高中數(shù)學二輪復(fù)習學案-1.3平面向量重難點（新高考）原卷版

平面向量重難點（新高考）目錄目錄【備考指南】 2【方法技巧】 2【真題檢驗】 3【熱點預(yù)測】 8【熱點一】三點共線與共線定理 8【熱點二】三點共線與坐標形式 12【熱點三】三點共線與應(yīng)用問題 14【熱點四】數(shù)量積定義運算 19【熱點五】數(shù)量積坐標運算 22【熱點六】投影向量 25【熱點七】向量共線定理解決范圍與最值 29【熱點八】向量坐標運算解決范圍與最值 35【熱點九】向量與幾何范圍與最值 40【強化訓練】 45備考指南備考指南考點考情分析考頻平面向量的線性運算2022年新高考Ⅰ卷T3數(shù)量積運算及其應(yīng)用2023年新高考Ⅰ卷T32023年新高考Ⅱ卷T132022年新高考Ⅱ卷T42022年全國甲卷T132022年全國乙卷T32021年全國甲卷T142021年全國乙卷T142021年新高考Ⅱ卷T153年8考預(yù)測：從近3年看，平面向量這部分內(nèi)容主要考察數(shù)量積運算及其應(yīng)用，試題難度不大，二輪復(fù)習時要牢固掌握基礎(chǔ)知識點，能對基礎(chǔ)的知識進行簡單的原因.更早以前平面向量這部分內(nèi)容也可能會出現(xiàn)難度較大的考察，在后續(xù)的復(fù)習中也應(yīng)到考慮到.方法技巧方法技巧1.數(shù)量積的計算通常有三種方法：數(shù)量積的定義、坐標運算和數(shù)量積的幾何意義.2.可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中已知的向量模和夾角進行計算.3.模的范圍或最值常見方法(1)通過|a|2＝a2轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)坐標法.4.結(jié)合圖形求解運算量較小，建立坐標系將數(shù)量積用某個變量表示，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，其中選擇的變量要有可操作性.5.平面向量中涉及系數(shù)的范圍問題時，要注意利用向量的模、數(shù)量積、夾角之間的關(guān)系，通過列不等式或等式得關(guān)于系數(shù)的關(guān)系式，從而求系數(shù)的取值范圍.6.利用共線向量定理及推論(1)a∥b?a＝λb(b≠0)．(2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則A，B，C三點共線?λ＋μ＝1.7.找兩向量的夾角時，要注意“共起點”以及向量夾角的取值范圍是[0，π]；若向量a，b的夾角為銳角，包括a·b>0和a，b不共線，同理若向量a，b的夾角為鈍角，包括a·b<0和a，b不共線．8.向量數(shù)量積最值(范圍)問題的解題策略(1)形化：利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷．(2)數(shù)化：利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決．真題檢驗真題檢驗一、單選題1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量，，，．4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量．若，則．5．（2021·全國·高考真題）若向量滿足，則.6．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為.7．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，，點為的中點，點為的中點，若設(shè)，則可用表示為；若，則的最大值為．8．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為；的最小值為．熱點預(yù)測熱點預(yù)測【熱點一】三點共線與共線定理一、單選題1．（2023春·全國·高一期中）已知平面向量a，b不共線，，，則（）A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線2．（2023·全國·高一專題練習）已知、為不共線的向量，，，，則（

）A．三點共線 B．三點共線C．三點共線 D．三點共線3．（2023春·福建寧德·高一福建省寧德第一中學?？茧A段練習）已知，，，則（

）A．M，N，P三點共線 B．M，N，Q三點共線C．M，P，Q三點共線 D．N，P，Q三點共線二、填空題4．（2023秋·湖北荊州·高三公安縣車胤中學?？茧A段練習），是兩個不共線的向量，已知，，且三點共線，則實數(shù).5．（2023秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學?？奸_學考試）已知正六邊形，?分別是對角線?上的點，使得，當時，??三點共線.6．（2023秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學校考階段練習）如圖所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M為BD的中點，設(shè)P、Q分別為線段AB、CD上的動點，若P、M、Q三點共線，則的最大值為.【熱點二】三點共線與坐標形式一、單選題1．（2023春·新疆·高一八一中學校考期末）在平面直角坐標系中，向量，，，若A，B，C三點共線，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2022·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知向量，，，若，，三點共線，則（

）A．2 B． C． D．3．（2022秋·寧夏石嘴山·高二平羅中學?？计谥校┰O(shè)向量，，，其中O為坐標原點，，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9二、填空題4．（2023春·內(nèi)蒙古通遼·高一?？计谥校┮阎蛄?，，，若點，，三點共線，則實數(shù)．5．（2022春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知向量，，若、、三點共線，則．6．（2021秋·天津紅橋·高三天津三中?？茧A段練習）已知向量，若B，C，D三點共線，則.【熱點三】三點共線與應(yīng)用問題一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）已知，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，，，，，則，，三點共線的充要條件是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·四川達州·高三校考開學考試）已知A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．43．（2021春·四川廣安·高一四川省廣安代市中學校校考開學考試）已知，是不共線的向量，，若三點共線，則實數(shù)滿足（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2023春·重慶榮昌·高一重慶市榮昌安富中學校校考階段練習）下列四個結(jié)論正確的是（）A．若平面上四個點P，A，B，C，，則A．B，C三點共線B．已知向量，若，則為鈍角.C．若G為△ABC的重心，則D．若，△ABC一定為等腰三角形5．（2022春·湖南郴州·高一安仁縣第一中學校考階段練習）如圖，已知點G為的重心，點D，E分別為AB，AC上的點，且D，G，E三點共線，，，，，記，，四邊形BDEC的面積分別為，，，則（）A． B． C． D．三、填空題6．（2023春·安徽合肥·高一安徽省廬江湯池中學校聯(lián)考期中）在平面向量中有如下定理：設(shè)點、、、為同一平面內(nèi)的點，則、、三點共線的充要條件是：存在實數(shù)，使．試利用該定理解答下列問題：如圖，在中，點為邊的中點，點在邊上，且，交于點，設(shè)，則．【熱點四】數(shù)量積定義運算一、單選題1．（2023春·湖南岳陽·高一校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，，則（

