新教材同步輔導(dǎo)2023年高中數(shù)學(xué)第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用分層演練新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.多選題(2023·深圳二模)為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系,收集了5組樣本數(shù)據(jù)如下表:x12345y0.50.811.21.5假設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＾=b＾x+0.28,則(A.b^=0.B.當(dāng)x=8時(shí),y的預(yù)測(cè)值為2.2C.樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8D.去掉樣本點(diǎn)(3,1)后,x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變解析:由題意,可得x=(1+2+3+4+5)×15=y=(0.5+0.8+1+1.2+1.5)×15=1,所以樣本點(diǎn)的中心坐標(biāo)為(3,1),代入y＾=b＾x+0.28,得b＾=1-0.28經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＾=0.24x+0.28,取x=8,得y＾=0.24×8+0.28=2.2,故選項(xiàng)B樣本數(shù)據(jù)y的40%分位數(shù)為0.8+12=0.9,故選項(xiàng)由相關(guān)系數(shù)公式可知,去掉樣本點(diǎn)(3,1)后,x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r不變,故選項(xiàng)D正確.答案:ABD2.在大學(xué)生建模比賽中,編號(hào)為1,2,3,4的4名同學(xué)對(duì)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,其中對(duì)變量x,y進(jìn)行回歸分析,得到的結(jié)果如表所示.編號(hào)1234殘差平方和12.3713.989.81714.32決定系數(shù)R20.87340.93020.95920.7665則這4名同學(xué)中建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果最好的是()A.1號(hào)B.2號(hào)C.3號(hào)D.4號(hào)解析:根據(jù)回歸分析的思想,殘差平方和越小,模型擬合效果越好,決定系數(shù)R2越接近于1,經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果越好,所以由表格中的數(shù)據(jù)得出3號(hào)同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程擬合效果最好.答案:C3.根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＾=b＾x+a＾,若a＾=7.9,則x每增加1,估計(jì)yx34567y42.5-0.50.5-2A.增加1.4 B.減少1.4 C.增加1 D.減少1解析:由題意可得,x=5,y=0.9.因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程為y＾=b＾x+a＾,a＾且經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)(5,0.9),所以0.9=5b＾+7.9,解得b＾=-1所以x每增加1,估計(jì)y減少1.4.答案:B4.多選題下列關(guān)于回歸分析的說法中正確的是()A.回歸直線一定過樣本中心(x,y)B.殘差圖中殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適C.甲、乙兩個(gè)模型的R2分別約為0.98和0.80,則模型乙的擬合效果更好D.兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好解析:對(duì)于A選項(xiàng),回歸直線一定過樣本中心(x,y),A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),殘差圖中殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說明選用的模型比較合適,B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng),甲、乙兩個(gè)模型的R2分別約為0.98和0.80,則模型甲的擬合效果更好,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好,D選項(xiàng)正確.答案:ABD5.四張殘差圖如圖所示,其中模型的擬合效果最好的是()ABCD解析:四張殘差圖中,只有選項(xiàng)A,B中的殘差圖中的殘差是均勻地分布在以橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi),且選項(xiàng)B中的殘差分布集中在更狹窄的范圍內(nèi),所以選項(xiàng)B中模型的擬合效果最好.答案:BB級(jí)能力提升6.已知一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之間滿足yi=bxi+a+ei(i=1,2,…,n),若ei恒為0,則R2的值為1.解析:由ei恒為0,知yi=y＾i,即yi-y＾i=0,故R2=1-∑i=1n7.某考察團(tuán)對(duì)全國(guó)十個(gè)城市居民人均工資水平x(單位:千元)與居民人均消費(fèi)水平y(tǒng)(單位:千元)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查,調(diào)查發(fā)現(xiàn)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＾=0.66x+1.562.若其中某城市居民人均消費(fèi)水平為7.675千元,則該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為83%解析:將y=7.675代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＾=0.66x+1.