2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重點(diǎn)培優(yōu)第三單元圓錐的體積問題提高部分（原卷版）

2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重點(diǎn)培優(yōu)第三單元圓錐的體積問題提高部分（原卷版）編者的話：《2023-2024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項(xiàng)練習(xí)兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。專項(xiàng)練習(xí)部分是從常考題和期末真題中選取對(duì)應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第三單元圓錐的體積問題提高部分。本部分內(nèi)容主要選取圓錐體積?？嫉妮^難題型，內(nèi)容相對(duì)困難，考點(diǎn)眾多，共劃分為十三個(gè)考點(diǎn)，建議作為本章核心內(nèi)容選擇性進(jìn)行講解，歡迎使用?！究键c(diǎn)一】圓錐的旋轉(zhuǎn)構(gòu)成法?！痉椒c(diǎn)撥】直角三角形與圓錐之間的聯(lián)系沿著直角三角形的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，即可得到一個(gè)圓錐，旋轉(zhuǎn)的軸是圓錐的高，另一條直角邊是圓錐的底面半徑。【典型例題1】以下圖直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)什么圖形?所得的圖形的底面直徑和高各是多少厘米?【典型例題2】下圖是一個(gè)直角三角形，如果以邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)等腰直角三角形的直角邊為6cm，以一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的高、底面直徑和體積分別是()cm、()cm、()立方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一塊直角三角形硬紙板（如圖），兩條直角邊AB與BC的長度比是3∶2，AB長9cm。如果以其中一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么形成的圓錐體積最大是()立方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】下圖是一個(gè)直角三角形，如果以BC邊為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得立體圖形的體積是()立方厘米。【考點(diǎn)二】圓錐的切面積問題一?！痉椒c(diǎn)撥】將圓錐沿著高并垂直于底面切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個(gè)等腰三角形，而且這個(gè)三角形的底是底面圓的直徑，高是圓錐的高，相比較圓錐的表面積，增加了兩個(gè)這樣的切面?！镜湫屠}】一個(gè)圓錐的底面半徑2厘米，高是7厘米，沿著高并垂直于底面將圓錐切成完全相同的兩塊，每個(gè)切面的面積是多少平方厘米?【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】將一個(gè)底面直徑18厘米，高是8厘米的圓錐形木塊分成形狀、大小完全相同的兩個(gè)木塊后，表面積比原來增加了多少平方厘米?【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓錐的底面直徑是24厘米，高12厘米。將這個(gè)圓錐沿著高切成大小相同的兩半，表面積增加()平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)底面直徑是12厘米的圓錐，從頂點(diǎn)沿高將它切成兩半后，表面積增加了96平方厘米，這個(gè)圓錐的高是()厘米?！究键c(diǎn)三】圓錐的切面積問題二?！痉椒c(diǎn)撥】將圓錐沿著高并垂直于底面切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個(gè)等腰三角形，而且這個(gè)三角形的底是底面圓的直徑，高是圓錐的高，相比較圓錐的表面積，增加了兩個(gè)這樣的切面。【典型例題】把一個(gè)底面直徑是10cm的圓錐沿著高切開后，表面積增加了60cm2，這個(gè)圓錐的體積是多少cm3？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)高15厘米的圓錐，沿著底面直徑垂直切開，將圓錐平均分為兩份，跟原來比表面積增加了300平方厘米，求這個(gè)圓錐的體積是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】將一個(gè)圓錐沿著高垂直于底面切成兩半，表面積比原來增加了108cm2。若圓錐的高為18cm，這個(gè)圓錐的體積是多少立方厘米？【考點(diǎn)四】比在圓錐體積中的應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】1.圓錐的底面積相等時(shí)，高的比就是體積的比。2.圓錐的高相等時(shí)，底面積的比就是體積的比。3.圓錐和圓柱如果底面積和高均相等，那么圓錐和圓柱的體積之比是1∶3?！镜湫屠}】（1）兩個(gè)圓錐的底面積相等，高比是1∶2，體積比（）。（2）兩個(gè)圓錐的高相等，底面積比是2∶3，體積比是（）。（3）兩個(gè)圓錐高的比是3∶4，半徑比是1∶3，則體積比是多少?