考研概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)

概率部分概率這門課的特點(diǎn)與線性代數(shù)一樣，概率也比高數(shù)容易，花同樣的時(shí)間復(fù)習(xí)概率也更為劃算。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時(shí)甚至被忽略。一般的數(shù)學(xué)考研參考書是按高數(shù)、線代、概率的順序安排的，概率被放在最后，復(fù)習(xí)完高數(shù)和線代以后有可能時(shí)間所剩無(wú)多；而且因?yàn)榍皟刹糠址謩e占60%和20的分值，復(fù)習(xí)完以后多少會(huì)有點(diǎn)滿足心理；這些因素都可能影響到概率的復(fù)習(xí)。概率這門課如果有難點(diǎn)就應(yīng)該是“記憶量大”。在高數(shù)部分，公式、定理和性質(zhì)雖然有很多，但其中相當(dāng)大一部分都比較簡(jiǎn)單，還有很多可以借助理解來(lái)記憶；在線代部分，需要記憶的公式定理少，而需要通過推導(dǎo)相互聯(lián)系來(lái)理解記憶的多，所以記憶量也不構(gòu)成難點(diǎn)；但是在概率中，由大量的概念、公式、性質(zhì)和定理需要記清楚，而且若靠推導(dǎo)來(lái)記這些點(diǎn)的話，不但難度大耗時(shí)多而且沒有更多的用處（因?yàn)楦怕什糠挚荚嚂r(shí)對(duì)公式定理的內(nèi)在推導(dǎo)過程及聯(lián)系并沒有什么要求，一般不會(huì)在更深的層次上出題）。記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》中在每章開始列出的那些大表格時(shí)，感覺其中必然會(huì)有很多內(nèi)容是超綱的、不用細(xì)看；但后來(lái)復(fù)習(xí)時(shí)才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。所以對(duì)于概率部分相當(dāng)多的內(nèi)容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來(lái)牢固掌握，走一條“在記憶的基礎(chǔ)上理解”的路。記牢公式性質(zhì)，同時(shí)保證足夠的習(xí)題量，考試時(shí)概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。概率第一章《隨機(jī)事件和概率》本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對(duì)于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時(shí)難題很少。填空、選擇?？缄P(guān)于事件概率運(yùn)算的題目，大多圍繞形如、、這樣的式子利用各種概率運(yùn)算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。在“概率事件的關(guān)系及運(yùn)算”部分有很多公式可以借助畫集合運(yùn)算圖來(lái)輔助做題，比如事件若與事件有包含關(guān)系，則可作圖長(zhǎng)方形內(nèi)的點(diǎn)都屬于的范圍，圓形則代表的范圍。這樣一來(lái)即易看出事件包含關(guān)系的定義“發(fā)生時(shí)必發(fā)生，發(fā)生時(shí)不一定發(fā)生”；事件與的并可作圖，則是、兩個(gè)圓形（包含相交部分），對(duì)于這個(gè)大圖形中的任意一點(diǎn)來(lái)說，不是屬于就是屬于，體現(xiàn)了“事件與至少有一個(gè)發(fā)生”的定義；同理，事件與的差表示事件與同時(shí)發(fā)生，在上圖中所有滿足條件的點(diǎn)組成了兩圓相交的那一部分。對(duì)于其它的概率運(yùn)算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過作圖來(lái)得到答案。如公式可以借助右圖表示公式左端的等于、、三個(gè)圓形各自互不相交的三部分再加上四小部分，而公式右端中的代表的區(qū)域包括、、各自互不相交的三部分，比左端多加了一次和兩次，這時(shí)等式是不平衡的；再減去即是，與公式左端所代表的圖形相比只少了一塊，加上即可，故再加后等式成立。區(qū)別互斥、互逆、對(duì)立與不相容：事件與事件互斥也叫與不相容，即，事件與事件對(duì)立就是與互逆，即為與的關(guān)系。公式組在歷年考研真題中頻繁用到，很多題利用這三個(gè)公式間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系很容易求得答案。