可計(jì)算得x≈9.262,所以該城市人均消費(fèi)額占人均工資收入的百分比約為7.67598.多選題(2023·湛江一模)某服裝生產(chǎn)商為了解青少年的身高和體重的關(guān)系,在15歲的男生中隨機(jī)抽測(cè)了10人的身高和體重,數(shù)據(jù)如下表所示:編號(hào)12345678910身高/cm165168170172173174175177179182體重/kg55896165677075757880由表中數(shù)據(jù)制作成的散點(diǎn)圖如圖所示.由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l1的方程為y＾=b＾1x+a＾1,相關(guān)系數(shù)為r1,決定系數(shù)為R12;經(jīng)過殘差分析確定(168,89)為離群點(diǎn)(對(duì)應(yīng)殘差過大),把它去掉后,再用剩下的9組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l2的方程為y＾=b＾2x+a＾2,A.a＾1>B.b＾1C.r1<r2 D.R12解析:由題意知,身高的平均數(shù)為(165+168+170+172+173+174+175+177+179+182)×110=173.5,因?yàn)殡x群點(diǎn)(168,89)的橫坐標(biāo)168小于平均值173.5,縱坐標(biāo)89相對(duì)過大,所以去掉離群點(diǎn)后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大,所以a＾1>a＾2,b＾1<b＾2,所以選項(xiàng)A正確,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;去掉離群點(diǎn)后成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng),擬合效果會(huì)更好,所以r1<r2,R12答案:AC9.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了四次試驗(yàn),所得數(shù)據(jù)如下表所示:加工零件的數(shù)量x/個(gè)2345加工的時(shí)間y/h2.5344.5(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.(2)預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少時(shí)間?參考公式:b＾=∑i=1n(xi-x解:(1)由已知可得,x=3.5,y=3.5,∑i=14xiyi=2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.5,∑i=14xi2=所以b＾=∑i=14(x所以a＾=3.5-0.7×3.5=1.所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＾=0.7x+1.05(2)當(dāng)x=10時(shí),y＾=0.7×10+1.05=8.所以預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05h.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.已知函數(shù)模型y=sin2α+2sinα+1,若將y轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,則需作變換t=(sinα+1)2.

解析:因?yàn)橐D(zhuǎn)化為y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,實(shí)際上就是y關(guān)于t的一次函數(shù).由y=(sinα+1)2,若令t=(sinα+1)2,則可得y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=t,此時(shí)變量y與變量t呈現(xiàn)出線性相關(guān)關(guān)系.11.某共享單車企業(yè)在A城市就“每天一輛單車平均成本y(單位:元)與租用單車數(shù)量x(單位:千輛)之間的關(guān)系”進(jìn)行了調(diào)查,并將相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示.x23458y3.22.421.91.5根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員設(shè)計(jì)了兩種不同的回歸分析模型,得到兩個(gè)擬合函數(shù):模型甲:y＾(1)=4模型乙:y＾(2)=6.(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.1元);②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2,并通過比較Q1,Q2的大小,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.xy模型甲模型乙y殘差ey殘差e23.232.42.402.30.1422.002.0051.91.80.11.9081.51.40.1(2)這家企業(yè)在A城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎并供不應(yīng)求,于是該企業(yè)決定增加單車的投放量.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,市場(chǎng)投放量達(dá)到1萬輛時(shí),平均每輛單車一天能收入8元、6元的概率分別為0.6,0.4;市場(chǎng)投放量達(dá)到1.2萬輛時(shí),平均每輛單車一天能收入8元、6元的概率分別為0.4,0.6.若按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本,則該企業(yè)投放量選擇1萬輛還是1.2萬輛能獲得更多利潤(rùn)?(利潤(rùn)=收入-成本)請(qǐng)說明理由.解:(1)①經(jīng)計(jì)算,可得下表:xy模型甲模型乙y殘差ey殘差e23.23.203.2032.42.402.30.1422.002.0051.91.80.11.9081.51.40.11.7-0.2②由①中數(shù)據(jù),得Q1=0.12+0.12=0.02,Q2=0.12+(-0.2)2=0.05.因?yàn)镼1<Q2,所以模型甲的擬合效果更好.(2)若投放量為1萬輛,由(1)中模型甲可知,每天一輛單車平均成本約為4.810+0.8=