【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】有一塊體積為60的圓柱形橡皮泥，如果把這塊橡皮泥重新捏成底面積和高均和圓柱相等的圓錐，問剩余的橡皮泥體積是多少?【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一塊圓柱形橡皮泥，高是2。把這塊橡皮泥重新捍成一個(gè)圓錐（沒有剩余），已知圓錐的底面積和圓柱相等，求圓錐的高?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】已知兩個(gè)圓錐的底面半徑比是2∶3，高的比是2∶3，則兩個(gè)圓錐的體積比是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】如果兩個(gè)圓錐的底面半徑比為1∶2，高的比是2∶1，它們的體積比是多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)5】一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的體積和高分別相等，已知圓柱的底面積是6平方厘米，則圓錐的底面積是（）平方厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)6】一個(gè)圓柱和圓錐，圓柱的高是圓錐的，圓柱和圓錐底面積的比是5∶4。圓柱和圓錐體積的比是多少？【考點(diǎn)五】等積轉(zhuǎn)化問題一：圓柱與圓錐的等積轉(zhuǎn)化?！痉椒c(diǎn)撥】底面積和高均相等的圓柱和圓錐的體積關(guān)系是：圓柱的體積是圓錐體積的3倍，反之，圓錐的體積是圓柱體積的?！镜湫屠}】一塊圓柱形橡皮泥，體積是200，把這塊橡皮泥重新捏成一個(gè)圓錐，已知圓錐的底面半徑是10，求圓錐的高。（π取3）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)體積是800的圓柱體鐵塊，熔鑄成一個(gè)底面積是600的圓錐體，這個(gè)圓錐體的高是多少?（π取3）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓柱的底面半徑是6厘米，體積是1130.4立方厘米，一個(gè)圓錐與它的體積相等，底面積也相等。這個(gè)圓錐高是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓錐形谷堆，繞著谷堆的外圍走一圈是25.12米，高3米。如果把這些稻谷裝進(jìn)一個(gè)底面直徑為40米的圓柱形容器中，稻谷高多少米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】一個(gè)圓柱體和一個(gè)圓錐體等底等高，它們的體積相差50.24立方厘米。如果圓錐體的底面半徑是2厘米，這個(gè)圓錐體的高是多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)5】一個(gè)圓柱和與它等底等高的圓錐的體積之和是24平方分米。圓柱和圓錐的體積分別是多少？【考點(diǎn)六】等積轉(zhuǎn)化問題二：正方體與圓錐的等積轉(zhuǎn)化。【方法點(diǎn)撥】等積轉(zhuǎn)化問題，利用體積不變?cè)恚鶕?jù)相應(yīng)公式來求問題?！镜湫屠}】一個(gè)棱長是4dm的正方體容器裝滿水后，倒入一個(gè)底面積是12dm2的圓錐形容器里，正好裝滿，這個(gè)圓錐的高是多少dm？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】將一個(gè)棱長為5分米的正方體鐵塊熔鑄成底面積是60平方分米的圓錐，這個(gè)圓錐的高是多少分米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)正方體的體積是216立方厘米，和它底面積相等，高也相等的圓錐的體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)正方體鐵塊的棱長為4厘米。如果把它熔鑄成底面直徑是6厘米的圓錐，這個(gè)圓錐的高約是多少厘米？（結(jié)果保留整數(shù)，π取3.14）【考點(diǎn)七】等積轉(zhuǎn)化問題三：長方體與圓錐的等積轉(zhuǎn)化?！痉椒c(diǎn)撥】等積轉(zhuǎn)化問題，利用體積不變?cè)?，根?jù)相應(yīng)公式來求問題。【典型例題】一個(gè)圓錐形砂堆，底面面積是12.56平方米，高是3米，用這堆砂在10米寬的公路上鋪20厘米厚的路面，能鋪多少米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一輛貨車車廂是一個(gè)長方體，車廂里面量得長是4米，寬是1.5米，高是4米，裝滿一車沙，卸完沙后，堆成一個(gè)高是2米的圓錐形，圓錐底面積是多少平方米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)圓錐形沙堆，底面積是平方米，高是米。把這堆沙均勻地鋪在一個(gè)面積平方米的沙坑里，沙坑里的沙厚多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)圓錐形沙堆，底面直徑是8米，高1.2米，把這些沙子鋪在一條長31.4米、寬8米的道路上，能鋪多厚？【考點(diǎn)八】求組合立體圖形的體積。【方法點(diǎn)撥】組合圖形的體積等于各規(guī)則立體圖形的體積之和。【典型例題】測(cè)量一個(gè)糧倉，從里面量得的數(shù)據(jù)如圖所示，如果每立方米的糧食約重800干克，這個(gè)糧倉能裝糧食多少干克？（π取3.14）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】計(jì)算下面立體圖形的體積?