多目標決策技術(shù)

多目標決策技術(shù)2023/12/26多目標決策技術(shù)

前面幾章，我們討論的是單目標決策問題。然而現(xiàn)實世界中的決策問題，決策者考慮的目標往往不只一個。如企業(yè)的投資項目決策，既要考慮生產(chǎn)生命周期、市場需求、創(chuàng)匯能力、凈收益、產(chǎn)品成本等經(jīng)濟指標，又要考慮保護生態(tài)環(huán)境、促進就業(yè)等社會指標。象這種在決策時要考慮多項目標的決策問題就是多目標決策問題。

多目標決策問題有兩個明顯的基本特點：

1．目標之間的不可公度性。即各個目標之間沒有一個統(tǒng)一的度量標準，因而難以直接進行比較。例如投資項目決策問題中，項目凈收益用萬元計，而投資回收期卻以年（或月）計。

2．目標之間的矛盾性。即某一目標的改善往往會使其他目標變壞。例如項目投資增加，會使利潤增加，但可能會使投資回收期變長，以及環(huán)境污染加重。

由于上述特點就使得多目標決策比單目標決策要困難和復(fù)雜得多。要尋找使各個目標都達到最優(yōu)的所謂絕對最優(yōu)方案（或稱絕對最優(yōu)解），往往是不現(xiàn)實的。通常的作用法就是在各個目標之間，在各種限制條件下尋找一種合理的妥協(xié)。即在非絕對最優(yōu)方案，通常稱為非劣方案（非劣解）或稱有效方案（有效解）中選擇一個比較滿意的方案。按照不同的評價準則，從不同的角度去選擇非劣方案便構(gòu)成了不同的多目標決策方法。多目標決策方法很多，我們只介紹其中比較成熟的兩種方法。多目標決策技術(shù)§1層次分析法層次分析法簡稱AHP法（AnalyticHierarchyProcess），它是美國著名運籌學(xué)家薩蒂（Saatty）教授在20世紀70年代提出的一種定性與定量相結(jié)合的多目標決策方法，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用。一、層次分析法的基本原理

在多目標決策問題中，針對某些目標，方案的評價結(jié)果往往難以定量化、精確化。這就需要把目標進一步分解，利用可精確化、定量化的子目標系統(tǒng)來反映對方案的評價。

層次分析法的基本思想是：把決策問題按總目標、子目標、評價準則直至具體方案的順序分解為若干層次，相鄰層次元素之間存在著特定的邏輯關(guān)系。分成有序的層次結(jié)構(gòu)以后，對每一個上層元素，把與之有邏輯關(guān)系的下層元素兩兩對比，給出以定量數(shù)字表示的“判斷矩陣”。通過判斷矩陣的最大特征根及其特征向量，求出每一層次的各元素對上一層次各元素的權(quán)重系數(shù)。最后利用加權(quán)和的方法，由低到高，一層層遞階歸并，求出各方案對總目標的權(quán)數(shù)，其中權(quán)數(shù)最大者對應(yīng)的方案即為優(yōu)先方案。

多目標決策技術(shù)

二、層次分析法的基本步驟

第一步：建立層次結(jié)構(gòu)模型。

最高層：表示決策問題所要達到的總目標，常稱為目標層或總目標層。

中間層：可以包括不止一個層次。是為實現(xiàn)總目標而細分的子目標，也可以是為實現(xiàn)總目標或子目標而需要考慮的約束或準則。相應(yīng)的層次常稱為子目標層、準則層等。

最低層：一般是解決問題的方案、政策或措施等。因此，常稱為方案層或措施層。

第二步：構(gòu)造判斷矩陣。

判斷矩陣是定性判斷過度到定量計算的基礎(chǔ)。它是針對上一層次某元素而言，本層次有關(guān)元素兩兩重要性的比較結(jié)果。多目標決策技術(shù)為了說明判斷矩陣的構(gòu)造原理，我們先從物體的重量對比談起。設(shè)有n件物體A1，A2，…，An，其重量分別為ω1，ω2，…，ωn，若將它們兩兩比較重量，其比值可構(gòu)成n×n矩陣A：矩陣A具有如下性質(zhì)：若用重量向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T右乘A，可得

