專題1-10 數(shù)列放縮通項(xiàng)證明不等式與數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題（原卷版）

專題110數(shù)列放縮拆分練習(xí)與數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題TOC\o"13"\n\h\z\u題型一求和后放縮題型二放縮通項(xiàng)再裂項(xiàng)相消求和題型三放縮成等比數(shù)列題型四根式的放縮題型五跳過(guò)第一項(xiàng)再放縮求和題型六利用重要不等式放縮題型七通過(guò)糖水不等式進(jìn)行放縮題型八放縮后錯(cuò)位相減求和題型九數(shù)列恒成立問(wèn)題數(shù)列通項(xiàng)放縮問(wèn)題是放縮問(wèn)題的常考類型，相較于求和之后再比較大小的題型而言，這一部分對(duì)放縮對(duì)象的處理需要一定的技巧，因而對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)具有挑戰(zhàn)性，是數(shù)列放縮中的難點(diǎn).此節(jié)中，我將分為如下幾個(gè)點(diǎn)展開(kāi)：第一，將通項(xiàng)放縮為可裂項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，然后裂項(xiàng)求和；第二，將通項(xiàng)放縮為等比結(jié)構(gòu)（等差比結(jié)構(gòu)）然后錯(cuò)位相減求和，總之，處理的基本原則就是將不可求和放縮成可求和再求和放縮.當(dāng)然，下面的這些常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式與放縮公式需要注意.1．常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：必須記例如：或者等2.一個(gè)重要的指數(shù)恒等式：次方差公式這樣的話，可得：，就放縮出一個(gè)等比數(shù)列.3.糖水不等式分子分母同加常數(shù)：常見(jiàn)放縮公式：（太多了，不一定要全部記，自行選擇）一、等差型（1）；（2）；（3）；（4）；二、根式型（5）；（7）；（8）；（9）；三、指數(shù)型（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．題型一求和后放縮已知，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和.證明：已知為，證明：．已知，設(shè)，記，證明：.已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.題型二放縮通項(xiàng)再裂項(xiàng)相消求和已知，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且，設(shè)，求證：．設(shè)求證：已知，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：已知，記，，．證明：當(dāng)時(shí)，．已知，若，為的前n項(xiàng)和，證明：．已知數(shù)列，設(shè)，求證：已知，的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【詳解】，則，.，則.∴.∴題型三放縮成等比數(shù)列（2014全國(guó)2卷）已知，證明：.已知，證明：已知，記，求證：．【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以．記，證明：．已知，數(shù)列，證明：.已知數(shù)列，，求證：對(duì)任意的且，有已知，求證：對(duì)任意的，．題型四根式的放縮的整數(shù)部分是（

）A．3 B．4 C．5 D．62023屆·廣東省綜合素質(zhì)測(cè)試（光大聯(lián)考）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，求證：（2021浙江卷）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．題型五跳過(guò)第一項(xiàng)再放縮求和已知，設(shè)數(shù)列，證明：．已知數(shù)列滿足且，求證：．已知，若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.已知，證明：．題型六利用重要不等式放縮設(shè)求證題型七通過(guò)糖水不等式進(jìn)行放縮求證題型八放縮后錯(cuò)位相減求和2024屆·廣州·仲元中學(xué)?？家阎枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為是公比大于0的等比數(shù)列，，(1)求和的通項(xiàng)公式：(2)記，證明：題型九數(shù)列恒成立問(wèn)題已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為（），滿足,數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求的取值范圍.已知數(shù)列滿足：，.設(shè)，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為已知數(shù)列{an}對(duì)任意m，n∈N*都滿足am+n=am+an，且a1=1，若命題“?n∈N*，λan≤+12”為真，則實(shí)數(shù)λ的最大值為.數(shù)列滿足，若對(duì)任意，所有的正整數(shù)n都有成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.已知，若對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：，且，為方程的兩根，且.若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為