）A．9 B．18 C．6 D．122．（2023秋·湖北恩施·高三校考階段練習）已知，為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023春·江蘇南京·高一南京大學附屬中學校考階段練習）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇泰州·高三泰州中學?？茧A段練習）已知向量，滿足且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·全國·高三專題練習）已知，，是平面向量，滿足，，，則向量在向量上的投影的數(shù)量的最小值是.6．（2023·四川成都·樹德中學校考模擬預(yù)測）已知中，，則．【熱點五】數(shù)量積坐標運算一、單選題1．（2023秋·湖南衡陽·高三衡陽市八中?？茧A段練習）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．2．（2023·陜西西安·?？家荒＃┮阎蛄?，，若，則（

）A． B． C． D．3．（2023·新疆克拉瑪依·克拉瑪依市高級中學?？寄M預(yù)測）已知向量，，且，則（

）A．2 B．－2 C．0 D．二、填空題4．（2023秋·山東菏澤·高三?？茧A段練習）已知夾角為的非零向量滿足，，則.5．（2023春·云南大理·高一大理白族自治州民族中學?？计谥校┮阎矫嫦蛄?，則向量與的夾角為.6．（2023春·福建漳州·高三福建省漳州第一中學?？奸_學考試）單位圓中，為一條直徑，為圓上兩點且弦長為，則的取值范圍是.【熱點六】投影向量一、單選題1．（2023秋·浙江寧波·高三?？茧A段練習）已知向量，滿足，，則在方向上的投影向量的模為（

）A． B．3 C． D．2．（2023春·福建廈門·高一廈門一中校考階段練習）設(shè)非零向量，滿足，，，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023春·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末）若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上的投影向量為B．在上的投影向量為C．在上的投影向量為D．在上的投影向量為4．（2023·海南省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）已知直四棱柱的底面是菱形，，且二面角的正切值為2，則（

）A． B．C．向量在上的投影向量為 D．向量在上的投影向量為三、填空題5．（2023春·上海徐匯·高一上海中學?？计谀┮阎蛄?，且，的夾角為，，則在方向上的投影向量等于.6．（2023秋·四川瀘州·高三四川省瀘縣第一中學?？茧A段練習）已知向量，的夾角為，，則向量在方向上的投影為．【熱點七】向量共線定理解決范圍與最值一、單選題1．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第一中學?？茧A段練習）在中，，，，為線段上的動點，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）已知正三角形的邊長為6，，，且，則點到直線距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．3．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知中，，，，，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2023·全國·高三專題練習）直角三角形中，是斜邊上一點，且滿足，點在過點的直線上，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為常數(shù) B．的值可以為：C．的最小值為3 D．的最小值為三、填空題5．（2023·天津·一模）在中，已知，，，為線段上的點，且，則的最小值為．6．（2023·全國·高三專題練習）在中，已知是斜邊上一動點，點滿足，若，若點在邊所在的直線上，則的值為；的最大值為.【熱點八】向量坐標運算解決范圍與最值一、單選題1．（2023春·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習）在中，，，，是的外接圓上的一點，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，梯形中，，且，點P在線段上運動，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、填空題3．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內(nèi)的三個單位向量，若，則的最小值是．4．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知兩個向量，則當取得最小值時，.5．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）在直角梯形中，，，，，動點在以點為圓心，且與直線相切的圓上移動，設(shè)，則最大值是.6．（2023春·河南周口·高一統(tǒng)考期中）如圖．在直角梯形中．，點P是腰上的動點，則的最小值為．【熱點九】向量與幾何范圍與最值一、單選題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第十一中學校?？计谀┮阎呅蜛BCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．8 D．2．（2023春·福建福州·高三?？茧A段練習）圓為銳角的外接圓，，點在圓上，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2023·北京·高三專題練習）已知正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的動點，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·江西南昌·南昌市八一中學校考三模）平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=，AC⊥AB，∠ADC=，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．5．（2023·福建廈門·廈門市湖濱中學?？寄M預(yù)測）已知A，B是圓上的動點，，P是圓上的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2023·全國·高三專題練習）在中，，點Q滿足，則的最大值為.強化訓練強化訓練一、單選題1．（2023秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學?？茧A段練習）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．92．（2023春·福建廈門·高一校考期中）在中，點為的中點，，與交于點，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高一專題練習）已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為x?y.現(xiàn)有兩個結(jié)論：①若，則；②的最大值為.則正確的判斷是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立4．（2023·全國·高一專題練習）中，，O是外接圓圓心，是的最大值為（）A．0 B．1 C．3 D．55．（2023春·廣東汕頭·高三校聯(lián)考階段練習）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．6．（2023春·全國·高一專題練習）已知A，B，C是單位圓上的三個動點，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．7．（2023春·廣東佛山·高一?？计谥校┰谥?，，，，P，Q是平面上的動點，，M是邊BC上的一點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（2023·海南·海南華僑中學校考模擬預(yù)測）已知P是