這三個(gè)公式的含義從直觀上就能理解：公式（1）表示事件、同時(shí)發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率減去發(fā)生而不發(fā)生的概率；（2）式表示事件、同時(shí)發(fā)生的概率等于發(fā)生的概率乘以在發(fā)生的條件下也發(fā)生的概率；當(dāng)、相互獨(dú)立時(shí)，也就是指事件與事件的發(fā)生互不影響，此時(shí)應(yīng)該有、所以由（2）式即可得出（3）式。出題人從這三個(gè)公式意義上的相通性出發(fā)可以很靈活地構(gòu)造題目，在后面的評(píng)題中會(huì)對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)作更具體的討論。第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》、第四章《大數(shù)定律和中心極限定理》對(duì)于這一部分的復(fù)習(xí)可說的東西不多，因?yàn)樵诳荚囍谐霈F(xiàn)的概率題目其實(shí)有相當(dāng)大一部分難度是被解題所用的繁雜公式“分走”了，既然理解、掌握和牢記公式本身就不容易，那么題目的結(jié)構(gòu)相對(duì)而言就要簡(jiǎn)單一些，我們甚至?xí)l(fā)現(xiàn)歷年真題中的有的題就像是課本上的例題一樣。這種情況有點(diǎn)像我們?cè)谟⒄Z(yǔ)考試中作閱讀理解題，問題本身的含義并不復(fù)雜，難就難在文章中的單詞“似曾相識(shí)”和句子看不懂上。而英國(guó)學(xué)生考“語(yǔ)文”時(shí)做的閱讀理解問題肯定要比我們遇到的題目要復(fù)雜深入的多——因?yàn)榭疾斓闹攸c(diǎn)不一樣。所以對(duì)于概率部分的復(fù)習(xí)，有兩個(gè)步驟即可：首先是牢記公式，然后是把題做熟,在練習(xí)過程中透徹理解概念公式和性質(zhì)定理。陳文燈復(fù)習(xí)指南概率第二、三章把知識(shí)點(diǎn)列成了大表格，所有東西一目了然，復(fù)習(xí)時(shí)用來(lái)記憶和對(duì)比很方便。對(duì)于第二章的大表格也可以利用各部分之間的聯(lián)系來(lái)對(duì)照復(fù)習(xí)，比如說二維分布的性質(zhì)基本上與一維分布的性質(zhì)一一對(duì)應(yīng)（類似于二重積分和定積分性質(zhì)之間的關(guān)系），二維邊沿分布的內(nèi)容與一維分布本質(zhì)上也是相通的，離散型和連續(xù)型分布的各知識(shí)點(diǎn)也可互相對(duì)比、區(qū)別記憶。也就是“一維和二維相聯(lián)系、離散和連續(xù)相對(duì)比、隨機(jī)變量分布和隨機(jī)變量函數(shù)的分布相區(qū)別”。同時(shí)對(duì)于重要分布如二項(xiàng)、泊松、正態(tài)、均勻、指數(shù)分布必需記得非常牢，因?yàn)榭荚嚂r(shí)會(huì)直接拿這些分布做題干來(lái)考察各章知識(shí)點(diǎn)，萬(wàn)一出現(xiàn)“由于題干中的分布函數(shù)不會(huì)寫或?qū)戝e(cuò)而導(dǎo)致整道大題知道怎么做也沒法做”的情況將是非常可惜的。本章的一維連續(xù)分布和二維離散分布在歷年真題中出現(xiàn)頻率最高，最?？挤植际蔷鶆?、指數(shù)和正態(tài)分布。對(duì)于一維連續(xù)型分布的性質(zhì)可借助圖像理解因?yàn)榉植己瘮?shù)，所以分別可用圖中的陰影部分表示，容易看出多條性質(zhì)，包括、等；而且在具體做題時(shí)用圖像輔助理解也很有效，比如頻繁在真題中出現(xiàn)的正態(tài)分布，作圖輔助解題的效果更為明顯。陳文燈復(fù)習(xí)指南第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》也是用表格說話的，同樣需要認(rèn)真記好。本章在歷年真題中最常出現(xiàn)的題目考察點(diǎn)是幾個(gè)重點(diǎn)公式，尤其是式子，大\小題都可能利用這一式子的左端或右端出題而以另一端設(shè)置答案。還有數(shù)學(xué)期望與方差的定義及性質(zhì)也是考察重點(diǎn)，可由下表對(duì)比記憶：數(shù)學(xué)期望方差 （連續(xù)型）若、相互獨(dú)立，則有、（歷年真題不止一次利用這個(gè)點(diǎn)作為填空和選擇題中的小陷阱，因?yàn)橐徊涣羯窬蜁?huì)寫成，正如一樣，但實(shí)際上）若、相互獨(dú)立，則有無(wú)對(duì)應(yīng)性質(zhì)若、相互獨(dú)立則同時(shí)具有以下4條性質(zhì)：1.2.3.4.