AW=nW

這說明n為矩陣A的特征根，向量W是對應(yīng)于特征根n的特征向量。如果記aij=ωi/ωj，顯然矩陣A的元素aij具有如下三條性質(zhì)：⑴aii=1；⑵aij=1/aji；⑶aij=aik·akj，i，j=1，2，…，n．由矩陣理論易知，滿足上述三條性質(zhì)的矩陣A的最大特征根

λmax=n,其余特征根為0。我們在層次分析法中所用的比較元素之間重要性的判斷矩陣，就是用類似于上述比較物體間重量的方法構(gòu)造的。多目標決策技術(shù)設(shè)B層元素Bk與下一層元素A1，A2，…，An有關(guān)系，對于Bk而言，Ai與Aj比較后，其相對重要性記為aij，則有判斷矩陣：A=(aij)n×n,也可表示為如下表格形式：

一般來講，元素的重要性很難象物體重量那樣準確衡量，因此，aij很難精確給出，一般按下表所給出的標準來確定。BkA1A2…AnA1A2┆Ana11a12…a1na21a22…a2n┆

┆

┆an1an2…annaij取值

含義

1Ai與Aj同樣重要

3Ai比Aj稍微重要

5Ai

比Aj明顯重要

7Ai

比Aj重要得多

9Ai

比Aj極端重要

2，4，6，8介于上述相鄰兩種情況之間

以上各數(shù)的倒數(shù)

兩元素反過來比較

如：多目標決策技術(shù)第三步：求判斷矩陣的最大特征根和相應(yīng)的特征向量。如果判斷矩陣滿足前述三條性質(zhì)，則稱該判斷矩陣具有完全一致性。此時，便可知其最大特征根λmax=n所對應(yīng)的特征向量為各元素重要性的權(quán)數(shù)。但是由于客觀事物的復(fù)雜性和人們認識上的多樣性以及主觀上的片面性和不穩(wěn)定性，用兩兩對比的方法構(gòu)造出的判斷矩陣，既使有前表為參照標準也常常不滿足第三條性質(zhì)：aij=aik·akj，因而不是完全一致性判斷矩陣。若離完全一致性不遠，則判斷矩陣基本可用，這時最大特征根λmax≠n，就要設(shè)法求出判斷矩陣的最大特征根及其相應(yīng)的特征向量。

當矩陣A的階數(shù)較大時，用一般的代數(shù)方法計算相當麻煩。下面我們介紹一種簡單的近似算法——方根法，其步驟為：⑴計算判斷矩陣A中每行所有元素的幾何平均值：

⑵對向量M=(m1,m2,…，mn)T作歸一化處理，即令

所得向量W=(ω1，ω2，…，ωn)T即為判斷矩陣A的最大特征根對應(yīng)的（歸一化）特征向量的近似值。

多目標決策技術(shù)

⑶計算判斷矩陣A的最大特征根：其中(AW)i為向量AW的第i個元素。

事實上，由AW=λmaxW，有(AW)i=λmaxωi，i=1，2，…，n.（12.5.6）式實際是這n個等式求得的λmax的平均值。如果記W-1=(1/ω1,1/ω2,…，1/ωn)T，（12.5.6）式也可表為矩陣乘積形式：第四步：判斷矩陣的一致性檢驗。前面已述及，當判斷矩陣具有完全一致性時，其最大特征根λmax=n，但人們對復(fù)雜事物兩兩重要性的比較，很難做到判斷的一致性，因此，所給出的判斷矩陣往往不具有完全的一致性，此時,λmax≠n,這就有必要檢驗判斷矩陣與完全一致性相差多遠。所用的檢驗指標是：

CI稱為一致性指標。當λmax=n時。CI=0，為完全一致；CI值越大，判斷矩陣的完全一致性越差。由于一致偏離可由隨機因素引起，所以在檢驗判斷矩陣的一致性時，要將CI與平均隨機一致性指標RI進行比較，得出檢驗數(shù)CR，即CR＝CI/RI多目標決策技術(shù)

只要CR<0.1，就可以認為判斷矩陣具有滿意的一致性，否則，需要重新分析賦值，調(diào)整判斷矩陣，直到檢驗通過為止。平均隨機一致性指標同判斷矩陣的階數(shù)有關(guān)，一般情況下，矩陣階數(shù)越大，出現(xiàn)一致性隨機偏離的可能性也愈大，下表給出了階數(shù)為3～10時的RI值。RI值是計算500個3至9階隨機樣本矩陣的一致性指標，然后求其平均得出的。隨機一致性指標RI值表

