，為參數(shù).某日室溫保持為20，李華在8點時用智能電熱水壺燒1升水（假設加熱時水溫隨時間的變化為一次函數(shù)，且初始溫度與室溫一致），8分鐘后水溫達到100，水壺停止工作，壺中熱水開始自然冷卻，8點18分時，壺中水溫為60.（1）求8點起壺中水溫（單位：）關(guān)于時間（單位：分鐘）的函數(shù)；（2）若當日李華在1升水沸騰（水溫達到100）時，恰好有事出門，于是將智能電熱水壺設定為保溫狀態(tài)，已知智能電熱水壺會自動檢測壺內(nèi)水溫，當壺內(nèi)水溫高于臨界值50時，設備不加熱；當壺內(nèi)水溫不高于臨界值50時，開始加熱至80后停止，加熱速度與正常燒水一致.問李華離開后，智能電熱水壺在幾點幾分開始第二次加熱？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）解：（1）當時，設，代入，，解得，則，當時，由題意，代入，，，，得，即，解得，所以.（2）若從降溫至，由題意有，代入，即，計算得分鐘，故經(jīng)過22分鐘開始第一次加熱；從加熱至需要分鐘，從降溫至，，代入，，，可得，計算得分鐘，則共需要分鐘，故8點35分鐘后第二次開始加熱.22.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，該性質(zhì)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù)，.（1）函數(shù)的圖象是否有對稱中心？請用題設結(jié)論證明；（2）用表示，中的最小值，設函數(shù)，請討論是否對任意的，都有最大值.解：（1）函數(shù)的圖象有對稱中心，證明如下：因為，假設函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，等價于函數(shù)為奇函數(shù)，因為，即，可知的定義域為，可得，即，此時，可得，解得，此時為定義在內(nèi)的奇函數(shù)，所以的對稱中心為.（2）（i）當時，則，可得，又因為，則，所以；（ⅱ）當時，則，可得，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且