新教材同步輔導(dǎo)2023年高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用分層演練新人教A版選擇性必修第三冊

第2課時兩個計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用A級基礎(chǔ)鞏固1.某乒乓球隊(duì)里有6名男隊(duì)員,5名女隊(duì)員,從中選取男隊(duì)員、女隊(duì)員各1名組成混合雙打隊(duì),則不同的組隊(duì)方法的種數(shù)為()A.11B.30C.56 D.65解析:先選1名男隊(duì)員,有6種方法,再選1名女隊(duì)員,有5種方法,故共有6×5=30種不同的組隊(duì)方法.答案:B2.由數(shù)字1,2,3,4組成的三位數(shù)中,各位數(shù)字按嚴(yán)格遞增(如“134”)或嚴(yán)格遞減(如“421”)順序排列的數(shù)的個數(shù)是()A.4 B.8C.16 D.24解析:由題意,知嚴(yán)格遞增的三位數(shù)只要從4個數(shù)中任取3個,共有4種取法;同理,嚴(yán)格遞減的三位數(shù)也有4個,所以符合條件的數(shù)的個數(shù)為4+4=8.答案:B3.如圖,一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點(diǎn)C,再由點(diǎn)C沿著置于水平面的長方體的棱爬行至頂點(diǎn)B,則它可以爬行的不同的最短路徑有()A.40條 B.60條C.80條 D.120條解析:螞蟻從A到C需要走五段路,其中三縱二橫,共有10條路徑,從C到B共有6條路徑,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,螞蟻從A到B可以爬行的不同的最短路徑的條數(shù)為10×6=60.答案:B4.如圖,給A,B,C,D四塊區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域涂不同顏色,現(xiàn)有5種不同顏色可供選用,則不同的涂色方法有320種.解析:由題意,知本題是一個分步乘法計(jì)數(shù)問題,第一步,涂A,有5種涂法;第二步,涂B,有4種涂法;第三步,涂C,有4種涂法;第四步,涂D,有4種涂法,則不同的涂色方法的種數(shù)為5×4×4×4=320.5.多空題由1,2,3,4,5,6,7,8,9可以組成224個無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù),可以組成280個無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù).解析:當(dāng)個位上的數(shù)是偶數(shù)時,該三位數(shù)就是偶數(shù).可分步完成:第一步,先排個位,個位上的數(shù)只能取2,4,6,8中的1個,有4種取法;第二步,排十位,從剩余的8個數(shù)字中取1個,有8種取法;第三步,排百位,從剩余的7個數(shù)字中取1個,有7種取法.所以可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為4×8×7=224.當(dāng)個位上的數(shù)是奇數(shù)時,該三位數(shù)就是奇數(shù).可分步完成:第一步,先排個位,個位上的數(shù)只能取1,3,5,7,9中的1個,有5種取法;第二步,排十位,從剩余的8個數(shù)字中取1個,有8種取法;第三步,排百位,從剩余的7個數(shù)字中取1個,有7種取法.所以可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個數(shù)為5×8×7=280.6.(2022·上海卷)用數(shù)字1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個數(shù)為17.(用數(shù)字作答)解析:根據(jù)題意,用數(shù)字1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時,有2×3×2×1=12種情況,即有12個符合題意的四位數(shù);當(dāng)千位數(shù)字為2時,有3×2=6個四位數(shù),其中最小的為2134,則有6-1=5個比2134大的四位數(shù),故有12+5=17個比2134大的四位數(shù).7.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一種,其中7人會英語,3人會日語,從中選出會英語和會日語的各一人,有多少種不同的選法?解:完成一件事指“從9人中選出會英語和會日語的各一人”,故需分三類:①既會英語又會日語的當(dāng)選;②僅會英語不會日語的按會英語當(dāng)選;③僅會日語不會英語的按會日語當(dāng)選.既會英語又會日語的人數(shù)為7+3-9=1,僅會英語的有6人,僅會日語的有2人.先分類后分步,從僅會英語、僅會日語的人中各選一人,有6×2種選法;從僅會英語與英語、日語都會的人中各選一人,有6×1種選法;從僅會日語與英語、日語都會的人中各選一人,有2×1種選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,知共有6×2+6×1+2×1=20種不同的選法.B級能力提升8.從1,3,5,7,9這五個數(shù)字中,每次取出兩個不同的數(shù)字分別作為a,b,共可得到lga-lgb的不同值的個數(shù)是()A.9B.10C.18D.20解析:分兩步完成,第一步,取數(shù)字a,有5種不同的取法;第二步,取數(shù)字b,有4種不同的取法,所以可以得到5×4=20個不同的減法算式.因?yàn)閘g9-lg3=lg3-lg1,lg3-lg9=lg1-lg3,所以lga-lgb的不同值的個數(shù)是20-2=18.答案:C9.現(xiàn)有1元、5元、10元、50元人民幣各一張,100元人民幣2張,從中至少取一張,共可組成不同的幣值種數(shù)是47種.解析:除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況,2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取兩張3種情況,再減去這些人民幣全不取的1種情況,所以共有24×3-1=47種.10.某校學(xué)生會由高一年級5人,高二年級6人,高三年級4人組成.(1)選其中1人為學(xué)生會主席,有多少種不同的選法?(2)若每個年級選1人為校學(xué)生會常委,有多少種不同的選法?(3)若要從不同的兩個年級中各選1人參加市里組織的活動,有多少種不同的選法?解:(1)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,不同選法的種數(shù)為5+6+4=15.(2)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同選法的種數(shù)為5×6×4=120.(3)要選出不同年級的2人參加市里組織的活動,先按年級分三類:“高一、高二年級”“高一、高三年級”“高二、高三年級”,再分步選擇,則不同選法的種數(shù)為5×6+5×4+6×4=74.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新11.多空題用1,2,3,4四個數(shù)字組成可有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這些數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列{an},則這個數(shù)列共有64項(xiàng);若an=341,則n=45.解析:由題意,知這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)就是由1,2,3,4四個數(shù)字組成的可有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù).由于每個數(shù)位上的數(shù)都有4種取法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為4×4×4=64,即數(shù)列{an}共有64項(xiàng).比341小的數(shù)分為兩類:第一類,百位上的數(shù)是1或2,有2×4×4=32個三位數(shù);第二類,百位上的數(shù)是3,十位上的數(shù)可以是1,2,3中的任意一個,個位上的數(shù)可以是1,2,3,4中的任意一個,有3×4=12個三位數(shù).所以比341小的三位數(shù)的個數(shù)為32+12=44,因此,341是數(shù)列{an}的第45項(xiàng),即n=45.12.用n種不同顏色給下列兩塊廣告牌涂色(如圖①、圖②),要求a,b,c,d四個區(qū)域中相鄰(有公共邊)的區(qū)域不能用同一種顏色.圖①圖②(1)若n=6,為圖①涂色,共有多少種不同的方法?(2)為圖②涂色時共有120種不同方法,求n的值.解:(1)對于題圖①,因?yàn)閍,d只與周圍兩個區(qū)域相鄰,而b,c與周圍三個區(qū)域相鄰.分兩類情況:①a,d同色,a,d有n種不同的涂色方法,則b,c有(n-1)(n-2)種不同的涂色方法,共有n(n-1)(n-2)種不同的涂色方法.②a,d不同色,則a,d有n(n-1)種不同的涂色方法,b,c有(n-2)(n-3)種不同的涂色方法,共有n(n-1)(n-2)(n-3)種不