階數(shù)345678910RI0.580.901.121.241.321.411.451.49

因為二階矩陣的完全一致性可以保證，所以，只有三階以上的判斷矩陣才需檢驗。

多目標決策技術(shù)例求下面給出的判斷矩陣A的最大特征根及特征向量，并做一致性檢驗。解：⑴計算A中各行所有元素的幾何平均值：⑵歸一化：⑶計算最大特征根:⑷一致性檢驗：CR＝CI/CR=0.0024÷0.58＝0.004＜0.1故判斷矩陣A具有滿意的一致性。

多目標決策技術(shù)第五步：層次加權(quán)。如果某層的判斷矩陣經(jīng)檢驗具有滿意的一致性，則按前述方法求得的特征向量即可做為該層各元素相應(yīng)的權(quán)數(shù)。設(shè)第t層有m個元素，第t+1層有n個元素，那么對于第t層的第i個元素，可以求得第t+1層各元素對它的權(quán)重行向量:

Wi=(ωi1,ωi2,…，ωin)，i=1，2，…，m，（注意：若第t+1層的第j個元素與第t層的第i個元素無聯(lián)系時，ωij=0）于是可以用Wi為行，得到表示第t層和第t+1層各元素之間重要程度的權(quán)重矩陣，記為W（t）設(shè)決策問題可分為ι+1層，總目標記為第0層，依次記為第1層，第2層，…，第ι層，第t層相對于上一層的權(quán)重矩陣為W（t），則由W總=W（1）W（2）.…W（ι），算得的行向量各元素，即最底層各方案對總目標的權(quán)數(shù)，其中權(quán)數(shù)最大的方案就是優(yōu)先方案。多目標決策技術(shù)三、層次分析法的應(yīng)用

例6某地興建一大型工業(yè)項目，需考慮的主要目標有：投資回收期、年產(chǎn)值、可提供的就業(yè)機會、對當?shù)毓I(yè)的影響。經(jīng)過可行性研究后有三個方案可供選擇，其基本情況如下表所列，試用層次分析法確定優(yōu)先方案。

目標

目標值

方案投資回收期(年)年產(chǎn)值(萬元)

可提供的就業(yè)機會(人)

對當?shù)毓I(yè)的影響

方案一

方案二

方案三

5811500090001500080020001400無影響

略有促進作用

起帶動作用

解：⑴建立層次結(jié)構(gòu)模型：依題意可建立如下圖所示的層次結(jié)構(gòu)圖:

滿意的項目A投資回收期B1年產(chǎn)值B2提供的就業(yè)機會B3對其它工業(yè)的影響B(tài)4方案一C1方案二C2方案三C3目標層：準則層：方案層：多目標決策技術(shù)⑵構(gòu)造第一層（準則層）的判斷矩陣，求其最大特征根、特征向量，并進行一致性檢驗。對于目標層，把準則層的四項指標兩兩比較：B1不如B2重要，比B3略重要，比B4稍微重要；B2比B3稍微重要，比B4明顯重要；B3比B4稍微重要。從而得該層判斷矩陣如下表：AB1B2B3B4B1B2B3B411/22321351/21/3131/31/51/31計算各行幾何均值：

歸一化：

故權(quán)數(shù)向量W=(0.270，0.479，0.172，0.079)T

再求最大特征根：

由AW=得一致性檢驗：

多目標決策技術(shù)所以第一層的判斷矩陣具有滿意的一致性。從而第一層四個元素對總目標的權(quán)數(shù)可記為行向量W（1）

=(0.270，0.479，0.172，0.079)⑶構(gòu)造第二層（方案層）對第一層各元素的判斷矩陣，用同樣方法和步驟求最大特征根、特征向量并進行一致性檢驗。結(jié)果如下：w1=(0.655，0.250，0.095)λmax=3.075CI=0.0375CR=0.065<0.1，滿意。B1C1C2C3