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】下圖的蒙古包是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組成的。這個(gè)蒙古包所占的空間是多少立方米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)陀螺，上部是圓柱形，下部是圓錐形，如下圖。這個(gè)陀螺的體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】一種兒童玩具——陀螺（如下圖）。上面是圓柱體，下面是圓錐體，經(jīng)過測(cè)試，當(dāng)圓柱直徑4厘米，高6厘米，圓錐的高是圓柱高的時(shí)，陀螺旋轉(zhuǎn)得又快又穩(wěn)，求這時(shí)陀螺的體積是多少立方厘米？【考點(diǎn)九】排水法在圓錐體積中的應(yīng)用一：求圓錐的高?！痉椒c(diǎn)撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】有一個(gè)底面直徑是20cm的圓柱形容器，容器內(nèi)盛了一些水。把一個(gè)底面周長是18.84cm的圓錐放入容器內(nèi)，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，這個(gè)圓錐的高是多少cm？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】有一個(gè)長方體水箱，底面是邊長為4分米的正方形，水箱內(nèi)原有3.5分米深的水?，F(xiàn)在把一個(gè)底面積為8平方分米的圓錐形銅塊完全浸沒在水中，這時(shí)水面升高了0.5分米，求這個(gè)圓錐形銅塊的高?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)底面半徑為9厘米的圓柱形水桶里裝有水，水中放著一個(gè)底面周長為37.68厘米的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中，取出鉛錘后水桶中水面下降2厘米，圓錐形鉛錘的高是多少厘米？【考點(diǎn)十】排水法在圓錐體積中的應(yīng)用二：求水面下降高度。【方法點(diǎn)撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】一個(gè)底面直徑是20厘米的圓柱形玻璃杯中裝有水，水里放著一個(gè)底面直徑是6厘米、高是20厘米的圓錐形鉛錘，當(dāng)鉛錘取出時(shí)，杯里的水面會(huì)下降多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)底面半徑是12厘米的圓柱形玻璃缸中裝有水，里面放有一個(gè)底面半徑是6厘米、高是18厘米的圓錐形鐵塊，全部被水淹沒，當(dāng)把鐵塊從水中取出后，水面會(huì)下降多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】在一個(gè)底面周長是125.6厘米，水面高度為30厘米的圓柱形水桶里，完全浸沒著一個(gè)圓錐形零件，零件底面半徑是10cm，高是6cm，當(dāng)把這個(gè)零件從水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)底面直徑是20厘米的圓柱形杯中裝有水，水里浸沒一個(gè)底面直徑是10厘米，高是18厘米的圓錐體鐵塊，當(dāng)鐵塊從杯中取出時(shí)，杯里的水面會(huì)下降多少厘米？【考點(diǎn)十一】排水法在圓錐體積中的應(yīng)用三：溢水問題。【方法點(diǎn)撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】一個(gè)裝滿水的無蓋長方體容器（如下圖），如果在容器中放入一個(gè)底面半徑，高是的實(shí)心鐵圓錐（完全浸沒），會(huì)溢出多少毫升的水？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】把一個(gè)底面半徑是4厘米，高是6厘米的鐵制圓錐體放入盛滿水的桶里，將有多少立方厘米的水溢出？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】有一個(gè)底面半徑為8cm的圓柱形玻璃容器，水深6cm。把一塊底面半徑是6cm、高是10cm的圓錐形鐵塊放入水中，水會(huì)溢出45mL，那么這個(gè)玻璃容器有多高？（得數(shù)保留整數(shù)）【考點(diǎn)十二】求正方體削成最大圓錐的體積?！痉椒c(diǎn)撥】將正方體削成一個(gè)最大的圓錐，正方體的棱長分別是圓錐的底面直徑和高。【典型例題】把一個(gè)正方體木塊加工成最大的圓錐體，它的底面半徑是5厘米，這個(gè)正方體的體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如下圖一塊立方體木料，體積是64立方厘米，以它的一面為底面加工成一個(gè)最大的圓錐體，體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)正方體木塊的棱長是6厘米，把它削成一個(gè)最大的圓錐體，這個(gè)圓錐體的體積是多少立方厘米？【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】把棱長為6厘米的正方體木塊削成一個(gè)最大的圓錐，削下部分的體積是多少立方厘米？【考點(diǎn)十三】圓錐中的倒水問題。【方法點(diǎn)撥】圓錐中的倒水問題圓錐中倒入部分水，水的形狀也是圓錐，當(dāng)水的高度和原來圓錐的高度之比是m∶n時(shí)