電子技術(shù)-卡諾圖

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法利用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)，要求熟練掌握邏輯代數(shù)的根本定律和規(guī)那么，而且要有一定的技巧，特別是化簡結(jié)果是否最簡有時(shí)也不能確定。而下面介紹的卡諾圖法那么是一種圖形化簡法,它有確定的化簡步驟，可以確定最終的化簡結(jié)果，能比較方便地得到邏輯函數(shù)的最簡與－或表達(dá)式。1．邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)及其表達(dá)式對于有n個(gè)變量的邏輯函數(shù)，可以組成2n個(gè)與項(xiàng)〔乘積項(xiàng)〕，如果每個(gè)與項(xiàng)中包含全部變量，而且每個(gè)變量在與項(xiàng)中都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次，這樣的與項(xiàng)稱為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。0,1,2,…,7)

最小項(xiàng)具有以下性質(zhì)：（1）對于任一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它為1，而其余各種變量取值均使它為0。（2）對于變量的任一組取值，任意兩個(gè)或多個(gè)最小項(xiàng)的乘積恒為0，而且全部最小項(xiàng)的和為1。（3）若兩個(gè)最小項(xiàng)之間只有一個(gè)變量不同（注意A和算兩個(gè)變量），則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)滿足邏輯相鄰。兩個(gè)邏輯相鄰的最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，并消去相反變量。任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以寫成最小項(xiàng)的形式。需要注意的是：每個(gè)最小項(xiàng)中應(yīng)包括邏輯表達(dá)式中所出現(xiàn)的所有變量，要么是原變量，要么是反變量?！纠?1.17】將邏輯函數(shù)寫成最小項(xiàng)形式。解：即邏輯表達(dá)式中的與項(xiàng)缺哪個(gè)變量，就用哪個(gè)變量的原變量加反變量乘以這個(gè)與項(xiàng)。2．邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法卡諾圖即最小項(xiàng)方格圖，是以創(chuàng)造者美國工程師卡諾〔Karnaugh〕命名的。它是用2n個(gè)方格來表示n個(gè)變量的2n個(gè)最小項(xiàng)?？ㄖZ圖的特點(diǎn)是按幾何相鄰反映邏輯相鄰規(guī)律進(jìn)行排列，即相鄰方格里的最小項(xiàng)只有一個(gè)變量因子不同。在卡諾圖中，將n個(gè)變量分為兩組，即行變量和列變量，分別標(biāo)注在卡諾圖的左上角。行、列變量的取值順序必須按格雷碼排列，以保證相鄰位置上的最小項(xiàng)邏輯相鄰。一般為了畫圖方便，卡諾圖有幾種表示方法。圖11.15為卡諾圖的三種表示方法〔以二變量為例〕。圖11.16和圖11.17分別為三變量和四變量卡諾圖的常用表示方法。在化簡邏輯函數(shù)時(shí)，邏輯表達(dá)式中存在的最小項(xiàng)通常填“1〞?！瞐〕 〔b〕 〔c〕圖11.15卡諾圖的三種表示方法圖11.16三變量卡諾圖 圖11.17四變量卡諾圖【例11.18】用卡諾圖表示邏輯函數(shù)仔細(xì)觀察上面所得各種變量的卡諾圖，其共同特點(diǎn)是可以直接觀察相鄰項(xiàng)。也就是說，各小方格對應(yīng)于各變量不同的組合，而且上下左右在幾何上相鄰的方格內(nèi)只有一個(gè)變量因子有差別，這個(gè)重要特點(diǎn)成為卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的主要依據(jù)。要指出的是?？ㄖZ圖水平方向同一行里，最左和最右端的方格也是符合上述相鄰規(guī)律的，例如，m4和m6的差別僅在C和。同樣，垂直方向同一列里最上端和最下端兩個(gè)方格也是相鄰的，這是因?yàn)槎贾挥幸粋€(gè)因子有差別。這個(gè)特點(diǎn)說明卡諾圖呈現(xiàn)循環(huán)鄰接的特性。解：首先應(yīng)把邏輯函數(shù)寫成最小項(xiàng)表達(dá)式。=