C1C2C31291/2121/91/21B2C1C2C3

C1C2C3

11/31/9311/3931

w2=(0.077，0.231，0.692)λmax=3.001CI=0.0005

CR=0.0009<0.1，滿意。

B3C1C2C3

C1C2C3

11/71/471341/31w3=(0.078，0.659，0.263)λmax=3.033CI=0.0165

CR=0.0284<0.1，滿意。B4C1C2C3

C1C2C3

11/21/9211/3931w4=(0.090，0.205，0.705)

λmax=3.019CI=0.0095CR=0.0164<0.1，滿意。于是第二層的權(quán)重矩陣:

從而各方案關(guān)于總目標的權(quán)重：W總=W（1）W（2）=（0.234，0.308，0.458）

由于方案三的權(quán)數(shù)最大，所以優(yōu)先投資方案應(yīng)為方案三。

多目標決策技術(shù)§2

模糊決策法模糊數(shù)學(xué)自1965年美國加利福尼亞貝克利大學(xué)教授扎德（Zadeh）創(chuàng)立以來，發(fā)展迅速，應(yīng)用越來越廣泛。目前已應(yīng)用到自然科學(xué)和社會科學(xué)的許多領(lǐng)域。利用模糊數(shù)學(xué)方法進行決策的成功案例不斷見諸各種文獻。模糊決策方法正成為決策領(lǐng)域中一種很有實用價值的工具。一、模糊基礎(chǔ)知識

在經(jīng)典數(shù)學(xué)里，對概念給出的定義須有明確的內(nèi)涵和外延。內(nèi)涵就是概念的內(nèi)容，外延就是概念所指對象的范圍、界限。比如平行四邊形的定義是：對邊平行且相等（內(nèi)涵）的四邊形（外延）。然而，在現(xiàn)實世界中，并不是所有的概念都有明確的內(nèi)涵和外延。比如年青與年老，胖與瘦，高與矮，冷與熱，溫柔與粗暴，強與弱，美與丑，好與壞等常用概念，其內(nèi)容我們?nèi)巳硕记宄渫庋觿t是模糊的，很難找到它們的明確分界限。對于這類具有明顯中間過渡性質(zhì)的概念，用經(jīng)典數(shù)學(xué)的普通集合是難以刻劃的。扎德創(chuàng)立的模糊數(shù)學(xué)用“隸屬度”和“模糊集合”成功地處理了這類問題的描述，使得人們對現(xiàn)實世界的認識又躍上了一個新的臺階。多目標決策技術(shù)㈠模糊集合與隸屬函數(shù)

在經(jīng)典數(shù)學(xué)里，集合是指具有某種特定屬性的事物的全體。它有明確的內(nèi)涵和外延。對于某一集合A，元素x要么屬于A，要么不屬于A，二者必居其一。這是普通集合的共同特征。這一特征可用下述函數(shù)來描述：

CA(x)稱為集合A的特征函數(shù)。

對于界限不清晰的模糊現(xiàn)象是很難用上述非此即彼的方法來確定元素對于一個集合的歸屬的。比如“美人”這一集合，一個人長得很美，自然應(yīng)該屬于“美人”集合，一個人長得很丑，自然不應(yīng)該屬于“美人”集合。但是一個人長得不美也不丑，或者是七分美三分丑，或者是三分美七分丑，又該如何確定他的歸屬呢？模糊數(shù)學(xué)的處理辦法是將普通集合的特征函數(shù)的取值范圍由0和1兩個點擴展到[0，1]整個區(qū)間，并改稱為隸屬函數(shù)。記為μA(x)，0≤μA(x)≤1。這樣，對于一個七分美三分丑的人，我們就可以記他屬于“美人”集合的隸屬度μA(x)=0.7，表示他有七成屬于“美人”集合。象這樣將元素與其隸屬度相對應(yīng)的集合，就稱為模糊集合，因為該集合沒有明確的邊界。該集合含有無明確歸屬的元素，即其隸屬度不是“非0即1”。多目標決策技術(shù)下面給出模糊集合和隸屬函數(shù)的定義：定義用X表示所討論的某類對象的集合，稱之為論域，由映射μA：X→[0，1]