，利用各式定義可以推導(dǎo)出來(lái)?？荚嚧缶V對(duì)第四章《大數(shù)定理和中心極限定理》的要求是：“了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律，了解格林定理和林莫佛定理”。這三個(gè)“了解”在歷年真題中的體現(xiàn)就是本章內(nèi)容幾乎是不考的，只出現(xiàn)過直接考察公式定義的小題。同時(shí)本章的幾個(gè)公式、定理也不好記，推導(dǎo)就更不是什么簡(jiǎn)單任務(wù)了。即便如此，以上的信息也還是不能成為放棄這一章的理由，因?yàn)閷?duì)于這樣“又難、大綱要求又低”的知識(shí)點(diǎn)考試時(shí)出題的深度也會(huì)是最淺的。如在真題中出現(xiàn)過的一個(gè)本章的填空題幾乎就是直接考察切比雪夫不等式的公式本身，這樣的情況對(duì)于難度低的知識(shí)點(diǎn)和重要知識(shí)點(diǎn)來(lái)說是絕不可能出現(xiàn)的，比如若你在06年考研數(shù)學(xué)試卷上見到一道填空題是讓填出這個(gè)公式的話，那你肯定是把題義理解錯(cuò)了。所以花時(shí)間記住這幾個(gè)公式其實(shí)是比較劃算的，因?yàn)槿绻荚嚦鲆坏烙嘘P(guān)的填空題，4分的得失將完全取決于記沒記住公式。這樣的4分當(dāng)然要比在大題中絞盡腦汁得到的4分好拿的多。從另一方面說，這些定理也是可以理解的：本章所有的大數(shù)定理都是指在獨(dú)立同分布且存在數(shù)學(xué)期望的條件下若干隨機(jī)變量的平均值依概率收斂到均值的期望，即。因?yàn)楠?dú)立同分布，所以有，故有公式右側(cè)，應(yīng)有，即為辛欽大數(shù)定律；若用表示在n重伯努利試驗(yàn)中事件的發(fā)生次數(shù)則可得到伯努利大數(shù)定律。通過以上的分析可以減少一些死記硬背的難度。概率第五章《數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念》、第六章《參數(shù)估計(jì)》、第七章《假設(shè)檢驗(yàn)》數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分在考研數(shù)學(xué)試卷中占有概率部分1/3的分值，這一部分考點(diǎn)較少，參數(shù)估計(jì)最為重要，其次是樣本與抽樣分布，假設(shè)檢驗(yàn)部分則很少考到。對(duì)于參數(shù)估計(jì)部分，需要記清楚據(jù)估計(jì)和極大似然估計(jì)各自的步驟，然后通過足量做題來(lái)熟練掌握；對(duì)于樣本與抽樣分布，重要的是分布、t分布和F分布各自的條件和結(jié)論公式，在歷年真題中考察過；對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)，大綱要求為：“1.理解顯著性檢驗(yàn)的基本思想，掌握假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟，了解假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類錯(cuò)誤”?？梢姶缶V對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)的要求還是較高的，但往年出題不多，不知道會(huì)不會(huì)在以后的考試中加大考察力度。概率這門課的全稱是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是對(duì)概率論的實(shí)際應(yīng)用，而概率論則充當(dāng)了理論基礎(chǔ)的角色。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的統(tǒng)計(jì)量如樣本均值、樣本方差等的概念性質(zhì)都能在概率論中找到出發(fā)點(diǎn)。其實(shí)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是一個(gè)先對(duì)隨機(jī)變量做實(shí)際觀測(cè)得到一系列具體數(shù)據(jù)，再利用“樣本與抽樣分布”部分的公式歸納出樣本均值、方差等統(tǒng)計(jì)量，在此基礎(chǔ)上利用參數(shù)估計(jì)等方法推斷出隨機(jī)變量整體分布和數(shù)學(xué)特征的過程。參數(shù)估