畫出四變量的卡諾圖，將對應(yīng)于函數(shù)式中最小項(xiàng)的方格位置上填1，其余位置上填0或空格，那么可得到如圖11.18所示的函數(shù)L的卡諾圖。圖11.18例11.18題圖3．用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)卡諾圖化簡法實(shí)際是利用將兩個(gè)最小項(xiàng)合并消去一個(gè)或幾個(gè)變量?？ㄖZ圖化簡法具體步驟為：〔1〕畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖?！?〕圈出卡諾圖中相鄰的最小項(xiàng)。把卡諾圖中2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)用框圈起來進(jìn)行合并，直到所有為1的項(xiàng)被圈完為止。畫框的規(guī)那么為：每個(gè)框只能圈2n項(xiàng)，且只有相鄰的為1項(xiàng)才能圈到一起；框要盡可能大而且盡可能少，這樣邏輯函數(shù)的與項(xiàng)和或項(xiàng)就少，但所有為1的項(xiàng)都必須被圈到；每個(gè)為1的項(xiàng)可以被圈屢次，但每個(gè)框內(nèi)至少有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)首次被圈。需要注意的是，同一行或同一列的首尾〔靠邊〕方格也是相鄰的?！?〕相鄰最小項(xiàng)進(jìn)行合并。二個(gè)相鄰項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)互為反變量的變量，保存下相同的變量；四個(gè)相鄰項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去兩個(gè)互為反變量的變量，保存相同的變量；八個(gè)相鄰項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去三個(gè)互為反變量的變量，保存相同的變量；依次類推。另外，孤立的、無任何相鄰的最小項(xiàng)那么無法合并，在表達(dá)式中原樣寫出；〔4〕把每個(gè)框圈合并后的得到的與項(xiàng)再進(jìn)行邏輯加，即可得到化簡后的邏輯函數(shù)式?！纠?1.19】用卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)解：邏輯函數(shù)L的卡諾圖如圖11.19所示，為了方便，把函數(shù)式中存在的項(xiàng)用“1〞填入方格中。把相鄰的項(xiàng)用框圈起來，然后合并，得到可見，框里有四項(xiàng)可以消去兩個(gè)變量?！纠?1.20】用卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)解：先將邏輯函數(shù)式化為最小項(xiàng)形式卡諾圖如圖11.20所示，把相鄰項(xiàng)用框圈起來，然后合并，得到可見，框里有兩項(xiàng)可以消去一個(gè)變量。圖11.19【例11.19】題圖 圖11.20【例11.20】題圖【例11.21】用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)解：卡諾圖如圖11.21所示。把相鄰項(xiàng)按畫框的規(guī)那么用框圈起來，然后合并，得到【例11.22】用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)(0,1,2,3,4,5,8,10,11,12)。

解：卡諾圖如圖11.22所示。圖11.21【例11.21】題圖 圖11.22【例11.22】題圖把相鄰項(xiàng)按畫框的規(guī)那么用框圈起來，然后合并，得到4．約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡〔1〕約束項(xiàng)的定義。前面所討論的邏輯函數(shù)，對于每一組輸入變量的取值組合，其輸出是確定的。而有些情況下，邏輯函數(shù)的某些輸入變量的取值組合是不可能出現(xiàn)的，或者不允許出現(xiàn)，即n變量的邏輯函數(shù)輸出值不一定與其2n個(gè)最小項(xiàng)都有關(guān)，我們稱那些與邏輯函數(shù)值無關(guān)的最小項(xiàng)為約束項(xiàng)或無關(guān)項(xiàng)。例如8421BCD碼中，1010～1111六種代碼是不允許出現(xiàn)的，這六種代碼所對應(yīng)的六個(gè)最小項(xiàng)就是無關(guān)項(xiàng)。相對于前面表示邏輯函數(shù)的m，無關(guān)項(xiàng)用d來表示。例如：其中部分為使函數(shù)值為1的最小項(xiàng)；函數(shù)無關(guān)的約束項(xiàng)。部分為與〔2〕利用無關(guān)項(xiàng)化簡邏輯函數(shù)。在卡諾圖和真值表中用“×〞來表示，因?yàn)榧s束項(xiàng)與邏輯函數(shù)輸出值無關(guān)，所以其值可以為“1〞，也可以為“0〞。畫框時(shí)可以把約束項(xiàng)畫在框里，令其為1，使框里的項(xiàng)更多。但要注意的是：畫框的原那么不變，而且框里的項(xiàng)不能全都是約束項(xiàng)?！纠?1.23】利用約束項(xiàng)化簡邏輯函數(shù)解：卡諾圖如圖11.23所示。把相鄰項(xiàng)按畫框的規(guī)那么用框圈起來，其中令約束項(xiàng)d10和d14為1，然后合并。得到【例11.24】利用約束項(xiàng)化簡邏輯函數(shù)約束條件為：。。解：首先將約束條件寫成最小項(xiàng)形式為即或者0

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卡諾圖如圖11.24所示。圖11.23例11.23題圖 圖11.24例11.24題圖把相鄰項(xiàng)按畫框的規(guī)那么用框圈起來，其中令約束項(xiàng)d11為1，然后合并。得到由例11.23和例11.24可以看出，利用約束項(xiàng)，