x

→μA(x)，

所刻劃的集合稱為論域X上的一個模糊子集A，μA(x)稱為定義在X上的隸屬函數(shù)，對于給定的x∈X，μA(x)的取值稱為x對于模糊集合A的隸屬度。

由上述定義可以看出,模糊集合實際是通過隸屬函數(shù)來定義的。所以常用下述方法表示有限論域X={x1，x2，…，xn}上的模糊集合A：這里的“+”號稱為扎德符號，表示模糊集合的元素相并列，沒有相加的含義。分數(shù)線“—”也并非相除，而是表示元素xi與其隸屬度μA(xi)的對應(yīng)關(guān)系。（12.7.1）式也稱為扎德記法。有時為了簡單起見，也記成A=（μA(x1)，μA(x2)，…，μA(xn)），稱之為向量記法。（μA(x1)，μA(x2)，…，μA(xn)）也稱為模糊向量。

多目標決策技術(shù)㈡隸屬函數(shù)的確定

利用模糊集合來處理解決實際問題，首先要找出論域上的隸屬函數(shù)。實踐中隸屬函數(shù)的確定方法很多，沒有統(tǒng)一模式，允許有一定程度的主觀判斷。下面簡單介紹四種方法：

⑴實際調(diào)查法：先請若干名專家或相關(guān)實際工作者對所討論的論域中的元素分別給出隸屬函數(shù)值，然后取其平均值或中位數(shù)做為該元素的隸屬度。

⑵模糊統(tǒng)計法：對論域X上的任何元素xi，考慮它屬于模糊集合A的可能性。例如，討論人的高矮，先確定模糊集合A是“高個子”，然后考慮某人a屬于高個子模糊集合A的可能性，為得到量化的數(shù)據(jù)，可以邀請一些人評判a是否為高個子，由于人們對高個子的邊界不一樣，有人會認為是，有人會認為不是，只要參加評判的總?cè)藬?shù)n（或試驗次數(shù)）充分大，則可得μA(a)≈多目標決策技術(shù)⑶隸屬函數(shù)法：即給隸屬函數(shù)構(gòu)造適當?shù)臄?shù)學(xué)表達式，其定義域為論域X，值域為[0，1]。比如對“年輕”這一模糊集合，可構(gòu)造隸屬函數(shù)

1，當x≤25歲

μA(x)=

(60-x)/35，當25歲＜x≤60歲

0，當x＞60歲

⑷對比平均法：對論域X中的元素，先按某種模糊特性兩兩比較，排定比較程度的分值，然后按一定規(guī)則轉(zhuǎn)換為總體排序的分值，該分值即可做為相應(yīng)元素的隸屬度。詳見下例：多目標決策技術(shù)例設(shè)論域X

={牡丹（x1），菊花（x2），蘭花（x3）}，要確定這些花對“美”這一模糊集合的隸屬度。解：用g(xi,xj)表示xi與xj相比其美的程度，0≤g(xi,xj)≤1。若經(jīng)認真品評，給定g(x1,x2)=0.8，g(x2,x1)=0.7，g(x1,x3)=0.9，g(x3,x1)=0.5，g(x2,x3)=0.8，g(x3,x2)=0.4，則兩兩對比后可得美麗程度矩陣

:

x1x2x3在沒有偏好的情況下，可賦予相同權(quán)數(shù)：ω(x1)=ω(x2)=ω(x3)=1/3，

于是，牡丹對“美”的隸屬度μA(x1)=ω(x1)g(x1,x1)+ω(x2)g(x1,x2)+ω(x3)g(x1,x3)=1/3×1+1/3×0.8+1/3×0.9=0.90菊花對“美”的隸屬度μA(x2)=ω(x1)g(x2,x1)+ω(x2)g(x2,x2)+ω(x3)g(x2,x3)=1/3×0.7+1/3×1+1/3×0.8=0.83蘭花對“美”的隸屬度μA(x3)=ω(x1)g(x3,x1)+ω(x2)g(x3,x2)+ω(x3)g(x3,x3)=1/3×0.5+1/3×0.4+1/3×1=0.63由此可得論域X上的“美”的模糊集合多目標決策技術(shù)若評價者對牡丹、菊花、蘭花偏好不一，對菊花情有獨鐘，給出的權(quán)數(shù)是

ω(x1)=0.1，ω(x2)=0.8，ω(x3)=0.1，

那么，牡丹對“美”的隸屬度μA(x1)=0.1×1+0.8×0.8+0.1×0.9=0.83菊花對“美”的隸屬度μA(x2)=0.1×0.7+0.8×1+0.1×0.8=0.95蘭花對“美”的隸屬度μA(x3)=0.1×0.5+0.8×0.4+0.1×1=0.47于是論域X上的“美”的模糊集合多目標決策技術(shù)㈢模糊矩陣的合成運算

以同維的模糊向量為行組成的矩陣，稱為模糊矩陣。在模糊決策中會用到模糊矩陣的合成運算，因此，我們先介紹一下模糊矩陣的合成運算法則。

設(shè)模糊矩陣A=(aij)m×t，B=(bij)t×n，模糊矩陣A與B的合成運算記為

C=A?B運算結(jié)果C仍為模糊矩陣，且C=(cij)m×n

其中cij=(ai1∧b1j)∨(ai2∧b2j)∨…∨(ait∧btj)，i=1,2,…，m；j=1，2…，n．式中“∧”為取小運算，如(ai1∧b1j)=min(ai1,b1j)；“∨”為取大運算，即max。將cij的運算式與普通矩陣的乘法比較，可以看出，它的運算法則實際只是把普通矩陣相乘時所做的“×”和“+”運算分別改成了“∧”和“∨”運算。

多目標決策技術(shù)

例

設(shè)模糊矩陣，，

求Q?R

解多目標決策技術(shù)二、模糊決策法的步驟及應(yīng)用

模糊決策法分為兩大步，第一大步是對每個方案單獨做模糊綜合評判，第二大步是利用第一大步模糊綜合評判的結(jié)果，用適當?shù)姆椒ń?jīng)過比選，確定優(yōu)先方案。我們先介紹第一大步：單方案模糊綜合評判的基本方法和步驟。㈠確定模糊綜合評判的因素集U

因素集是以影響評判對象的各種因素為元素所組成的一個普通集合。通常表示為U={u1，u2，…，um}其中對各元素ui(i=1,2,…，m)的評價通常都具有不同程度的模糊性。在多目標模糊決策問題中，U即為目標集合。㈡建立綜合評判的評語集V

評價集是評判者對評判對象可能作出的各種評價語言所組成的集合。通常表示為V={v1，v2，…，vn}其中元素vi(i=1,2,…，n)代表可能的第i種評語。

多目標決策技術(shù)㈢進行單因素模糊評判，求得單因素模糊評判矩陣R

單獨從因素集中的一個因素出發(fā)進行評判，以確定評判對象對評語集各元素的隸屬程度，稱為單因素模糊評判。設(shè)評判對象按因素集U中第i個因素ui進行評判，對評語集V中第j個評語vj的隸屬度為rij，則按ui評判的結(jié)果，可用下面的模糊集合表示：Ri稱為單因素評判集，顯然它應(yīng)是評語集V上的一個模糊子集。也可簡單表示為模糊評判向量Ri=(ri1,ri2,…，rin),i=1,2,…，m．令稱R為單因素模糊評判矩陣。

多目標決策技術(shù)㈣建立綜合評判模型，進行綜合評判

從前述單因素模糊評判矩陣R可以看出：R的第i行所反映的是第i個因素（評價指標）ui對評判對象的影響取各個評語元素的程度；而R的第j列所反映的是所有各因素（評價指標）影響評判對象取第j個評語元素的程度。因此，可用每列元素之和:Rj=,(j=1,2,…，n)來反映所有因素的綜合影響。但考慮各因素（評價指標）對綜合評判的重要程度不同，我們給各因素以不同的權(quán)數(shù)ωi(i=1,2,…，m)，其中ωi表示第i個因素ui在綜合評判中的重要程度。于是建立綜合評判模型：B=W?R其中W=(ω1,ω2,…，ωm)為一模糊向量。設(shè)按模糊矩陣的合成運算法則算得B=(b1,b2,…，bn)，B稱為模糊綜合評判結(jié)果集。bj(j=1,2,…，n)表示綜合考慮所有因素的影響時，評判對象對評語集中第j個評語元素的隸屬度，顯然，模糊綜合評判結(jié)果集B也是評語集V上的一個模糊子集。

多目標決策技術(shù)

第二大步：用適當方法確定優(yōu)先方案。

對每一方案均按前述㈠～㈣步驟，求得各自的模糊綜